{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.4","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.4. (0-2)\nFunkcje kwadratowe 𝑔 oraz ℎ są określone za pomocą funkcji 𝑓 (zobacz rysunek na\nstronie 13) następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(-𝑥).\nNa rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦),\nfragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji 𝑔 oraz fragment\nwykresu funkcji ℎ.\nUzupełnij tabelę. Każdej z funkcji 𝒈 oraz 𝒉 przyporządkuj fragment jej wykresu.\nWpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród\noznaczonych literami A-F.\nFragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku\nFragment wykresu funkcji 𝑦= ℎ(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\n1 2 3 4 5 6 7\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n1 2 3\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n14.4.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nC.\nD.\nE.\nF.\n1 2 3 4\n-6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n0\n-8\n-9\n-10\n1 2 3 4\n-6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n1 2 3 4 5 6\n-4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n0\n-8\n-9\n-10\n1 2 3 4 5 6\n-4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n0\n8\n-8\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Funkcje kwadratowe g oraz h są określone za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+3), h(x)=f(-x). Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14.4. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎), […] 𝑦= 𝑓(-𝑥).\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nA\nE\nE","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(g \\to A\\), \\(h \\to E\\)\n\n## Sposób 1 - analiza przekształceń geometrycznych\n\n**Krok 1: Odczytaj funkcję \\(f\\) z rysunku zadania 14.**\n\nZ opisu rysunku wynika, że funkcja \\(f\\) to parabola otwarta w dół z wierzchołkiem w punkcie \\(W = (1, 9)\\) i miejscami zerowymi \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\) - co odpowiada wykresowi **B** (parabola B opisuje właśnie taką funkcję).\n\nMożemy zapisać:\n\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]\n\nSprawdzenie miejsc zerowych:\n\\[-(x-1)^2 + 9 = 0 \\implies (x-1)^2 = 9 \\implies x = 1 \\pm 3\\]\n\\[\\boxed{x_1 = -2, \\quad x_2 = 4} \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wykres \\(g(x) = f(x+3)\\).**\n\nPrzekształcenie \\(f(x+3)\\) oznacza **przesunięcie wykresu \\(f\\) o 3 jednostki w lewo**.\n\n- Wierzchołek: \\((1, 9) \\xrightarrow{-3 \\text{ w poziomie}} (-2, 9)\\)\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = -2 - 3 = -5\\), \\(x_2 = 4 - 3 = 1\\)\n\nSprawdzenie rachunkowe:\n\\[g(x) = -(x+3-1)^2 + 9 = -(x+2)^2 + 9\\]\n\\[-(x+2)^2 + 9 = 0 \\implies x = -2 \\pm 3 \\implies x_1 = -5,\\ x_2 = 1 \\checkmark\\]\n\n**Pasuje wykres A** - wierzchołek \\((-2, 9)\\), przecięcia osi w \\(-5\\) i \\(1\\). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz wykres \\(h(x) = f(-x)\\).**\n\nPrzekształcenie \\(f(-x)\\) oznacza **symetrię wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\)** (odbicie lustrzane).\n\n- Wierzchołek: \\((1, 9) \\xrightarrow{\\text{odbicie } Oy} (-1, 9)\\)\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = -(-2) = 2\\), \\(x_2 = -(4) = -4\\)\n\nSprawdzenie rachunkowe:\n\\[h(x) = f(-x) = -(-x-1)^2 + 9 = -(x+1)^2 + 9\\]\n\\[-(x+1)^2 + 9 = 0 \\implies x = -1 \\pm 3 \\implies x_1 = -4,\\ x_2 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Pasuje wykres E** - wierzchołek \\((-1, 9)\\), przecięcia osi w \\(-4\\) i \\(2\\). ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wzory Viète'a i symetrię\n\n**Dla \\(g(x) = f(x+3)\\):** Każde miejsce zerowe \\(x_0\\) funkcji \\(f\\) staje się miejscem zerowym \\(g\\) w punkcie \\(x_0 - 3\\).\n\n\\[f: \\quad x_1 = -2,\\ x_2 = 4 \\quad \\Rightarrow \\quad g: \\quad x_1 - 3 = -5,\\ x_2 - 3 = 1\\]\n\nOś symetrii \\(g\\): \\(x = \\frac{-5 + 1}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\) - wierzchołek ma odciętą \\(-2\\). → **Wykres A** ✓\n\n**Dla \\(h(x) = f(-x)\\):** Każde miejsce zerowe \\(x_0\\) funkcji \\(f\\) staje się miejscem zerowym \\(h\\) w punkcie \\(-x_0\\).\n\n\\[f: \\quad x_1 = -2,\\ x_2 = 4 \\quad \\Rightarrow \\quad h: \\quad -x_1 = 2,\\ -x_2 = -4\\]\n\nOś symetrii \\(h\\): \\(x = \\frac{2 + (-4)}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\) - wierzchołek ma odciętą \\(-1\\). → **Wykres E** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia, jak przesunięcie \\(x \\to x+3\\) i odbicie \\(x \\to -x\\) zmieniają wierzchołek.\n\n**Dział 7 - miejsca zerowe:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nWzory Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) pozwoliły szybko wyznaczyć oś symetrii przekształconych funkcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wykres | Dlaczego nie pasuje do \\(g\\) ani \\(h\\) |\n| **B** | To jest oryginalna funkcja \\(f\\) - przesunięcie o 0 |\n| **C** | Inny wierzchołek - nie odpowiada żadnemu z przekształceń \\(f\\) |\n| **D** | Inny wierzchołek - nie odpowiada żadnemu z przekształceń \\(f\\) |\n| **F** | Parabola otwarta **w górę** - \\(f\\) otwarta w dół, a żadne z przekształceń (\\(x+3\\), \\(-x\\)) nie zmienia znaku współczynnika \\(a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x+3)\\) przesuwa wykres **w lewo** (o 3), nie w prawo! Intuicja podpowiada \"+3 = w prawo\", ale to odwrotność - w formule \\(f(x-p)\\) przesuwamy