{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nW październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.\nPo roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim\nsadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.\nLiczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które\npozostały w pierwszym sadzie.\nNiech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym\ni drugim sadzie.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew\nposadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest\nA. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,6 ⋅0,95𝑥= 0,9𝑦\nB. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,95𝑥= 0,6 ⋅0,9𝑦\nC. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,05𝑥= 0,6 ⋅0,1𝑦\nD. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,4 ⋅0,95𝑥= 0,9𝑦\n\nMMAP-P0_100\nW październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A. {x+y=1960; 0,6⋅0,95x=0,9y B. {x+y=1960; 0,95x=0,6⋅0,9y; C. {x+y=1960 0,05x=0,6⋅0,1y D. {x+y=1960; 0,4⋅0,95x=0,9y","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo dane, co szukane?\n\n- $x$ — drzew posadzonych w sadzie 1\n- $y$ — drzew posadzonych w sadzie 2\n- łącznie posadzono $1960$\n- w sadzie 1 uschło $5\\%$ — zostało $95\\%$, czyli $0{,}95x$\n- w sadzie 2 uschło $10\\%$ — zostało $90\\%$, czyli $0{,}9y$\n- liczba pozostałych w sadzie 2 to $60\\%$ liczby pozostałych w sadzie 1: $0{,}9y = 0{,}6 \\cdot 0{,}95x$\n\nPierwsze równanie — bilans posadzonych drzew.\n\n$$x + y = 1960$$\n\nDrugie równanie — relacja między pozostałymi po roku.\n\nDrzewa pozostałe w sadzie 2 to $0{,}9y$. Drzewa pozostałe w sadzie 1 to $0{,}95x$. Pierwsza wielkość to $60\\%$ drugiej:\n\n$$0{,}9y = 0{,}6 \\cdot 0{,}95x$$\n\nRównoważnie (po zamianie stron):\n\n$$0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y$$\n\nZłóż w układ.\n\n$$\\begin{cases} x + y = 1960 \\\\ 0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y \\end{cases}$$\n\nTo dokładnie odpowiedź A.\n\nWynik liczbowy (dla ciekawskich)\n\nZ układu A: $x = 1200$, $y = 760$. To nie jest częścią zadania (tylko trzeba wskazać układ), ale warto sprawdzić, że taki układ ma sensowne rozwiązanie — kalibruje pewność wyboru.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to napisanie \"drzew w drugim sadzie to 60% drzew w pierwszym\" jako 0,6x = y (zamiast 0,6 · 0,95x = 0,9y). Trzeba pamiętać że 60% dotyczy liczby POZOSTAŁYCH (po uschnięciu), nie posadzonych.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"układy równań, zadanie tekstowe, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.<br>Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim<br>sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.<br>Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które<br>pozostały w pierwszym sadzie.<br>Niech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym<br>i drugim sadzie.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew<br>posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest<br>A. { 𝑥+ 𝑦= 1960<br>0,6 ⋅0,95𝑥= 0,9𝑦<br>B. { 𝑥+ 𝑦= 1960<br>0,95𝑥= 0,6 ⋅0,9𝑦<br>C. { 𝑥+ 𝑦= 1960<br>0,05𝑥= 0,6 ⋅0,1𝑦<br>D. { 𝑥+ 𝑦= 1960<br>0,4 ⋅0,95𝑥= 0,9𝑦</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A. {x+y=1960; 0,6⋅0,95x=0,9y B. {x+y=1960; 0,95x=0,6⋅0,9y; C. {x+y=1960 0,05x=0,6⋅0,1y D. {x+y=1960; 0,4⋅0,95x=0,9y</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>IV.2) stosuje układy równań do<br>rozwiązywania zadań tekstowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Co dane, co szukane?