{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu\ntak, aby zdanie było prawdziwe.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) ≥0 jest przedział\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział ..................................... .","answer":"[-2,4]","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n[-2, 4]\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci [4, -2], to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\langle -2,\\ 4 \\rangle\\)\n\nNierówność \\(f(x) \\geq 0\\) ma rozwiązanie: \\(\\langle -2,\\ 4 \\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu (bez wyznaczania wzoru)\n\n**Co widzimy na rysunku?**\n\nParabola jest **otwarta w dół** (ramiona skierowane w dół), a jej miejsca zerowe to:\n\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4\\]\n\nNierówność \\(f(x) \\geq 0\\) pyta: **dla których \\(x\\) wykres leży powyżej lub na osi \\(Ox\\)?**\n\nPonieważ parabola otwiera się w dół:\n- między pierwiastkami (\\(-2 \\leq x \\leq 4\\)) - wykres jest **powyżej** osi \\(Ox\\), czyli \\(f(x) \\geq 0\\) ✓\n- poza pierwiastkami (\\(x < -2\\) lub \\(x > 4\\)) - wykres jest **poniżej** osi \\(Ox\\), czyli \\(f(x) < 0\\) ✗\n\n**Zbiór rozwiązań:**\n\\[\\boxed{\\langle -2,\\ 4 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wzoru funkcji i rozwiązanie algebraiczne\n\n**Krok 1: Ustal wzór \\(f\\) w postaci iloczynowej.**\n\nZnamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), więc:\n\\[f(x) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik \\(a\\).**\n\nKorzystamy z punktu przecięcia z osią \\(Oy\\): parabola przechodzi przez \\((0, 8)\\), czyli \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]\n\\[a = -1\\]\n\n**Krok 3: Zapisz pełny wzór.**\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nSprawdzenie: wierzchołek w \\(x = \\frac{-2+4}{2} = 1\\), \\(f(1) = -(3)(-3) = 9\\) ✓\n\n**Krok 4: Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\geq 0\\).**\n\n\\[-(x+2)(x-4) \\geq 0\\]\n\\[(x+2)(x-4) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny** (≤ 0), gdy czynniki mają **różne znaki lub jeden jest zerem**:\n\n| \\(x\\) | \\(x+2\\) | \\(x-4\\) | iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) → \\(> 0\\) ✗ |\n| \\(x = -2\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-2 < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) → \\(\\leq 0\\) ✓ |\n| \\(x = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) → \\(> 0\\) ✗ |\n\n**Zbiór rozwiązań:**\n\\[\\boxed{\\langle -2,\\ 4 \\rangle}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do zapisania wzoru przez znane pierwiastki.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - miejsca zerowe i znak funkcji kwadratowej:\n- Dla \\(a < 0\\): funkcja jest nieujemna **między** pierwiastkami (\\(x_1 \\leq x \\leq x_2\\))\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwiera się w **dół** (\\(a < 0\\)), więc \\(f(x) \\geq 0\\) zachodzi **między** pierwiastkami - odwrotnie niż przy paraboli skierowanej w górę. To najczęstszy błąd: zamiana wnętrza z zewnętrzem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostre** (\\(\\geq 0\\)), więc przedział jest **domknięty** \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\) - oba końce należą do zbioru rozwiązań (bo \\(f(-2) = f(4) = 0\\)). Błędem byłoby wpisanie otwartego przedziału \\((-2, 4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać pełnego wzoru \\(f\\) - wystarczy odczytać miejsca zerowe z wykresu i określić kierunek otwarcia paraboli. Sposób 1 jest szybszy i w zupełności wystarczający na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\([-2,\\ 4]\\)**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nParabola ma ramiona skierowane w dół i przecina oś \\(x\\) w punktach \\(x=-2\\) oraz \\(x=4\\). Między tymi miejscami zerowymi \\(f(x)\\geq 0\\) (wykres nad osią lub na osi).\n\n### Sposób 2 - Znak funkcji kwadratowej\nDla \\(a<0\\) (ramiona w dół) i pierwiastków \\(x_1=-2\\), \\(x_2=4\\): \\(f(x)\\geq 0 \\Leftrightarrow x\\in[x_1,x_2]=[-2,4]\\).\n\n### Dlaczego uważać\n- Popularny błąd: odwrócenie porządku \\([4,-2]\\) (CKE przyznaje 1 pkt za „dyskalkulię\").\n- Nierówność **nieostra** (\\(\\geq\\)) - końce wliczone, używamy nawiasów kwadratowych.\n- Nie mylić z \\(f(x)>0\\) - bez końców, \\((-2,4)\\).\n\n**Trik:** pierwiastki na wykresie czytamy tam, gdzie parabola dotyka lub przecina oś \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza definicji przedziału\nAby funkcją f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x, oznacza to, że wartości funkcji f(x) są nieujemne lub równe zero. Ponieważ parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, jej wykres jest zawsze skierowany do góry (bo nie mamy przycisku minus przed x²). Oznacza to, że funkcja f(x) będzie miała zero minimum, a wszystkie jej wartości będą większe lub równe zero. Zatem przedział, w którym f(x) \\(\\geq\\) 0, to przedział z minimum paraboli do nieskończoności. Z treści zadania wiemy, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami są całkowite. Z tego wynika, że minimum paraboli musi być w punkcie, w którym x i y są całkowite. W takim przypadku, f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x.