Zadanie 12. (0-1)
Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (-2𝑘+ 3)𝑥+ 𝑘-1, gdzie 𝑘∈ℝ.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału
A. (-∞, 1)
B. (-∞, -3
2)
C. (1, +∞)
D. (3
2 , +∞)
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(-2k+3)x+k-1, gdzie k∈R. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału A. (-∞,1) B. (-∞,-3/2) C. (1,+∞) & D. (3/2,+∞)
Zadanie 12. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
V.5) interpretuje współczynniki występujące
we wzorze funkcji liniowej.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nCo decyduje o monotoniczności?
\nDla funkcji liniowej $f(x) = ax + b$:
\nWyraz wolny $b$ nie wpływa na monotoniczność (tylko przesuwa wykres w pionie).
\nZidentyfikuj współczynnik kierunkowy.
\nW naszym wzorze $f(x) = (-2k + 3)x + (k - 1)$ rolę $a$ pełni wyrażenie $-2k + 3$.
\nPostaw warunek na monotoniczność malejącą: $a < 0$.
\n$$-2k + 3 < 0$$
\nRozwiąż nierówność.
\n$$-2k < -3$$
\nPodziel obie strony przez $-2$ — dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności:
\n$$k > \\frac{3}{2}$$
\nZapisz przedział.
\n$$k \\in \\left(\\frac{3}{2},\\ +\\infty\\right)$$
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie znaków — funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest UJEMNY. Drugi błąd: pomyłka kierunku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Zadanie otwarte - wynik to zbiór wartości parametru \\(m\\).
\nRozwiązujemy w trzech etapach.
\nDla równania \\(x^2 - (3m+1)x + (2m^2+m+1) = 0\\) mamy \\(a=1\\), \\(b=-(3m+1)\\), \\(c=2m^2+m+1\\).
\n\\[\\Delta = (3m+1)^2 - 4 \\cdot (2m^2+m+1)\\]
\\[\\Delta = 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4\\]
\\[\\Delta = m^2 + 2m - 3 = (m-1)(m+3)\\]
Warunek \\(\\Delta > 0\\):
\n\\[(m-1)(m+3) > 0 \\implies m < -3 \\text{ lub } m > 1\\]
\nZ Etapu I: \\(m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\)
\nZe wzorów Viète'a dla naszego równania:
\\[x_1 + x_2 = 3m+1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = 2m^2+m+1\\]
Przekształcamy lewą stronę nierówności. Kluczowe spostrzeżenie: rozbijamy nawias:
\\[x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2\\underbrace{(x_1+x_2-3)}_{\\text{rozbijamy}} = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2) - 9x_1x_2\\]
Rozpoznajemy wzór na sześcian sumy: \\((x_1+x_2)^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2)\\), zatem:
\n\\[= (x_1+x_2)^3 - 9x_1x_2\\]
\nPodstawiamy wzory Viète'a:
\n\\[(3m+1)^3 - 9(2m^2+m+1) \\leq 3m-7\\]
\nRozwijamy \\((3m+1)^3 = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1\\):
\n\\[27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 18m^2 - 9m - 9 \\leq 3m-7\\]
\\[27m^3 + 9m^2 - 8 \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\]
Faktoryzujemy przez grupowanie:
\n\\[9m^2(3m+1) - 1 \\cdot (3m+1) \\leq 0\\]
\\[(9m^2-1)(3m+1) \\leq 0\\]
\\[(3m-1)(3m+1)(3m+1) \\leq 0\\]
\\[\\boxed{(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0}\\]
Ponieważ \\((3m+1)^2 \\geq 0\\) zawsze, wyrażenie jest nieujemne lub zero. Żeby iloczyn był \\(\\leq 0\\), potrzebujemy:
\nZ Etapu II: \\(m \\leq \\dfrac{1}{3}\\)
\n\\[m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\quad \\cap \\quad m \\leq \\tfrac{1}{3}\\]
\nPrzedział \\((1, +\\infty)\\) nie ma części wspólnej z \\(m \\leq \\tfrac{1}{3}\\). Zostaje:
\n\\[\\boxed{m \\in (-\\infty, -3)}\\]
\nOznaczamy \\(s = x_1 + x_2\\), \\(p = x_1x_2\\). Etap I (dyskryminanta) jest identyczny.
\nW Etapie II używamy innej drogi do uproszczenia wyrażenia. Stosujemy wzór:
\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = s\\bigl[(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2\\bigr] = s(s^2-3p)\\]
Zatem:
\\[x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2-3) = s(s^2-3p) + 3p(s-3)\\]
\\[= s^3 - 3ps + 3ps - 9p = s^3 - 9p\\]
Czyli dostajemy to samo co w Sposobie 1. Dalej podstawiamy \\(s = 3m+1\\), \\(p = 2m^2+m+1\\) i rozwiązujemy identycznie.
