{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla funkcji 𝑓 prawdziwa jest równość\nA. 𝑓(-4) = 𝑓(6)\nB. 𝑓(-4) = 𝑓(5)\nC. 𝑓(-4) = 𝑓(4)\nD. 𝑓(-4) = 𝑓(7)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(f(-4) = f(6)\\)\n\n## Sposób 1 - Oś symetrii paraboli\n\n**Kluczowa własność paraboli**: punkty symetryczne względem osi symetrii mają tę samą wartość funkcji.\n\nZ opisu rysunku odczytujemy wierzchołek: \\(W = (1, 9)\\).\n\n**Oś symetrii** paraboli: \\(x = 1\\)\n\nSzukamy punktu symetrycznego do \\(x = -4\\) względem osi \\(x = 1\\):\n\n\\[-4 \\xrightarrow{?} x_2, \\quad \\text{warunek: } \\frac{-4 + x_2}{2} = 1\\]\n\n\\[-4 + x_2 = 2\\]\n\n\\[x_2 = 6\\]\n\n**Zatem \\(f(-4) = f(6)\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i podstawienie\n\nZ rysunku odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\). Zapisujemy postać iloczynową:\n\n\\[f(x) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\nPodstawiamy wierzchołek \\(f(1) = 9\\):\n\n\\[a(1+2)(1-4) = 9\\]\n\\[a \\cdot 3 \\cdot (-3) = 9\\]\n\\[-9a = 9 \\implies a = -1\\]\n\nWzór funkcji:\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nWeryfikacja: \\(f(0) = 8\\) ✓ (zgodne z wykresem)\n\nTeraz obliczamy:\n\\[f(-4) = -(-4)^2 + 2 \\cdot (-4) + 8 = -16 - 8 + 8 = \\mathbf{-16}\\]\n\n\\[f(6) = -(6)^2 + 2 \\cdot 6 + 8 = -36 + 12 + 8 = \\mathbf{-16}\\]\n\n\\[f(-4) = f(6) = -16 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli i postać iloczynowa:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} \\quad \\text{(odcięta wierzchołka = oś symetrii)}\\]\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \\quad \\text{(postać iloczynowa, gdy } \\Delta \\geq 0\\text{)}\\]\n\nUżyliśmy postaci iloczynowej w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji z miejsc zerowych, a własności osi symetrii w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń szuka punktu symetrycznego do \\(-4\\) względem \\(x = 0\\) (osi \\(Oy\\)), zamiast osi symetrii \\(x = 1\\) → wychodzi \\(x_2 = 4\\), a potem myli zapis i podaje 5 |\n| **C** | Uczeń bierze punkt \\(x = 4\\) (miejsce zerowe) jako \"symetryczny\" do \\(-4\\), bo \\(|-4| = |4|\\) - myli symetrię względem \\(Oy\\) z symetrią względem osi paraboli |\n| **D** | Uczeń oblicza oś symetrii jako \\(\\frac{-2 + 4}{2} = 1\\), ale potem popełnia błąd arytmetyczny: \\(1 + (1-(-4)) = 1 + 5 = 6\\) i błędnie zapisuje \\(7\\) zamiast \\(6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to **NIE** jest oś \\(Oy\\). Punkty symetryczne liczymy względem osi \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to odcięta wierzchołka - tu \\(x = 1\\), nie \\(x = 0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odczytując wierzchołek z wykresu, upewnij się czy skala osi jest \"co 1\". Tu oś \\(Ox\\) zaczyna się od \\(-7\\), więc wierzchołek przy \\(y = 9\\) jest wyraźnie w \\(x = 1\\), nie \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli widzisz miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\), możesz od razu odczytać oś symetrii jako ich **średnią arytmetyczną**: \\(\\frac{-2 + 4}{2} = 1\\). To szybszy sposób niż obliczanie \\(-\\frac{b}{2a}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi paraboli\nOś symetrii paraboli: \\(x=1\\). Dla każdego \\(x_0\\): \\(f(x_0)=f(2-x_0)\\) (odbicie względem \\(x=1\\)).\nDla \\(x_0=-4\\): \\(2-(-4)=6\\). Więc \\(f(-4)=f(6)\\).\n\n### Sposób 2 - Obliczenie bezpośrednie\n\\(f(x)=-(x-1)^2+9\\). \\(f(-4)=-25+9=-16\\). \\(f(6)=-25+9=-16\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(f(5)\\)** - \\(f(5)=-16+9=-7\\) ≠ \\(-16\\).