{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest\nwykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty\nprzecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dla funkcji f prawdziwa jest równość A. f(-4)=f(6) B. f(-4)=f(5) C. f(-4)=f(4) D. f(-4)=f(7)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: 14.1: x ∈ [−2, 4] | 14.2: B (f(x) = −(x−1)² + 9) | 14.3: A (f(−4) = f(6)) | 14.4: g↔A, h↔E\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWykres funkcji $f$\n\nZ wykresu odczytujemy:\n\n- wierzchołek: $W = (1,\\, 9)$\n- miejsca zerowe: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$\n- punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 8)$\n- parabola otwiera się w dół (ujemny współczynnik przy $x^2$)\n\n14.1 — zbiór rozwiązań $f(x) \\geq 0$ (1 pkt)\n\nNierówność $f(x) \\geq 0$ oznacza: dla których $x$ wykres jest nad osią OX lub na niej?\n\nZ wykresu widać: parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi $-2$ i $4$. W samych miejscach zerowych $f(x) = 0$, więc warunek $\\geq 0$ je obejmuje.\n\n14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)\n\nWybierz spośród: A. $f(x) = -(x+1)^2 - 9$, B. $f(x) = -(x-1)^2 + 9$, C. $f(x) = -(x-1)^2 - 9$, D. $f(x) = -(x+1)^2 + 9$.\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\n$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$\n\ngdzie $(p, q)$ to wierzchołek paraboli, a $a$ to współczynnik kierunkowy.\n\nZ wierzchołka $W = (1, 9)$: $p = 1$, $q = 9$. Więc $f(x) = a(x - 1)^2 + 9$.\n\nZ faktu, że parabola otwiera się w dół: $a < 0$. Wszystkie odpowiedzi mają $a = -1$, więc to OK — weryfikujemy.\n\nSprawdzenie $f(0) = 8$: $f(0) = -1 \\cdot (0-1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8$ ✓\n\n14.3 — który $x$ spełnia $f(-4) = f(?)$ (1 pkt)\n\nWybierz spośród: A. $f(-4) = f(6)$, B. $f(-4) = f(5)$, C. $f(-4) = f(4)$, D. $f(-4) = f(7)$.\n\nKlucz: parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Tutaj wierzchołek ma $x = 1$, więc oś symetrii to prosta $x = 1$.\n\nDla każdego punktu $x_0$ istnieje punkt $x_1$ symetryczny do niego (i $f(x_0) = f(x_1)$) taki, że $x_0$ i $x_1$ są równo oddalone od $x = 1$:\n\n$$\\frac{x_0 + x_1}{2} = 1 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad x_1 = 2 - x_0$$\n\nDla $x_0 = -4$: $x_1 = 2 - (-4) = 6$.\n\n14.4 — wykresy $g(x) = f(x+3)$ oraz $h(x) = f(-x)$ (2 pkt)\n\nKażdej z funkcji $g, h$ przyporządkuj fragment wykresu (A–F).\n\n$g(x) = f(x + 3)$ — przesunięcie poziome\n\nZastąpienie $x$ przez $x + 3$ powoduje przesunięcie wykresu o 3 w lewo (tak — w lewo, nie w prawo, mimo plusa).\n\nIntuicja: chcemy w $g$ uzyskać wartość, jaką $f$ ma w punkcie „3 dalej w prawo\". Żeby to zrobić, musimy „cofnąć\" wykres o 3 jednostki — przesunąć go w lewo.\n\nPozycja po przesunięciu:\n\n- wierzchołek: $(1, 9) \\to (-2, 9)$\n- miejsca zerowe: $-2$ i $4$ → $-5$ i $1$\n- kształt i orientacja (otwiera się w dół) — bez zmian\n\nWśród rysunków A–F szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-2, 9)$ i miejscami zerowymi $-5, 1$. To rysunek A.\n\n$h(x) = f(-x)$ — odbicie symetryczne względem osi $OY$\n\nZastąpienie $x$ przez $-x$ powoduje odbicie wykresu względem osi $OY$.