</p>\n<ul><li>$x$ — drzew posadzonych w sadzie 1</li><li>$y$ — drzew posadzonych w sadzie 2</li><li>łącznie posadzono $1960$</li><li>w sadzie 1 uschło $5\\%$ — zostało $95\\%$, czyli $0{,}95x$</li><li>w sadzie 2 uschło $10\\%$ — zostało $90\\%$, czyli $0{,}9y$</li><li>liczba pozostałych w sadzie 2 to $60\\%$ liczby pozostałych w sadzie 1: $0{,}9y = 0{,}6 \\cdot 0{,}95x$</li></ul>\n<p>Pierwsze równanie — bilans posadzonych drzew.</p>\n<p>$$x + y = 1960$$</p>\n<p>Drugie równanie — relacja między pozostałymi po roku.</p>\n<p>Drzewa pozostałe w sadzie 2 to $0{,}9y$. Drzewa pozostałe w sadzie 1 to $0{,}95x$. Pierwsza wielkość to $60\\%$ drugiej:</p>\n<p>$$0{,}9y = 0{,}6 \\cdot 0{,}95x$$</p>\n<p>Równoważnie (po zamianie stron):</p>\n<p>$$0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y$$</p>\n<p>Złóż w układ.</p>\n<p>$$\\begin{cases} x + y = 1960 \\\\ 0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y \\end{cases}$$</p>\n<p>To dokładnie odpowiedź A.</p>\n<p>Wynik liczbowy (dla ciekawskich)</p>\n<p>Z układu A: $x = 1200$, $y = 760$. To nie jest częścią zadania (tylko trzeba wskazać układ), ale warto sprawdzić, że taki układ ma sensowne rozwiązanie — kalibruje pewność wyboru.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to napisanie &quot;drzew w drugim sadzie to 60% drzew w pierwszym&quot; jako 0,6x = y (zamiast 0,6 · 0,95x = 0,9y). Trzeba pamiętać że 60% dotyczy liczby POZOSTAŁYCH (po uschnięciu), nie posadzonych.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>\\[x\\in\\left\\{\\frac{\\pi}{6},\\;\\frac{\\pi}{4},\\;\\frac{5\\pi}{6},\\;\\frac{7\\pi}{6},\\;\\frac{5\\pi}{4},\\;\\frac{11\\pi}{6}\\right\\}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Przekształcenie obu stron do postaci iloczynowej</h4>\n<p><strong>Krok 1: Upraszczamy lewą stronę</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: \\(\\sin(4x) = \\sin(2 \\cdot 2x) = 2\\sin(2x)\\cos(2x)\\).</p>\n<p>\\[\\sin(4x) - \\sin(2x) = 2\\sin(2x)\\cos(2x) - \\sin(2x)\\]</p>\n<p>Wyłączamy \\(\\sin(2x)\\) przed nawias:<br>\\[= \\sin(2x)\\cdot\\big[2\\cos(2x)-1\\big]\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Upraszczamy prawą stronę</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(\\cos(2x) = 2\\cos^2 x - 1\\), skąd \\(4\\cos^2 x = 2\\cos(2x)+2\\):</p>\n<p>\\[4\\cos^2 x - 3 = \\big(2\\cos(2x)+2\\big) - 3 = 2\\cos(2x)-1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Zapisujemy równanie po podstawieniu</strong></p>\n<p>\\[\\sin(2x)\\cdot\\big[2\\cos(2x)-1\\big] = 2\\cos(2x)-1\\]</p>\n<p>Przenosimy prawą stronę na lewą:</p>\n<p>\\[\\sin(2x)\\cdot\\big[2\\cos(2x)-1\\big] - \\big[2\\cos(2x)-1\\big] = 0\\]</p>\n<p>Wyłączamy wspólny czynnik \\(\\big[2\\cos(2x)-1\\big]\\):</p>\n<p>\\[\\big[2\\cos(2x)-1\\big]\\cdot\\big[\\sin(2x)-1\\big] = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników równa się zero.</p>\n<p><strong>Przypadek A:</strong> \\(\\sin(2x) = 1\\)</p>\n<p>\\[2x = \\frac{\\pi}{2} + 2k\\pi \\implies x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]</p>\n<p>W przedziale \\([0, 2\\pi]\\):</p>\n<p>\\[x = \\frac{\\pi}{4} \\quad \\text{oraz} \\quad x = \\frac{\\pi}{4} + \\pi = \\frac{5\\pi}{4}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek B:</strong> \\(2\\cos(2x)-1 = 0\\), czyli \\(\\cos(2x) = \\dfrac{1}{2}\\)</p>\n<p>\\[2x = \\pm\\frac{\\pi}{3} + 2k\\pi \\implies x = \\pm\\frac{\\pi}{6} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]</p>\n<p>Szukamy \\(x \\in [0, 2\\pi]\\) - sprawdzamy kolejne wartości \\(k\\):</p>\n<p>| Wzór | \\(k=0\\) | \\(k=1\\) |<br>| \\(x = +\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi\\) | \\(\\dfrac{\\pi}{6}\\) | \\(\\dfrac{7\\pi}{6}\\) |<br>| \\(x = -\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi\\) | \\(-\\dfrac{\\pi}{6}\\) (poza) | \\(\\dfrac{5\\pi}{6}\\) |<br>| \\(x = -\\dfrac{\\pi}{6} + 2\\pi\\) | \\(\\dfrac{11\\pi}{6}\\) | - |</p>\n<p>Z przypadku B mamy: \\(x \\in \\left\\{\\dfrac{\\pi}{6},\\; \\dfrac{5\\pi}{6},\\; \\dfrac{7\\pi}{6},\\; \\dfrac{11\\pi}{6}\\right\\}\\)</p>\n<p><strong>Wynik końcowy:</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{x\\in\\left\\{\\frac{\\pi}{6},\\;\\frac{\\pi}{4},\\;\\frac{5\\pi}{6},\\;\\frac{7\\pi}{6},\\;\\frac{5\\pi}{4},\\;\\frac{11\\pi}{6}\\right\\}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdźmy, że po jednym rozwiązaniu z każdego przypadku faktycznie spełnia wyjściowe równanie \\(\\sin(4x)-\\sin(2x)=4\\cos^2 x - 3\\).</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(x = \\dfrac{\\pi}{6}\\):</strong></p>\n<p>\\[\\text{LS} = \\sin\\!\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right) - \\sin\\!\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 0\\]</p>\n<p>\\[\\text{PS} = 4\\cos^2\\!\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right) - 3 = 4\\cdot\\frac{3}{4} - 3 = 3 - 3 = 0 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\):</strong></p>\n<p>\\[\\text{LS} = \\sin(\\pi) - \\sin\\!\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0 - 1 = -1\\]</p>\n<p>\\[\\text{PS} = 4\\cos^2\\!\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right) - 3 = 4\\cdot\\frac{1}{2} - 3 = 2 - 3 = -1 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(x = \\dfrac{5\\pi}{6}\\):</strong></p>\n<p>\\[\\text{LS} = \\sin\\!\\left(\\frac{10\\pi}{3}\\right) - \\sin\\!\\left(\\frac{5\\pi}{3}\\right) = \\sin\\!\\left(\\frac{4\\pi}{3}\\right) - \\sin\\!\\left(\\frac{5\\pi}{3}\\right) = \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) - \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) = 0\\]</p>\n<p>\\[\\text{PS} = 4\\cos^2\\!\\left(\\frac{5\\pi}{6}\\right) - 3 = 4\\cdot\\frac{3}{4} - 3 = 0 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p>Wszystkie trzy sprawdzone wartości spełniają równanie, pozostałe rozwiązania wynikają z symetrii.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12-13)</strong> - wzory na funkcje podwojonego kąta:</p>\n<p>\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]</p>\n<p>Użyte w Kroku 1 do rozwinięcia \\(\\sin(4x) = 2\\sin(2x)\\cos(2x)\\).</p>\n<p>\\[\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1\\]</p>\n<p>Użyte w Kroku 2 do zamiany \\(4\\cos^2 x - 3\\) na \\(2\\cos(2x)-1\\). To kluczowy krok - bez tego przekształcenia obu stron do tego samego argumentu \\(2x\\) nie można by wyłączyć wspólnego czynnika.