\n\n[\n```math\nf(x) \\geq 0 \\implies x \\in [minimum, \\infty)\n]\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9: F.kwadratowa: Δ=b²-4ac, x=(-b±√Δ)/(2a), W=(-b/2a, -Δ/4a), Viète: x₁+x₂=-b/a, x₁·x₂=c/a\n\n### Sposób 2: Związek z wierzchołkiem i współrzędnymi punktów przecięcia z osiami\nWierzchołek paraboli ma współrzędne całkowite. Ponieważ parabola jest skierowana do góry, jej minimum znajduje się w wierzchołku. Zatem f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x. Punkt przecięcia z osią x to miejsce, gdzie f(x) = 0. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne całkowite, to wierzchołek musi być jednym z rozwiązań nierówności f(x) \\(\\geq\\) 0. Ponieważ parabola jest skierowana do góry, to rozwiązaniem nierówności f(x) \\(\\geq\\) 0 jest przedział od wierzchołka do nieskończoności.\n\n[\n```math\nf(x) \\geq 0 \\implies x \\in [wierzchołek, \\infty)\n]\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Nieprawidłowe, ponieważ f(x) \\(\\geq\\) 0 nie oznacza, że f(x) musi być zawsze dodatnie, tylko nieujemne.\n* **C:** Nieprawidłowe, ponieważ nie określa przedziału, w którym f(x) \\(\\geq\\) 0.\n* **D:** Nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględnia f(x) \\(\\geq\\) 0, a jedynie f(x) ≥ 0.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14.1. (0-1)<br>Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu<br>tak, aby zdanie było prawdziwe.<br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) ≥0 jest przedział<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział ..................................... .</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14.1. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>V.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]<br>przedziały, w których funkcja przyjmuje<br>wartości większe (nie mniejsze) lub<br>mniejsze (nie większe) od danej liczby […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>[-2, 4]<br>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności<br>w postaci [4, -2], to otrzymuje 1 punkt.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\langle -2,\\ 4 \\rangle\\)</h4>\n<p>Nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) ma rozwiązanie: \\(\\langle -2,\\ 4 \\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - odczyt z wykresu (bez wyznaczania wzoru)</h4>\n<p><strong>Co widzimy na rysunku?</strong></p>\n<p>Parabola jest <strong>otwarta w dół</strong> (ramiona skierowane w dół), a jej miejsca zerowe to:<br>\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4\\]</p>\n<p>Nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) pyta: <strong>dla których \\(x\\) wykres leży powyżej lub na osi \\(Ox\\)?</strong></p>\n<p>Ponieważ parabola otwiera się w dół:</p>\n<ul><li>między pierwiastkami (\\(-2 \\leq x \\leq 4\\)) - wykres jest <strong>powyżej</strong> osi \\(Ox\\), czyli \\(f(x) \\geq 0\\) ✓</li><li>poza pierwiastkami (\\(x &lt; -2\\) lub \\(x &gt; 4\\)) - wykres jest <strong>poniżej</strong> osi \\(Ox\\), czyli \\(f(x) &lt; 0\\) ✗</li></ul>\n<p><strong>Zbiór rozwiązań:</strong><br>\\[\\boxed{\\langle -2,\\ 4 \\rangle}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczenie wzoru funkcji i rozwiązanie algebraiczne</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustal wzór \\(f\\) w postaci iloczynowej.</strong></p>\n<p>Znamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), więc:<br>\\[f(x) = a(x + 2)(x - 4)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz współczynnik \\(a\\).</strong></p>\n<p>Korzystamy z punktu przecięcia z osią \\(Oy\\): parabola przechodzi przez \\((0, 8)\\), czyli \\(f(0) = 8\\):<br>\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]<br>\\[a = -1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Zapisz pełny wzór.</strong><br>\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: wierzchołek w \\(x = \\frac{-2+4}{2} = 1\\), \\(f(1) = -(3)(-3) = 9\\) ✓</p>\n<p><strong>Krok 4: Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\geq 0\\).</strong></p>\n<p>\\[-(x+2)(x-4) \\geq 0\\]<br>\\[(x+2)(x-4) \\leq 0\\]</p>\n<p>Iloczyn dwóch czynników jest <strong>nieujemny</strong> (≤ 0), gdy czynniki mają <strong>różne znaki lub jeden jest zerem</strong>:</p>\n<p>| \\(x\\) | \\(x+2\\) | \\(x-4\\) | iloczyn |<br>| \\(x &lt; -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) → \\(&gt; 0\\) ✗ |<br>| \\(x = -2\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |<br>| \\(-2 &lt; x &lt; 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) → \\(\\leq 0\\) ✓ |<br>| \\(x = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |<br>| \\(x &gt; 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) → \\(&gt; 0\\) ✗ |</p>\n<p><strong>Zbiór rozwiązań:</strong><br>\\[\\boxed{\\langle -2,\\ 4 \\rangle}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do zapisania wzoru przez znane pierwiastki.