{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono dwie proste\nrównoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. {\n𝑦= -3\n2 𝑥+ 3\n𝑦= -3\n2 𝑥-1\nB. {\n𝑦= 3\n2 𝑥+ 3\n𝑦= -2\n3 𝑥-1\nC. {\n𝑦= 3\n2 𝑥+ 3\n𝑦= 3\n2 𝑥-1\nD. {\n𝑦= -3\n2 𝑥-3\n𝑦= 3\n2 𝑥+ 1\n1\n𝑥\n1\n𝑦\n0\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów […]\nsprzecznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo widać na rysunku?\n\nDwie proste w układzie współrzędnych:\n\n- opadające (gdy idziemy w prawo, $y$ maleje) → współczynnik kierunkowy ujemny\n- równoległe → mają ten sam współczynnik kierunkowy\n- przecinają oś $OY$ w różnych punktach (jedna w $(0, 3)$, druga w $(0, -1)$) → mają różne wyrazy wolne\n\nTylko jeden z czterech układów spełnia wszystkie trzy warunki.\n\nSprawdź odpowiedź A: $y = -\\tfrac{3}{2}x + 3$ oraz $y = -\\tfrac{3}{2}x - 1$.\n\n- Obie proste mają współczynnik kierunkowy $-\\tfrac{3}{2}$ → równoległe ✓\n- Obie mają ujemny współczynnik → opadające ✓\n- Wyrazy wolne $3$ i $-1$ → proste przecinają $OY$ w $(0, 3)$ i $(0, -1)$ ✓\n\nWszystko się zgadza.\n\nSprawdź dlaczego inne odpadają.\n\n- B: $-\\tfrac{3}{2}$ i $-\\tfrac{2}{3}$ — różne współczynniki, więc proste nie są równoległe (przetną się w jednym punkcie).\n- C: $+\\tfrac{3}{2}$ i $+\\tfrac{3}{2}$ — równoległe, ale rosnące (dodatni współczynnik), a na rysunku są opadające.\n- D: $-\\tfrac{3}{2}$ i $+\\tfrac{3}{2}$ — różne znaki, więc proste są nawet prostopadłe-symetryczne względem osi $OY$, nie równoległe.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór B lub C — układów, w których proste mają RÓŻNE współczynniki kierunkowe (więc nie są równoległe). Skoro proste są równoległe → współczynniki kierunkowe muszą być TAKIE SAME.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja liniowa, równoległość prostych, Układy równań, analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono dwie proste
równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A. {
𝑦= -3
2 𝑥+ 3
𝑦= -3
2 𝑥-1
B. {
𝑦= 3
2 𝑥+ 3
𝑦= -2
3 𝑥-1
C. {
𝑦= 3
2 𝑥+ 3
𝑦= 3
2 𝑥-1
D. {
𝑦= -3
2 𝑥-3
𝑦= 3
2 𝑥+ 1
1
𝑥
1
𝑦
0

\n

MMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
IV.1) rozwiązuje układy równań liniowych
z dwiema niewiadomymi, podaje
interpretację geometryczną układów […]
sprzecznych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
C

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: A

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co widać na rysunku?

\n

Dwie proste w układzie współrzędnych:

\n\n

Tylko jeden z czterech układów spełnia wszystkie trzy warunki.

\n

Sprawdź odpowiedź A: $y = -\\tfrac{3}{2}x + 3$ oraz $y = -\\tfrac{3}{2}x - 1$.

\n\n

Wszystko się zgadza.

\n

Sprawdź dlaczego inne odpadają.

\n\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór B lub C — układów, w których proste mają RÓŻNE współczynniki kierunkowe (więc nie są równoległe). Skoro proste są równoległe → współczynniki kierunkowe muszą być TAKIE SAME.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)

\n

Sposób 1 - Pole czworokąta → długość stycznej → odległość \\(|AS|\\) → równanie

\n

Krok 1. Zauważamy, że czworokąt ABSC jest "latawcem".

\n

\\(AB\\) i \\(AC\\) są stycznymi do okręgu, więc promienie do punktów styku są prostopadłe do stycznych:
\\[\\angle ABS = \\angle ACS = 90°\\]

\n

Obydwa trójkąty \\(ABS\\) i \\(ACS\\) są prostokątne (kąt prosty przy \\(B\\) i \\(C\\)), mają wspólną przeciwprostokątną \\(|AS|\\) i równe przyprostokątne \\(|SB| = |SC| = \\sqrt{5}\\), więc są przystające. Stąd:
\\[|AB| = |AC|\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy \\(|AB|\\) z warunku na pole.