\n\nPozycja po odbiciu:\n\n- wierzchołek: $(1, 9) \\to (-1, 9)$\n- miejsca zerowe: $-2, 4$ → $2, -4$ (czyli $-4$ i $2$)\n- kształt i orientacja — bez zmian\n\nSzukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-1, 9)$ i miejscami zerowymi $-4, 2$. To rysunek E.\n\nKlucz uniwersalny — przekształcenia wykresów\n\nOperacja | Co robi z wykresem\n$f(x) + c$ | przesunięcie w górę o $c$\n$f(x) - c$ | przesunięcie w dół o $c$\n$f(x + c)$ | przesunięcie w lewo o $c$\n$f(x - c)$ | przesunięcie w prawo o $c$\n$f(-x)$ | odbicie względem osi $OY$\n$-f(x)$ | odbicie względem osi $OX$\n$\\ | f(x)\\ | $ | część pod osią $OX$ odbija się do góry\n$f(\\ | x\\ | )$ | część dla $x \\geq 0$ kopiuje się symetrycznie na $x < 0$\n\nTe osiem reguł pokrywa wszystkie zadania o przekształceniach wykresów na maturze podstawowej. Warto je rozpoznawać natychmiast.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie postaci kanonicznej i ogólnej funkcji kwadratowej, a w 14.4 — kierunek przesunięcia g(x) = f(x+3) (przesunięcie o 3 w LEWO, nie w prawo).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"funkcja kwadratowa, odczyt z wykresu, przekształcenia","page_from":13,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest<br>wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty<br>przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dla funkcji f prawdziwa jest równość A. f(-4)=f(6) B. f(-4)=f(5) C. f(-4)=f(4) D. f(-4)=f(7)</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: 14.1: x ∈ [−2, 4] | 14.2: B (f(x) = −(x−1)² + 9) | 14.3: A (f(−4) = f(6)) | 14.4: g↔A, h↔E</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Wykres funkcji $f$</p>\n<p>Z wykresu odczytujemy:</p>\n<ul><li>wierzchołek: $W = (1,\\, 9)$</li><li>miejsca zerowe: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$</li><li>punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 8)$</li><li>parabola otwiera się w dół (ujemny współczynnik przy $x^2$)</li></ul>\n<p>14.1 — zbiór rozwiązań $f(x) \\geq 0$ (1 pkt)</p>\n<p>Nierówność $f(x) \\geq 0$ oznacza: dla których $x$ wykres jest nad osią OX lub na niej?</p>\n<p>Z wykresu widać: parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi $-2$ i $4$. W samych miejscach zerowych $f(x) = 0$, więc warunek $\\geq 0$ je obejmuje.</p>\n<p>14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)</p>\n<p>Wybierz spośród: A. $f(x) = -(x+1)^2 - 9$, B. $f(x) = -(x-1)^2 + 9$, C. $f(x) = -(x-1)^2 - 9$, D. $f(x) = -(x+1)^2 + 9$.</p>\n<p>Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:</p>\n<p>$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$</p>\n<p>gdzie $(p, q)$ to wierzchołek paraboli, a $a$ to współczynnik kierunkowy.</p>\n<p>Z wierzchołka $W = (1, 9)$: $p = 1$, $q = 9$. Więc $f(x) = a(x - 1)^2 + 9$.</p>\n<p>Z faktu, że parabola otwiera się w dół: $a &lt; 0$. Wszystkie odpowiedzi mają $a = -1$, więc to OK — weryfikujemy.</p>\n<p>Sprawdzenie $f(0) = 8$: $f(0) = -1 \\cdot (0-1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8$ ✓</p>\n<p>14.3 — który $x$ spełnia $f(-4) = f(?)$ (1 pkt)</p>\n<p>Wybierz spośród: A. $f(-4) = f(6)$, B. $f(-4) = f(5)$, C. $f(-4) = f(4)$, D. $f(-4) = f(7)$.</p>\n<p>Klucz: parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Tutaj wierzchołek ma $x = 1$, więc oś symetrii to prosta $x = 1$.