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po przekształceniu do postaci \\([2\\cos(2x)-1][\\sin(2x)-1]=0\\) uczniowie często dzielą obie strony przez \\([2\\cos(2x)-1]\\) - to błąd! Dzielenie jest możliwe tylko gdy czynnik \\(\\neq 0\\), a właśnie jego zerowość daje nam połowę rozwiązań (\\(x = \\frac{\\pi}{6}, \\frac{5\\pi}{6}, \\frac{7\\pi}{6}, \\frac{11\\pi}{6}\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy \\(\\cos(2x) = \\frac{1}{2}\\) argument to \\(2x\\), nie \\(x\\) - zakres \\(2x \\in [0, 4\\pi]\\) jest dwa razy szerszy niż zakres \\(x\\). Łatwo pominąć połowę rozwiązań, wpisując tylko \\(x = \\frac{\\pi}{6}\\) i \\(\\frac{5\\pi}{6}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(4\\cos^2 x - 3\\) wygląda jak fragment wzoru na cosinus trójkąta (\\(4\\cos^3 x - 3\\cos x\\)) - nie myl tych wyrażeń. Tutaj mamy wykładnik \\(2\\) przy \\(\\cos x\\), co prowadzi do \\(2\\cos(2x) - 1\\) przez wzór \\(\\cos(2x) = 2\\cos^2 x - 1\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left\\{\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{\\pi}{4},\\ \\dfrac{5\\pi}{6},\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{5\\pi}{4},\\ \\dfrac{11\\pi}{6}\\right\\}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Rozkład na iloczyn z \\(\\cos(2x)\\)</h5>\n<p>Lewa strona: \\(\\sin(4x)-\\sin(2x)=2\\sin(2x)\\cos(2x)-\\sin(2x)=\\sin(2x)[2\\cos(2x)-1]\\).<br>Prawa strona: \\(4\\cos^{2}x-3=2(2\\cos^{2}x-1)-1=2\\cos(2x)-1\\).<br>Równanie: \\(\\sin(2x)[2\\cos(2x)-1]=2\\cos(2x)-1\\).<br>Przenosimy wszystko na jedną stronę: \\([2\\cos(2x)-1]\\cdot[\\sin(2x)-1]=0\\).<br><strong>Przypadek I:</strong> \\(\\sin(2x)=1\\Rightarrow 2x=\\dfrac{\\pi}{2}+2k\\pi\\Rightarrow x=\\dfrac{\\pi}{4}+k\\pi\\). W \\([0,2\\pi]\\): \\(x=\\dfrac{\\pi}{4},\\ \\dfrac{5\\pi}{4}\\).<br><strong>Przypadek II:</strong> \\(\\cos(2x)=\\dfrac{1}{2}\\Rightarrow 2x=\\pm\\dfrac{\\pi}{3}+2k\\pi\\Rightarrow x=\\pm\\dfrac{\\pi}{6}+k\\pi\\). W \\([0,2\\pi]\\): \\(x=\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{5\\pi}{6},\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{11\\pi}{6}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozkład z \\(\\sin x\\)</h5>\n<p>Prawa strona: \\(4\\cos^{2}x-3=4(1-\\sin^{2}x)-3=1-4\\sin^{2}x\\).<br>Lewa: \\(\\sin(2x)[2\\cos(2x)-1]\\). Zauważmy, że \\(2\\cos(2x)-1=2(1-2\\sin^{2}x)-1=1-4\\sin^{2}x\\). Więc równanie: \\(\\sin(2x)(1-4\\sin^{2}x)=1-4\\sin^{2}x\\), czyli \\(\\sin(2x)-1=0\\).<br>\\(\\sin^{2}x=\\dfrac{1}{4}\\Rightarrow \\sin x=\\pm\\dfrac{1}{2}\\). Rozwiązania w \\([0,2\\pi]\\) dla \\(\\sin x=\\tfrac{1}{2}\\): \\(\\dfrac{\\pi}{6},\\dfrac{5\\pi}{6}\\); dla \\(\\sin x=-\\tfrac{1}{2}\\): \\(\\dfrac{7\\pi}{6},\\dfrac{11\\pi}{6}\\). Oraz \\(\\sin(2x)=1\\) daje \\(\\dfrac{\\pi}{4},\\dfrac{5\\pi}{4}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (0-5)</h5>\n<ul><li>5 pkt - pełny zbiór sześciu rozwiązań.</li><li>4 pkt - alternatywa równań i rozwiązanie jednego z nich w \\([0,2\\pi]\\).</li><li>3 pkt - rozkład na alternatywę dwóch równań elementarnych.</li><li>2 pkt - rozkład na iloczyn.</li><li>1 pkt - zastosowanie wzorów na podwojone kąty.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Gdy widzisz \\(4\\cos^{2}x-3\\), zawsze pomyśl: to \\(2\\cos(2x)-1\\) (bo \\(2\\cos^{2}x=1+\\cos 2x\\)). Wtedy obie strony mają czynnik \\(2\\cos(2x)-1\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ pierwszy równanie $x + y = 1960$ sumuje liczbę drzew w obu sadach, a drugie $0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y$ prawidłowo uwzględnia procenty uschniętych drzew oraz relację między liczbą drzew w obu sadach.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Po roku w pierwszym sadzie pozostało 0 , 95x drzew, a w drugim 0 , 9y drzew.<br>Łącznie początkowo posadzono:</p>\n<p>x+y=1960.</p>\n<p>Liczba drzew w drugim sadzie stanowiła 60% liczby drzew w pierwszym:</p>\n<p>0 , 9y=0 , 6·0 , 95x.</p>\n<p>Jest to układ z odpowiedzi A.</p>"}]}