Zadanie 13. (0-1)
Funkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥+ 7, mają
to samo miejsce zerowe.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔 jest równy
A. (-7
2)
B. (-2
7)
C. 2
7
D. 7
2
MMAP-P0_100
Funkcje liniowe f oraz g, określone wzorami f(x)=3x+6 oraz g(x)=ax+7, mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy A. (-7/2) B. (-2/7) C. 2/7 & D. 7/2
Zadanie 13. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na
podstawie informacji o jej wykresie lub o jej
własnościach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
A
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nCo to znaczy „to samo miejsce zerowe"?
\nMiejsce zerowe funkcji to taki $x$, dla którego $f(x) = 0$. Geometrycznie: punkt przecięcia wykresu z osią $OX$.
\nJeśli $f$ i $g$ mają to samo miejsce zerowe — istnieje takie $x_0$, że jednocześnie $f(x_0) = 0$ oraz $g(x_0) = 0$.
\nZnajdź miejsce zerowe $f$.
\n$$f(x) = 3x + 6 = 0$$
\n$$3x = -6 \\quad\\Rightarrow\\quad x_0 = -2$$
\nPodstaw do $g$ i wykorzystaj warunek $g(x_0) = 0$.
\n$$g(-2) = a \\cdot (-2) + 7 = 0$$
\n$$-2a + 7 = 0$$
\nRozwiąż na $a$.
\n$$-2a = -7$$
\n$$a = \\frac{-7}{-2} = \\frac{7}{2}$$
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie miejsca zerowego f, ale potem podstawienie do g i pomyłka znaku przy rozwiązywaniu na "a". Drugi błąd: pomylenie miejsca zerowego (gdzie f(x) = 0) z punktem przecięcia z osią OY (gdzie x = 0).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"13.1. ## Poprawna odpowiedź: dowód - wzór \\(P(a)=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) jest prawdziwy
\nKrok 1: Pole podstawy
\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku \\(a\\).
\nZe wzoru na pole trójkąta równobocznego:
\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Krok 2: Wyznaczenie wysokości \\(H\\) z warunku na objętość
\nObjętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:
\\[V = P_p \\cdot H\\]
Podstawiamy \\(V = 3456\\):
\\[3456 = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot H\\]
Stąd wyznaczamy \\(H\\):
\\[H = \\frac{3456}{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}} = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\]
Racjonalizujemy mianownik (mnożymy licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{3}\\)):
\\[H = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]
Krok 3: Wzór na pole powierzchni całkowitej
\nGraniastosłup trójkątny ma:
\nZatem:
\\[P = 2P_p + 3aH = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3a \\cdot H = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3aH\\]
Krok 4: Podstawiamy wyznaczone \\(H\\)
\n\\[P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]
\nUpraszczamy drugi składnik - \\(a\\) w liczniku i \\(a^2\\) w mianowniku dają \\(\\frac{1}{a}\\):
\\[P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3 \\cdot 4608\\sqrt{3}}{a} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]
Co dowodzić było. \\(\\blacksquare\\)
\nCzasem wygodniej nie racjonalizować \\(H\\) od razu, tylko podstawić do wzoru i uprościć na końcu.
\nWyznaczamy \\(H\\) (bez racjonalizacji):
\\[H = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\]
Podstawiamy do wzoru na pole:
\\[P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a \\cdot \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\]
Upraszczamy drugi składnik:
\\[3a \\cdot \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{3 \\cdot 13824}{a\\sqrt{3}} = \\frac{41472}{a\\sqrt{3}}\\]
Racjonalizujemy dopiero teraz:
\\[\\frac{41472}{a\\sqrt{3}} = \\frac{41472\\sqrt{3}}{a \\cdot 3} = \\frac{41472\\sqrt{3}}{3a} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]
Zatem:
\\[P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]
Co dowodzić było. \\(\\blacksquare\\)
\nOba sposoby dają identyczny wynik - racjonalizacja w połowie (Sposób 1) lub na końcu (Sposób 2) to kwestia stylu, nie poprawności.
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na objętość graniastosłupa:
\\[V = P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(H\\) z warunku \\(V = 3456\\).
Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego:
\\[P_b = O_b \\cdot h\\]
gdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy. Dla trójkąta równobocznego \\(O_b = 3a\\), stąd \\(P_b = 3aH\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy tego jako pole podstawy graniastosłupa.