</p>\n<p><strong>Dział 7 (s. 7-9)</strong> - miejsca zerowe i znak funkcji kwadratowej:</p>\n<ul><li>Dla \\(a &lt; 0\\): funkcja jest nieujemna <strong>między</strong> pierwiastkami (\\(x_1 \\leq x \\leq x_2\\))</li></ul>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola otwiera się w <strong>dół</strong> (\\(a &lt; 0\\)), więc \\(f(x) \\geq 0\\) zachodzi <strong>między</strong> pierwiastkami - odwrotnie niż przy paraboli skierowanej w górę. To najczęstszy błąd: zamiana wnętrza z zewnętrzem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nierówność jest <strong>nieostre</strong> (\\(\\geq 0\\)), więc przedział jest <strong>domknięty</strong> \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\) - oba końce należą do zbioru rozwiązań (bo \\(f(-2) = f(4) = 0\\)). Błędem byłoby wpisanie otwartego przedziału \\((-2, 4)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie trzeba wyznaczać pełnego wzoru \\(f\\) - wystarczy odczytać miejsca zerowe z wykresu i określić kierunek otwarcia paraboli. Sposób 1 jest szybszy i w zupełności wystarczający na maturze.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\([-2,\\ 4]\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Parabola ma ramiona skierowane w dół i przecina oś \\(x\\) w punktach \\(x=-2\\) oraz \\(x=4\\). Między tymi miejscami zerowymi \\(f(x)\\geq 0\\) (wykres nad osią lub na osi).</p>\n<h5>Sposób 2 - Znak funkcji kwadratowej</h5>\n<p>Dla \\(a&lt;0\\) (ramiona w dół) i pierwiastków \\(x_1=-2\\), \\(x_2=4\\): \\(f(x)\\geq 0 \\Leftrightarrow x\\in[x_1,x_2]=[-2,4]\\).</p>\n<h5>Dlaczego uważać</h5>\n<ul><li>Popularny błąd: odwrócenie porządku \\([4,-2]\\) (CKE przyznaje 1 pkt za „dyskalkulię&quot;).</li><li>Nierówność <strong>nieostra</strong> (\\(\\geq\\)) - końce wliczone, używamy nawiasów kwadratowych.</li><li>Nie mylić z \\(f(x)&gt;0\\) - bez końców, \\((-2,4)\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> pierwiastki na wykresie czytamy tam, gdzie parabola dotyka lub przecina oś \\(x\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza definicji przedziału</h5>\n<p>Aby funkcją f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x, oznacza to, że wartości funkcji f(x) są nieujemne lub równe zero. Ponieważ parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, jej wykres jest zawsze skierowany do góry (bo nie mamy przycisku minus przed x²). Oznacza to, że funkcja f(x) będzie miała zero minimum, a wszystkie jej wartości będą większe lub równe zero. Zatem przedział, w którym f(x) \\(\\geq\\) 0, to przedział z minimum paraboli do nieskończoności. Z treści zadania wiemy, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami są całkowite. Z tego wynika, że minimum paraboli musi być w punkcie, w którym x i y są całkowite. W takim przypadku, f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x.</p>\n<p>[<br>```math<br>f(x) \\geq 0 \\implies x \\in [minimum, \\infty)<br>]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7-9: F.kwadratowa: Δ=b²-4ac, x=(-b±√Δ)/(2a), W=(-b/2a, -Δ/4a), Viète: x₁+x₂=-b/a, x₁·x₂=c/a</p>\n<h5>Sposób 2: Związek z wierzchołkiem i współrzędnymi punktów przecięcia z osiami</h5>\n<p>Wierzchołek paraboli ma współrzędne całkowite. Ponieważ parabola jest skierowana do góry, jej minimum znajduje się w wierzchołku. Zatem f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x. Punkt przecięcia z osią x to miejsce, gdzie f(x) = 0. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne całkowite, to wierzchołek musi być jednym z rozwiązań nierówności f(x) \\(\\geq\\) 0. Ponieważ parabola jest skierowana do góry, to rozwiązaniem nierówności f(x) \\(\\geq\\) 0 jest przedział od wierzchołka do nieskończoności.</p>\n<p>[<br>```math<br>f(x) \\geq 0 \\implies x \\in [wierzchołek, \\infty)<br>]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> Nieprawidłowe, ponieważ f(x) \\(\\geq\\) 0 nie oznacza, że f(x) musi być zawsze dodatnie, tylko nieujemne.</li><li><strong>C:</strong> Nieprawidłowe, ponieważ nie określa przedziału, w którym f(x) \\(\\geq\\) 0.</li><li><strong>D:</strong> Nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględnia f(x) \\(\\geq\\) 0, a jedynie f(x) ≥ 0.</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe: -2 i 4 .<br>Parabola jest skierowana ramionami w dół, dlatego f(x)≥0 pomiędzy miejscami zerowymi:</p>\n<p>x∈[-2,4].</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$[-2, 4]$</p>"}]}