</p>\n<p>Dla każdego punktu $x_0$ istnieje punkt $x_1$ symetryczny do niego (i $f(x_0) = f(x_1)$) taki, że $x_0$ i $x_1$ są równo oddalone od $x = 1$:</p>\n<p>$$\\frac{x_0 + x_1}{2} = 1 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad x_1 = 2 - x_0$$</p>\n<p>Dla $x_0 = -4$: $x_1 = 2 - (-4) = 6$.</p>\n<p>14.4 — wykresy $g(x) = f(x+3)$ oraz $h(x) = f(-x)$ (2 pkt)</p>\n<p>Każdej z funkcji $g, h$ przyporządkuj fragment wykresu (A–F).</p>\n<p>$g(x) = f(x + 3)$ — przesunięcie poziome</p>\n<p>Zastąpienie $x$ przez $x + 3$ powoduje przesunięcie wykresu o 3 w lewo (tak — w lewo, nie w prawo, mimo plusa).</p>\n<p>Intuicja: chcemy w $g$ uzyskać wartość, jaką $f$ ma w punkcie „3 dalej w prawo&quot;. Żeby to zrobić, musimy „cofnąć&quot; wykres o 3 jednostki — przesunąć go w lewo.</p>\n<p>Pozycja po przesunięciu:</p>\n<ul><li>wierzchołek: $(1, 9) \\to (-2, 9)$</li><li>miejsca zerowe: $-2$ i $4$ → $-5$ i $1$</li><li>kształt i orientacja (otwiera się w dół) — bez zmian</li></ul>\n<p>Wśród rysunków A–F szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-2, 9)$ i miejscami zerowymi $-5, 1$. To rysunek A.</p>\n<p>$h(x) = f(-x)$ — odbicie symetryczne względem osi $OY$</p>\n<p>Zastąpienie $x$ przez $-x$ powoduje odbicie wykresu względem osi $OY$.</p>\n<p>Pozycja po odbiciu:</p>\n<ul><li>wierzchołek: $(1, 9) \\to (-1, 9)$</li><li>miejsca zerowe: $-2, 4$ → $2, -4$ (czyli $-4$ i $2$)</li><li>kształt i orientacja — bez zmian</li></ul>\n<p>Szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-1, 9)$ i miejscami zerowymi $-4, 2$. To rysunek E.</p>\n<p>Klucz uniwersalny — przekształcenia wykresów</p>\n<p>Operacja | Co robi z wykresem<br>$f(x) + c$ | przesunięcie w górę o $c$<br>$f(x) - c$ | przesunięcie w dół o $c$<br>$f(x + c)$ | przesunięcie w lewo o $c$<br>$f(x - c)$ | przesunięcie w prawo o $c$<br>$f(-x)$ | odbicie względem osi $OY$<br>$-f(x)$ | odbicie względem osi $OX$<br>$\\ | f(x)\\ | $ | część pod osią $OX$ odbija się do góry<br>$f(\\ | x\\ | )$ | część dla $x \\geq 0$ kopiuje się symetrycznie na $x &lt; 0$</p>\n<p>Te osiem reguł pokrywa wszystkie zadania o przekształceniach wykresów na maturze podstawowej. Warto je rozpoznawać natychmiast.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie postaci kanonicznej i ogólnej funkcji kwadratowej, a w 14.4 — kierunek przesunięcia g(x) = f(x+3) (przesunięcie o 3 w LEWO, nie w prawo).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - iloraz \\(q = 3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - układ równań z wzoru ogólnego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym każdy wyraz dany jest wzorem:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]</p>\n<p>Zapisujemy dwa równania dla znanych wyrazów:<br>\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 2\\]<br>\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 54\\]</p>\n<p>Dzielimy drugie równanie przez pierwsze (eliminujemy \\(a_1\\)):<br>\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{54}{2}\\]<br>\\[q^3 = 27\\]<br>\\[q = \\sqrt[3]{27} = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p><strong>Iloraz ciągu wynosi \\(q = 3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przez „skok&quot; między wyrazami</h4>\n<p>Zauważamy, że od \\(a_2\\) do \\(a_5\\) mamy dokładnie <strong>3 przemnożenia przez \\(q\\)</strong>:<br>\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane wartości:<br>\\[54 = 2 \\cdot q^3\\]<br>\\[q^3 = \\frac{54}{2} = 27\\]<br>\\[q = \\sqrt[3]{27} = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p>To szybsze podejście - nie trzeba wyznaczać \\(a_1\\), bo korzystamy bezpośrednio z relacji między dwoma wyrazami.</p>\n<p>Weryfikacja: \\(a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{2}{3}\\), więc:</p>\n<ul><li>\\(a_3 = \\frac{2}{3} \\cdot 3^2 = 6\\)</li><li>\\(a_4 = \\frac{2}{3} \\cdot 3^3 = 18\\)</li><li>\\(a_5 = \\frac{2}{3} \\cdot 3^4 = \\frac{2 \\cdot 81}{3} = 54\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór ogólny ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania równań dla \\(a_2\\) i \\(a_5\\).</p>\n<p>Kluczowa własność (wynikająca bezpośrednio z wzoru ogólnego):<br>\\[a_m = a_k \\cdot q^{m-k}\\]<br>To właśnie ta zależność pozwoliła w Sposobie 2 ominąć wyznaczanie \\(a_1\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B - \\(9\\) | Uczeń rozwiązuje \\(q^2 = \\frac{54}{2}\\), czyli zakłada, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są <strong>2</strong> przemnożenia zamiast <strong>3</strong> |<br>| C - \\(\\frac{52}{3}\\) | Uczeń liczy różnicę \\(54 - 2 = 52\\) i dzieli przez \\(3\\) - myli ciąg geometryczny z <strong>arytmetycznym</strong> |<br>| D - \\(27\\) | Uczeń zatrzymuje się na \\(q^3 = 27\\) i nie wyciąga pierwiastka sześciennego - podaje \\(q^3\\) zamiast \\(q\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skok między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) to <strong>trzy</strong> kroki, nie dwa i nie cztery. Policz: \\(5 - 2 = 3\\), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\). Pomylenie liczby kroków to najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym! W geometrycznym <strong>mnożymy</strong> przez \\(q\\), w arytmetycznym <strong>dodajemy</strong> \\(r\\). Odpowiedź C pochodzi właśnie z błędnego zastosowania różnicy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że pytanie pyta o \\(q\\), a nie o \\(q^3\\). Po otrzymaniu \\(q^3 = 27\\) trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek sześcienny - \\(q = \\sqrt[3]{27} = 3\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zależność wyrazów ciągu geometrycznego</h5>\n<p>\\(a_5 = a_2\\cdot q^3\\), bo \\(a_5=a_2\\cdot q^{5-2}\\). Stąd \\(54=2q^3\\), \\(q^3=27\\), \\(q=3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a_1\\)</h5>\n<p>\\(a_2=a_1 q\\), więc \\(a_1=\\tfrac{2}{q}\\). \\(a_5=a_1 q^4=\\tfrac{2q^4}{q}=2q^3=54\\), stąd \\(q=3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(9\\)</strong> - to \\(q^2\\), nie sam iloraz.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{52}{3}\\)</strong> - \\(\\tfrac{a_5-a_2}{3}=\\tfrac{52}{3}\\) (mylone z ciągiem arytmetycznym, różnica).</li><li><strong>D. \\(27\\)</strong> - to \\(q^3\\), nie iloraz.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a_m=a_k\\cdot q^{m-k}\\); jeśli szukasz \\(q\\) z dwóch wyrazów, wykładnik = różnica indeksów.</p>"}]}