w prawo, a \\(f(x+p)\\) - w lewo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odbicie \\(h(x) = f(-x)\\) to symetria względem osi \\(Oy\\) - **nie zmienia** wartości maksymalnej (wierzchołek pozostaje na tej samej wysokości \\(y = 9\\)), tylko „przeprowadza\" go na stronę ujemną osi \\(Ox\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie czytaj wykresów A-F „na oko\". Kluczowe są dwie liczby: odciętej wierzchołka i miejsca zerowe. Sprawdź je rachunkowo - wtedy nie ma miejsca na błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(g \\to A\\), \\(h \\to E\\)**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcia wykresu\n- \\(g(x)=f(x+3)\\) - przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(3\\) jednostki **w lewo**. Wierzchołek z \\((1,9)\\) przesuwa się do \\((-2,9)\\). To opcja A.\n- \\(h(x)=f(-x)\\) - symetria względem osi \\(y\\) (pionowej). Wierzchołek z \\((1,9)\\) idzie do \\((-1,9)\\). To opcja E.\n\n### Sposób 2 - Obliczenie wzorów\n\\(f(x)=-(x-1)^2+9\\).\n- \\(g(x)=f(x+3)=-((x+3)-1)^2+9=-(x+2)^2+9\\). Wierzchołek \\((-2,9)\\), miejsca zerowe: \\(x\\in\\{-5,1\\}\\). Rysunek A.\n- \\(h(x)=f(-x)=-(-x-1)^2+9=-(x+1)^2+9\\). Wierzchołek \\((-1,9)\\), miejsca zerowe: \\(x\\in\\{-4,2\\}\\). Rysunek E.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B** (wierzchołek \\((3,9)\\)) - przesunięcie w prawo, odpowiada \\(f(x-3)\\).\n- **C** (wierzchołek \\((1,6)\\)) - inne \\(q\\), nie odpowiada żadnej z naszych funkcji.\n- **D, F** - ramiona w górę (\\(a>0\\)), to nie są przesunięcia/symetrie \\(f\\).\n\n**Trik:** \\(f(x+a)\\) → w lewo o \\(a\\); \\(f(-x)\\) → odbicie względem \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza fragmentów wykresów i definicji funkcji\n\n1. **Zrozumienie definicji funkcji:** Mamy funkcje kwadratowe g(x) i h(x) zdefiniowane za pomocą funkcji f(x) jako:\n* g(x) = f(x + 3)\n* h(x) = f(-x)\nTo oznacza, że wykresy g(x) i h(x) są przesunięte odpowiednio o -3 i +3 wzdłuż osi x oraz odbicia względem osi y.\n\n2. **Analiza fragmentów wykresów:**\n* Fragment wykresu funkcji g (literą A) przedstawia fragment paraboli, który jest przesunięty o 3 jednostki w lewo względem wykresu funkcji f.\n* Fragment wykresu funkcji h (literą B) przedstawia fragment paraboli, który jest odbiciem wykresu funkcji f względem osi y. Odbicie względem osi y to funkcja -f(x).\n\n3. **Wybór odpowiednich fragmentów:** Zatem, fragment wykresu g odpowiada funkcji g(x) i fragment wykresu h odpowiada funkcji h(x).\n\n📖 Karta wzorów: s.7 (Wzory skrócone), strona 7 - Potrzebujemy zrozumienia przesunięć i odbić, co jest związane z definicją funkcji.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzorów funkcji i własności paraboli\n\n1. **Przypomnienie wzorów:**\n* g(x) = f(x + 3) - Przesunięcie o -3 wzdłuż osi x.\n* h(x) = f(-x) - Odbicie względem osi y.\n\n2. **Związek z wierzchołkiem:** Wierzchołek paraboli f(x) jest punktem, w którym funkcja przyjmuje minimalną lub maksymalną wartość. W zadaniu podano, że wierzchołek ma obie współrzędne całkowite.\n\n3. **Porównanie z wykresami:** Sprawdzamy, który fragment wykresu g i h odpowiada przesunięciu i odbiciu, które zostały zdefiniowane. Fragment B (wykres h) jest odbiciem wykresu f względem osi y, a fragment A (wykres g) jest przesunięciem wykresu f o 3 jednostki w lewo.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25 (Geom.anal), strona 22 - Używamy współrzędnych punktów na wykresie do określenia przesunięć i odbić.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Fragment wykresu g nie odpowiada funkcji g(x) = f(x+3), ponieważ nie jest przesunięty o 3 jednostki w lewo.\n* **C:** Fragment wykresu h nie odpowiada funkcji h(x) = f(-x), ponieważ nie jest odbiciem wykresu f względem osi y.\n* **D:** Fragment wykresu g nie odpowiada funkcji g(x) = f(x+3), ponieważ nie jest przesunięty o 3 jednostki w lewo.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają definicji funkcji g(x) i h(x) oraz nie odpowiadają fragmentom wykresów.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.4.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14.4. (0-2)
Funkcje kwadratowe 𝑔 oraz ℎ są określone za pomocą funkcji 𝑓 (zobacz rysunek na
stronie 13) następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(-𝑥).
Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦),
fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji 𝑔 oraz fragment
wykresu funkcji ℎ.
Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji 𝒈 oraz 𝒉 przyporządkuj fragment jej wykresu.
Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród
oznaczonych literami A-F.
Fragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku
Fragment wykresu funkcji 𝑦= ℎ(𝑥) przedstawiono na rysunku
A.
B.
1 2 3 4 5 6 7
-3 -2 -1
𝑦
𝑥
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
8
9
10
1 2 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
𝑦
𝑥
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
8
9
10
14.4.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
C.
D.
E.
F.
1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1
𝑦
𝑥
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
-8
-9
-10
1 2 3 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1
𝑦
𝑥
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
8
9
10
1 2 3 4 5 6
-4 -3 -2 -1
𝑦
𝑥
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
-8
-9
-10
1 2 3 4 5 6
-4 -3 -2 -1
𝑦
𝑥
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
8
-8