⚠️ Uwaga: Graniastosłup ma dwie podstawy - łącznie \\(2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Często uczniowie liczą tylko jedną podstawę i dostają błędny wzór z \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy racjonalizacji \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\) mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\) - w mianowniku \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\), więc \\(13824 \\div 3 = 4608\\). Sprawdź ten rachunek, bo to częste miejsce błędów arytmetycznych.\n
⚠️ Uwaga: To zadanie to dowód (nie obliczenia) - celem jest pokazanie, że wzór jest prawdziwy. Wystarczy wyjść od definicji i przekształcić algebraicznie do postaci podanej w treści. Nie szukamy tu wartości \\(a\\) ani minimum \\(P(a)\\) - to będzie prawdopodobnie kolejne podzadanie.\n
Poprawna odpowiedź: dowód wzoru \\(P(a)=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\)
\nPodstawa graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), pole podstawy \\(P_{p}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\).
Oznaczmy wysokość przez \\(H\\). Z warunku objętości:
\\[V=P_{p}\\cdot H\\Rightarrow 3456=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot H\\Rightarrow H=\\dfrac{3456\\cdot 4}{a^{2}\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}}=\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}.\\]
Powierzchnia całkowita = \\(2\\) podstawy + \\(3\\) boki (prostokąty \\(a\\times H\\)):
\\[P(a)=2\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}+3aH=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+3a\\cdot\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}.\\] CKD
\\(3aH=3a\\cdot\\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}=\\dfrac{3\\cdot 13824}{a\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\). (Mnożenie licznika i mianownika przez \\(\\sqrt{3}\\).)
\nTrik: Zawsze oddzielnie licz pole podstawy i pole boczne - błędy biorą się głównie z pomyłek w czynniku \\(\\sqrt{3}\\).
\n13.2. ## Poprawna odpowiedź: \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)
\nTo zadanie otwarte - szukamy wartości \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}]\\), dla której \\(P(a)\\) jest najmniejsze.
\nObliczamy pochodną \\(P'(a)\\):
\n\\[P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]
\nRóżniczkujemy wyraz po wyrazie:
\n\\[P'(a) = \\frac{2a\\sqrt{3}}{2} + 13824\\sqrt{3} \\cdot \\left(-\\frac{1}{a^2}\\right) = a\\sqrt{3} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\]
\nWyłączamy \\(\\sqrt{3}\\) i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\n\\[P'(a) = \\frac{a^3\\sqrt{3} - 13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2}\\]
\nSzukamy miejsca zerowego pochodnej:
\n\\[P'(a) = 0 \\iff a^3 - 13824 = 0 \\iff a^3 = 13824\\]
\nRozpoznajemy: \\(13824 = 24^3\\) (bo \\(24^2 = 576\\), \\(576 \\cdot 24 = 13824\\)), zatem:
\n\\[a = 24\\]
\nSprawdzamy, czy \\(a = 24\\) należy do dziedziny \\((0, 8\\sqrt{3}]\\):
\n\\[8\\sqrt{3} \\approx 8 \\cdot 1{,}732 = 13{,}86 \\ll 24\\]
\nKrytyczny punkt \\(a = 24\\) nie należy do dziedziny!
\nBadamy znak \\(P'(a)\\) na \\((0, 8\\sqrt{3}]\\):
\nDla każdego \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}]\\) mamy \\(a < 24\\), więc:
\n\\[a^3 < 24^3 = 13824 \\implies a^3 - 13824 < 0\\]
\nPonieważ \\(\\sqrt{3} > 0\\) i \\(a^2 > 0\\), mianownik jest dodatni, więc:
\n\\[P'(a) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2} < 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a \\in (0, 8\\sqrt{3}]\\]
\nWniosek: \\(P\\) jest ściśle malejąca na całej dziedzinie \\((0, 8\\sqrt{3}]\\).
\nFunkcja malejąca osiąga minimum na prawym końcu przedziału - czyli w \\(a = 8\\sqrt{3}\\).
\nObliczamy wartość minimalną:
\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{(8\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\]
\nLiczymy każdy składnik:
\n\\[(8\\sqrt{3})^2 = 64 \\cdot 3 = 192\\]
\n\\[\\frac{192\\sqrt{3}}{2} = 96\\sqrt{3}\\]
\n\\[\\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{8} = 1728\\]
\n\\[\\boxed{P_{\\min} = P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]
\nZamiast pochodnej, sprawdzamy empirycznie, że \\(P\\) jest malejąca, porównując dwa punkty z dziedziny: \\(a = 4\\sqrt{3}\\) i \\(a = 8\\sqrt{3}\\).
\nDla \\(a = 4\\sqrt{3}\\):
\n\\[(4\\sqrt{3})^2 = 48, \\quad \\frac{48\\sqrt{3}}{2} = 24\\sqrt{3}\\]
\n\\[\\frac{13824\\sqrt{3}}{4\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{4} = 3456\\]
\n\\[P(4\\sqrt{3}) = 24\\sqrt{3} + 3456\\]
\nPorównanie \\(P(4\\sqrt{3})\\) i \\(P(8\\sqrt{3})\\):
\n\\[P(4\\sqrt{3}) - P(8\\sqrt{3}) = (24\\sqrt{3} + 3456) - (96\\sqrt{3} + 1728) = -72\\sqrt{3} + 1728\\]
\n\\[-72\\sqrt{3} + 1728 \\approx -72 \\cdot 1{,}732 + 1728 \\approx -124{,}7 + 1728 > 0\\]
\nZatem \\(P(4\\sqrt{3}) > P(8\\sqrt{3})\\) - im większe \\(a\\), tym mniejsze \\(P\\) na naszym przedziale.