\n- **C. \\(f(4)\\)** - \\(f(4)=-9+9=0\\).\n- **D. \\(f(7)\\)** - \\(f(7)=-36+9=-27\\).\n\n**Trik:** dla paraboli z osią \\(x=p\\) punkty \\((p-d)\\) i \\((p+d)\\) dają tę samą wartość - tu \\(p=1\\), \\(d=5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza wierzchołka i punktów przecięcia z osiami\n\n1. **Zrozumienie warunków zadania:** Wierzchołek paraboli i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi. To oznacza, że współrzędne wierzchołka i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi.\n2. **Wzór ogólny paraboli:** Wzór ogólny paraboli to \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), gdzie *a*, *b* i *c* są współczynnikami.\n3. **Punkt przecięcia z osią X (pierwiastek):** Ponieważ jeden z pierwiastków (x-współrzędna punktu przecięcia z osią X) jest liczbą całkowitą, możemy użyć wzorów Viète'a: x₁ + x₂ = -b/a, gdzie x₁ i x₂ to pierwiastki.\n4. **Wierzchołek:** Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą -b/(2a). Ponieważ wierzchołek ma współrzędną x będącą liczbą całkowitą, to -b/(2a) musi być liczbą całkowitą.\n5. **Wybór odpowiedzi:** Z analizy wynika, że \\(f(-4) = f(5)\\) jest najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, ponieważ wierzchołek znajduje się w punkcie x = -b/(2a) i jeden z pierwiastków to -4, a drugi to 5. Wtedy -b/(2a) = -4 i 5. W takim przypadku -b/(2a) = 5. Wtedy f(-4) = f(5) jest prawdą.\n\n📖 Karta wzorów: **S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności wierzchołka i pierwiastków\n\n1. **Współrzędne wierzchołka:** Wierzchołek paraboli ma współrzędne \\(x_v = -\\frac{b}{2a}\\). Ponieważ \\(x_v\\) jest liczbą całkowitą, to \\(b\\) musi być podzielne przez \\(2a\\).\n2. **Pierwiastki:** Załóżmy, że pierwiastki to \\(x_1\\) i \\(x_2\\). Wtedy \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) i \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\).\n3. **Wybór odpowiednich wartości:** Zauważmy, że jeśli \\(f(-4) = f(5)\\), to \\(x_1 = -4\\) i \\(x_2 = 5\\). Wtedy:\n* \\(x_v = -\\frac{b}{2a} = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 5}{2} = \\frac{1}{2}\\), co nie jest liczbą całkowitą.\n* To sugeruje, że trzeba sprawdzić, czy \\(f(-4) = f(5)\\) jest prawdą, gdy wierzchołek i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi.\n\n📖 Karta wzorów: **S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(f(-4) = f(6)\\):** Nie ma podstaw, aby zakładać, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają takie współrzędne.\n* **C. \\(f(-4) = f(4)\\):** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, nie ma podstaw, aby zakładać, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają takie współrzędne.\n* **D. \\(f(-4) = f(7)\\):** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A i C, nie ma podstaw, aby zakładać, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają takie współrzędne.\n\nW tym konkretnym przypadku, odpowiedź B jest najbardziej prawdopodobna, ponieważ warunki zadania (wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mające współrzędne całkowite) sugerują, że pierwiastki są liczbami całkowitymi, a wierzchołek jest w punkcie, który jest liczbą całkowitą. Jednakże, aby to udowodnić, potrzebowalibyśmy dodatkowych informacji o funkcji *f(x)*.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.3.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14.3. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla funkcji 𝑓 prawdziwa jest równość
A. 𝑓(-4) = 𝑓(6)
B. 𝑓(-4) = 𝑓(5)
C. 𝑓(-4) = 𝑓(4)
D. 𝑓(-4) = 𝑓(7)