\nWeryfikacja dla \\(m = -4 \\in (-\\infty,-3)\\):
\nWeryfikacja dla \\(m = 2 \\in (1,+\\infty)\\):
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik i wzory Viète'a:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Etapie I (warunek \\(\\Delta > 0\\)) i w całym Etapie II.
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - sześcian sumy:
\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\]
Kluczowy trick: \\(x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2) = (x_1+x_2)^3\\).
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyta przy faktoryzacji \\(9m^2 - 1 = (3m-1)(3m+1)\\).
⚠️ Uwaga: Najtrudniejszy moment to rozpoznanie, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2-3)\\) daje się uprościć. Wielu uczniów próbuje podstawiać konkretne \\(x_1, x_2\\) - to droga donikąd. Trzeba zobaczyć sześcian sumy i od razu przejść do \\(s, p\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy \\((3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\) błędem jest napisanie „oba czynniki ujemne". Czynnik \\((3m+1)^2\\) jest zawsze nieujemny - nie może być ujemny! Warunek to wyłącznie \\(3m-1 \\leq 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Etap III (część wspólna) to nie koniec roboty - to jest koniec roboty. Wielu uczniów podaje wynik z samego Etapu I albo samego Etapu II i traci punkty. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.\n
Poprawna odpowiedź: \\(m\\in(-\\infty,-3)\\)
\nEtap I: warunek \\(\\Delta>0\\) (dwa różne pierwiastki rzeczywiste).
\\(\\Delta=(3m+1)^{2}-4\\cdot 1\\cdot(2m^{2}+m+1)=9m^{2}+6m+1-8m^{2}-4m-4=m^{2}+2m-3\\).
\\(m^{2}+2m-3=(m-1)(m+3)>0\\Rightarrow m\\in(-\\infty,-3)\\cup(1,+\\infty)\\).
Etap II: warunek na pierwiastki.
Ze wzorów Viète'a: \\(s=x_{1}+x_{2}=3m+1\\), \\(p=x_{1}x_{2}=2m^{2}+m+1\\).
Zauważmy, że \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=s^{3}-3ps\\). Stąd
\\[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3p(s-3)=s^{3}-3ps+3ps-9p=s^{3}-9p.\\]
Warunek: \\(s^{3}-9p\\leq 3m-7\\), czyli \\((3m+1)^{3}-9(2m^{2}+m+1)\\leq 3m-7\\).
Rozwijamy: \\((3m+1)^{3}=27m^{3}+27m^{2}+9m+1\\). Zatem
\\[27m^{3}+27m^{2}+9m+1-18m^{2}-9m-9\\leq 3m-7\\Rightarrow 27m^{3}+9m^{2}-3m-1\\leq 0.\\]
Rozkład: \\(27m^{3}-1+9m^{2}-3m=(3m-1)(9m^{2}+3m+1)+3m(3m-1)=(3m-1)(9m^{2}+6m+1)=(3m-1)(3m+1)^{2}\\).
Zatem \\((3m-1)(3m+1)^{2}\\leq 0\\). Ponieważ \\((3m+1)^{2}\\geq 0\\) (zero tylko dla \\(m=-\\tfrac{1}{3}\\)), warunek sprowadza się do \\(3m-1\\leq 0\\), czyli \\(m\\leq\\dfrac{1}{3}\\), albo \\(m=-\\dfrac{1}{3}\\) (gdy \\((3m+1)^{2}=0\\)). Ostatecznie \\(m\\in(-\\infty,\\tfrac{1}{3}]\\).
Etap III: część wspólna.
\\(\\big((-\\infty,-3)\\cup(1,+\\infty)\\big)\\cap(-\\infty,\\tfrac{1}{3}]=(-\\infty,-3)\\).
Uproszczenie \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=(x_{1}+x_{2})^{3}\\) to wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\\). Stąd LHS warunku to \\((x_{1}+x_{2})^{3}-9x_{1}x_{2}=s^{3}-9p\\).
\nTrik: Pamiętaj rozkład \\((a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\\) - lewa strona warunku to prawie ten wzór z dodatkowym \\(-9x_{1}x_{2}\\) ukrytym w \\(-3\\cdot 3\\). Po uproszczeniu zostaje tylko \\(s^{3}-9p\\).
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"$$ -2k < -3 $$.\\
\nA. $(-\\text{∞}, 1)$ \\
B. $(-\\text{∞}, -\\frac{3}{2})$ \\
C. $(1, +\\text{∞})$ \\
D. $\\big(\\frac{3}{2}, +\\text{∞}\\big)$\\
\\
Odpowiedź: D
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:
\n-2k+3<0.
\n-2k<-3,
\na po podzieleniu przez liczbę ujemną:
\nk>(3)/(2).
"}]}