\nMniejsze \\(a\\) daje większe \\(P\\), a zatem minimum jest na prawym krańcu dziedziny: \\(a = 8\\sqrt{3}\\).
\nWynik (obliczony tak samo jak w Sposobie 1):
\n\\[P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\]
\nDział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - pochodna sumy i potęgi:
\\[\\left[x^r\\right]' = r \\cdot x^{r-1}, \\qquad \\left[\\frac{a}{x}\\right]' = -\\frac{a}{x^2}\\]
Użyliśmy tych wzorów, różniczkując \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\) oraz \\(\\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\).
Dział 16 (s. 32-33) - interpretacja znaku pochodnej:
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzory na graniastosłup (kontekst zadania):
\\[P_b = Ob \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]
Wzór \\(P(a)\\) z treści zadania pochodzi właśnie z połączenia pola podstawy (trójkąt równoboczny: \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 2\\)) i pola bocznego.
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to stwierdzenie, że minimum jest w \\(a = 24\\) (punkt zerowy pochodnej), bez sprawdzenia, czy ten punkt należy do dziedziny. Zawsze weryfikuj warunek \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}]\\)!\n
⚠️ Uwaga: Jeśli jedyne miejsce zerowe \\(P'(a)\\) leży poza dziedziną, funkcja jest monotonична na całym przedziale. Wtedy minimum jest na jednym z krańców - musisz sprawdzić znak \\(P'\\) lub porównać wartości.\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) - \\(\\sqrt{3}\\) skraca się! Wynik to czyste \\(\\frac{13824}{8} = 1728\\), nie ma tu żadnej \\(\\sqrt{3}\\). Maturzyści często zostawiają tu niepotrzebnie \\(\\sqrt{3}\\) w mianowniku.\n
Poprawna odpowiedź: \\(a=8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min}=96\\sqrt{3}+1728\\)
\nPochodna: \\(P'(a)=a\\sqrt{3}-\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}=\\dfrac{\\sqrt{3}(a^{3}-13824)}{a^{2}}\\).
Miejsce zerowe: \\(a^{3}=13824\\). Zauważmy \\(24^{3}=13824\\), więc \\(a=24\\). Ale \\(24\\notin(0,8\\sqrt{3}]\\), gdyż \\(8\\sqrt{3}=\\sqrt{192}\\approx 13{,}86<24\\).
Dla \\(a\\in(0,8\\sqrt{3}]\\subset(0,24)\\) mamy \\(a^{3}<13824\\), czyli \\(P'(a)<0\\). Zatem \\(P\\) jest ściśle malejąca na \\((0,8\\sqrt{3}]\\), więc wartość najmniejsza przyjmowana jest na prawym końcu: \\(a=8\\sqrt{3}\\).
Obliczamy \\(P(8\\sqrt{3})\\):
\\[\\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{192\\sqrt{3}}{2}=96\\sqrt{3}.\\]
\\[\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824}{8}=1728.\\]
\\[P_{\\min}=96\\sqrt{3}+1728.\\]
Analiza \\(f(a)=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\). Rozdzielając \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}=\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}+\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\), minimum bezwarunkowe AM-GM daje \\(a=24\\) - poza przedziałem. Więc dla \\(a\\leq 8\\sqrt{3}<24\\) funkcja jest malejąca (monotoniczność wynika z pochodnej lub z analizy pochodnej numerycznie).
\nTrik: Gdy miejsce zerowe pochodnej leży poza przedziałem, minimum/maximum przyjmowane jest na brzegu - wartość wyznacza się z monotoniczności. Warto pamiętać \\(24^{3}=13824\\), \\(8^{3}=512\\), \\(12^{3}=1728\\) - tabela sześcianów.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, miejsce zerowe funkcji $f(x)$ wyznaczamy rozwiązując równanie $3x+6=0 \\rightarrow x=-2$.
Aby wyznaczyć, ile wynosi $a$ musimy rozwiązać równanie opisujące miejsce zerowe funkcji $g(x)$, czyli: $\\small \\displaystyle a\\cdot(-2)+7=0 \\rightarrow a=\\frac{7}{2}$
Miejsce zerowe funkcji
\nf(x)=3x+6
\nwynosi
\n3x+6=0 ⇒ x=-2.
\nFunkcja g ma to samo miejsce zerowe:
\ng(-2)=-2a+7=0.
\na=(7)/(2).
"}]}