\n

Czworokąt \\(ABSC\\) = dwa trójkąty prostokątne złożone wzdłuż \\(AS\\):
\\[P_{ABSC} = 2 \\cdot \\frac{1}{2}|AB| \\cdot |SB| = |AB| \\cdot \\sqrt{5}\\]

\n

Z warunków zadania:
\\[|AB| \\cdot \\sqrt{5} = 15 \\implies |AB| = \\frac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]

\n

Krok 3. Wyznaczamy \\(|AS|\\) z twierdzenia Pitagorasa.

\n

W trójkącie prostokątnym \\(ABS\\):
\\[|AS|^2 = |AB|^2 + |SB|^2 = (3\\sqrt{5})^2 + (\\sqrt{5})^2 = 45 + 5 = 50\\]

\n

Krok 4. Zapisujemy współrzędne \\(S\\) i rozwiązujemy równanie.

\n

Ponieważ \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), piszemy \\(S = (a, a+1)\\). Korzystamy z warunku \\(|AS|^2 = 50\\):
\\[(a - 1)^2 + (a + 1 - 2)^2 = 50\\]
\\[(a - 1)^2 + (a - 1)^2 = 50\\]
\\[2(a - 1)^2 = 50\\]
\\[(a - 1)^2 = 25\\]
\\[a - 1 = \\pm 5\\]

\n\n

Krok 5. Sprawdzamy warunek \\(|AS| > \\sqrt{5}\\).

\n

\\(|AS| = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2} > \\sqrt{5}\\) ✓ - dla obu rozwiązań.

\n

Odpowiedź: \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez własności latawca i wzór na cięciwę

\n

Mamy \\(|AB| = 3\\sqrt{5}\\), \\(|AS| = \\sqrt{50}\\), \\(r = \\sqrt{5}\\). Sprawdźmy, czy pole czworokąta faktycznie wynosi 15.

\n

W latawcu \\(ABSC\\) (gdzie \\(|AB| = |AC|\\) i \\(|SB| = |SC|\\)) przekątne \\(AS\\) i \\(BC\\) są prostopadłe. Oznaczmy \\(M\\) - punkt przecięcia przekątnych. Wtedy:

\n

Długość \\(|SM|\\) (odcięta przez okrąg na \\(AS\\)):
\\[|SM| = \\frac{r^2}{|AS|} = \\frac{5}{\\sqrt{50}} = \\frac{5}{5\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\]

\n

Połowa cięciwy \\(|BM|\\):
\\[|BM|^2 = r^2 - |SM|^2 = 5 - \\frac{1}{2} = \\frac{9}{2} \\implies |BM| = \\frac{3}{\\sqrt{2}}\\]

\n

Pole latawca ze wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2} d_1 \\cdot d_2\\):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BC| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{50} \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot 5\\sqrt{2} \\cdot \\frac{6}{\\sqrt{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = 15 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgodny - potwierdzamy poprawność obliczeń.

\n

Sprawdzamy jeszcze współrzędne dla \\(S = (6, 7)\\):
\\[|AS| = \\sqrt{(6-1)^2 + (7-2)^2} = \\sqrt{25 + 25} = \\sqrt{50} \\checkmark\\]
\\[6 = 7 - 1 \\checkmark \\text{ (leży na prostej } y = x+1\\text{)}\\]

\n

Dla \\(S = (-4, -3)\\):
\\[|AS| = \\sqrt{(-4-1)^2 + (-3-2)^2} = \\sqrt{25+25} = \\sqrt{50} \\checkmark\\]
\\[-4 = -3 - 1 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(|AS|^2\\) przy podstawieniu \\(S = (a, a+1)\\) i \\(A = (1, 2)\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Zastosowane w trójkącie prostokątnym \\(ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\)) do wyznaczenia \\(|AS|^2 = |AB|^2 + |SB|^2\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]
Użyliśmy przy wyznaczaniu pola trójkąta prostokątnego \\(ABS\\): \\(P = \\frac{1}{2}|AB| \\cdot |SB|\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapominaj, że z punktu zewnętrznego wychodzą dwie proste styczne, co daje dwa rozwiązania - oba \\(S = (6,7)\\) i \\(S = (-4,-3)\\) są prawidłowe. Pominięcie jednego z nich to utrata punktów!
\n
⚠️ Uwaga: Czworokąt \\(ABSC\\) składa się z dwóch trójkątów prostokątnych, więc pole to \\(2 \\cdot \\frac{1}{2}|AB| \\cdot |SB|\\), a nie samo \\(\\frac{1}{2}|AB| \\cdot |SB|\\). Błąd tu daje \\(|AB| = 6\\sqrt{5}\\) zamiast \\(3\\sqrt{5}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(|AS|^2\\) łatwo pomylić indeksy: \\(S = (a, a+1)\\), punkt \\(A = (1, 2)\\), więc różnica na osi \\(y\\) to \\((a+1) - 2 = a - 1\\), nie \\(a + 1 - 2 = a - 1\\) - w tym przypadku wychodzi to samo, ale zawsze wpisuj ostrożnie.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(S=(6,7)\\) lub \\(S=(-4,-3)\\)