","answer_text_html":"

Zadanie 14.3. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji
określonych za pomocą […] wykresów […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
C
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(f(-4) = f(6)\\)

\n

Sposób 1 - Oś symetrii paraboli

\n

Kluczowa własność paraboli: punkty symetryczne względem osi symetrii mają tę samą wartość funkcji.

\n

Z opisu rysunku odczytujemy wierzchołek: \\(W = (1, 9)\\).

\n

Oś symetrii paraboli: \\(x = 1\\)

\n

Szukamy punktu symetrycznego do \\(x = -4\\) względem osi \\(x = 1\\):

\n

\\[-4 \\xrightarrow{?} x_2, \\quad \\text{warunek: } \\frac{-4 + x_2}{2} = 1\\]

\n

\\[-4 + x_2 = 2\\]

\n

\\[x_2 = 6\\]

\n

Zatem \\(f(-4) = f(6)\\) - odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i podstawienie

\n

Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\). Zapisujemy postać iloczynową:

\n

\\[f(x) = a(x + 2)(x - 4)\\]

\n

Podstawiamy wierzchołek \\(f(1) = 9\\):

\n

\\[a(1+2)(1-4) = 9\\]
\\[a \\cdot 3 \\cdot (-3) = 9\\]
\\[-9a = 9 \\implies a = -1\\]

\n

Wzór funkcji:
\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]

\n

Weryfikacja: \\(f(0) = 8\\) ✓ (zgodne z wykresem)

\n

Teraz obliczamy:
\\[f(-4) = -(-4)^2 + 2 \\cdot (-4) + 8 = -16 - 8 + 8 = \\mathbf{-16}\\]

\n

\\[f(6) = -(6)^2 + 2 \\cdot 6 + 8 = -36 + 12 + 8 = \\mathbf{-16}\\]

\n

\\[f(-4) = f(6) = -16 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wierzchołek paraboli i postać iloczynowa:

\n

\\[p = -\\frac{b}{2a} \\quad \\text{(odcięta wierzchołka = oś symetrii)}\\]

\n

\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \\quad \\text{(postać iloczynowa, gdy } \\Delta \\geq 0\\text{)}\\]

\n

Użyliśmy postaci iloczynowej w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji z miejsc zerowych, a własności osi symetrii w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń szuka punktu symetrycznego do \\(-4\\) względem \\(x = 0\\) (osi \\(Oy\\)), zamiast osi symetrii \\(x = 1\\) → wychodzi \\(x_2 = 4\\), a potem myli zapis i podaje 5 |
| C | Uczeń bierze punkt \\(x = 4\\) (miejsce zerowe) jako "symetryczny" do \\(-4\\), bo \\(|-4| = |4|\\) - myli symetrię względem \\(Oy\\) z symetrią względem osi paraboli |
| D | Uczeń oblicza oś symetrii jako \\(\\frac{-2 + 4}{2} = 1\\), ale potem popełnia błąd arytmetyczny: \\(1 + (1-(-4)) = 1 + 5 = 6\\) i błędnie zapisuje \\(7\\) zamiast \\(6\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Oś symetrii paraboli to NIE jest oś \\(Oy\\). Punkty symetryczne liczymy względem osi \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to odcięta wierzchołka - tu \\(x = 1\\), nie \\(x = 0\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Odczytując wierzchołek z wykresu, upewnij się czy skala osi jest "co 1". Tu oś \\(Ox\\) zaczyna się od \\(-7\\), więc wierzchołek przy \\(y = 9\\) jest wyraźnie w \\(x = 1\\), nie \\(x = 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli widzisz miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\), możesz od razu odczytać oś symetrii jako ich średnią arytmetyczną: \\(\\frac{-2 + 4}{2} = 1\\). To szybszy sposób niż obliczanie \\(-\\frac{b}{2a}\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Symetria względem osi paraboli
\n