\n
Sposób 1 - Pole czworokąta przez pola dwóch trójkątów przystających
\n

Trójkąty \\(ABS\\) i \\(ACS\\) są prostokątne (promień \\(SB\\perp AB\\) i \\(SC\\perp AC\\) - styczna prostopadła do promienia w punkcie styczności). Ponieważ \\(|SB|=|SC|=\\sqrt{5}\\) i \\(|AS|\\) wspólne, trójkąty są przystające (cecha bbb). Oznaczmy \\(m=|AB|=|AC|\\).
Pole czworokąta \\(ABSC\\) to suma pól obu trójkątów:
\\[P_{ABSC}=2\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot m\\cdot\\sqrt{5}=m\\sqrt{5}=15\\Rightarrow m=3\\sqrt{5}.\\]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABS\\): \\(|AS|^{2}=m^{2}+(\\sqrt{5})^{2}=45+5=50\\).
Ponieważ \\(S\\) leży na prostej \\(y=x+1\\), zapisujemy \\(S=(x_{S},x_{S}+1)\\). Wtedy
\\[|AS|^{2}=(x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=(x_{S}-1)^{2}+(x_{S}-1)^{2}=2(x_{S}-1)^{2}=50.\\]
\\[(x_{S}-1)^{2}=25\\Rightarrow x_{S}=6\\ \\text{lub}\\ x_{S}=-4.\\]
Zatem \\(S=(6,7)\\) lub \\(S=(-4,-3)\\).

\n
Sposób 2 - Przez równania stycznych i odległość punktu od prostej
\n

Z pola: \\(m=3\\sqrt{5}\\) jak wyżej. Prosta \\(y=x+1\\) przechodzi przez \\(A=(1,2)\\). Każda styczna z \\(A\\) ma równanie \\(y=a(x-1)+2\\). Tangens kąta między styczną a prostą \\(y=x+1\\) równy \\(\\tg\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{5}}{m}=\\dfrac{1}{3}\\). Ze wzoru \\(\\tg\\alpha=\\left|\\dfrac{a-1}{a+1}\\right|=\\dfrac{1}{3}\\) otrzymujemy \\(a=2\\) lub \\(a=\\dfrac{1}{2}\\), czyli styczne: \\(2x-y=0\\) i \\(x-2y+3=0\\). Odległość \\(S=(x_{S},x_{S}+1)\\) od np. \\(2x-y=0\\): \\(\\dfrac{|2x_{S}-(x_{S}+1)|}{\\sqrt{5}}=\\sqrt{5}\\), stąd \\(|x_{S}-1|=5\\), czyli \\(x_{S}=6\\) lub \\(x_{S}=-4\\).

\n
Uwagi o punktacji (0-5)
\n\n

Trik: Zawsze po rozwiązaniu „kwadratu" \\((x-1)^{2}=25\\) daje dwa rozwiązania - sprawdź w tekście zadania, czy oba spełniają warunek \\(|AS|>\\sqrt{5}\\). Tutaj \\(|AS|=5\\sqrt{2}>\\sqrt{5}\\), więc oba są dobre.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawne, ponieważ oba współczynniki liniowe są sobie równe (czyli proste są równoległe) oraz ujemne (czyli obie funkcje liniowe są malejące). Jest to jedyna odpowiedź spełniająca te dwa warunki.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne.
Na rysunku obie proste są malejące, a ich współczynnik kierunkowy wynosi -(3)/(2) .
Warunek ten spełnia układ z odpowiedzi A.

"}]}