Oś symetrii paraboli: \\(x=1\\). Dla każdego \\(x_0\\): \\(f(x_0)=f(2-x_0)\\) (odbicie względem \\(x=1\\)).
Dla \\(x_0=-4\\): \\(2-(-4)=6\\). Więc \\(f(-4)=f(6)\\).

\n
Sposób 2 - Obliczenie bezpośrednie
\n

\\(f(x)=-(x-1)^2+9\\). \\(f(-4)=-25+9=-16\\). \\(f(6)=-25+9=-16\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dla paraboli z osią \\(x=p\\) punkty \\((p-d)\\) i \\((p+d)\\) dają tę samą wartość - tu \\(p=1\\), \\(d=5\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Analiza wierzchołka i punktów przecięcia z osiami
\n
  1. Zrozumienie warunków zadania: Wierzchołek paraboli i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi. To oznacza, że współrzędne wierzchołka i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi.
  2. Wzór ogólny paraboli: Wzór ogólny paraboli to \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), gdzie a, b i c są współczynnikami.
  3. Punkt przecięcia z osią X (pierwiastek): Ponieważ jeden z pierwiastków (x-współrzędna punktu przecięcia z osią X) jest liczbą całkowitą, możemy użyć wzorów Viète'a: x₁ + x₂ = -b/a, gdzie x₁ i x₂ to pierwiastki.
  4. Wierzchołek: Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą -b/(2a). Ponieważ wierzchołek ma współrzędną x będącą liczbą całkowitą, to -b/(2a) musi być liczbą całkowitą.
  5. Wybór odpowiedzi: Z analizy wynika, że \\(f(-4) = f(5)\\) jest najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, ponieważ wierzchołek znajduje się w punkcie x = -b/(2a) i jeden z pierwiastków to -4, a drugi to 5. Wtedy -b/(2a) = -4 i 5. W takim przypadku -b/(2a) = 5. Wtedy f(-4) = f(5) jest prawdą.
\n

📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7

\n
Sposób 2: Wykorzystanie własności wierzchołka i pierwiastków
\n
  1. Współrzędne wierzchołka: Wierzchołek paraboli ma współrzędne \\(x_v = -\\frac{b}{2a}\\). Ponieważ \\(x_v\\) jest liczbą całkowitą, to \\(b\\) musi być podzielne przez \\(2a\\).
  2. Pierwiastki: Załóżmy, że pierwiastki to \\(x_1\\) i \\(x_2\\). Wtedy \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) i \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\).
  3. Wybór odpowiednich wartości: Zauważmy, że jeśli \\(f(-4) = f(5)\\), to \\(x_1 = -4\\) i \\(x_2 = 5\\). Wtedy:
\n\n

📖 Karta wzorów: S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W tym konkretnym przypadku, odpowiedź B jest najbardziej prawdopodobna, ponieważ warunki zadania (wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mające współrzędne całkowite) sugerują, że pierwiastki są liczbami całkowitymi, a wierzchołek jest w punkcie, który jest liczbą całkowitą. Jednakże, aby to udowodnić, potrzebowalibyśmy dodatkowych informacji o funkcji f(x).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ wykres danej funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej $x=1$. Odległość między $1$ a $(-4)$ wynosi $5$. Szukamy drugiego argumentu, tak samo oddalonego od $1$. Takim argumentem jest $x=6$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Oś symetrii paraboli ma równanie x=1 .
Liczby -4 i 6 leżą w tej samej odległości od osi:

\n

1-(-4)=5, 6-1=5.

\n

Dlatego

\n

f(-4)=f(6).

"}]}