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Funkcje kwadratowe g oraz h są określone za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+3), h(x)=f(-x). Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]

","answer_text_html":"

Zadanie 14.4. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.12) na podstawie wykresu funkcji
𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji
𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎), […] 𝑦= 𝑓(-𝑥).
Zasady oceniania
2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.
1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
A
E
E

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(g \\to A\\), \\(h \\to E\\)

\n

Sposób 1 - analiza przekształceń geometrycznych

\n

Krok 1: Odczytaj funkcję \\(f\\) z rysunku zadania 14.

\n

Z opisu rysunku wynika, że funkcja \\(f\\) to parabola otwarta w dół z wierzchołkiem w punkcie \\(W = (1, 9)\\) i miejscami zerowymi \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\) - co odpowiada wykresowi B (parabola B opisuje właśnie taką funkcję).

\n

Możemy zapisać:
\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]

\n

Sprawdzenie miejsc zerowych:
\\[-(x-1)^2 + 9 = 0 \\implies (x-1)^2 = 9 \\implies x = 1 \\pm 3\\]
\\[\\boxed{x_1 = -2, \\quad x_2 = 4} \\checkmark\\]

\n

Krok 2: Wyznacz wykres \\(g(x) = f(x+3)\\).

\n

Przekształcenie \\(f(x+3)\\) oznacza przesunięcie wykresu \\(f\\) o 3 jednostki w lewo.

\n\n

Sprawdzenie rachunkowe:
\\[g(x) = -(x+3-1)^2 + 9 = -(x+2)^2 + 9\\]
\\[-(x+2)^2 + 9 = 0 \\implies x = -2 \\pm 3 \\implies x_1 = -5,\\ x_2 = 1 \\checkmark\\]

\n

Pasuje wykres A - wierzchołek \\((-2, 9)\\), przecięcia osi w \\(-5\\) i \\(1\\). ✓

\n

Krok 3: Wyznacz wykres \\(h(x) = f(-x)\\).

\n

Przekształcenie \\(f(-x)\\) oznacza symetrię wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\) (odbicie lustrzane).

\n\n

Sprawdzenie rachunkowe:
\\[h(x) = f(-x) = -(-x-1)^2 + 9 = -(x+1)^2 + 9\\]
\\[-(x+1)^2 + 9 = 0 \\implies x = -1 \\pm 3 \\implies x_1 = -4,\\ x_2 = 2 \\checkmark\\]

\n

Pasuje wykres E - wierzchołek \\((-1, 9)\\), przecięcia osi w \\(-4\\) i \\(2\\). ✓

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez wzory Viète'a i symetrię

\n

Dla \\(g(x) = f(x+3)\\): Każde miejsce zerowe \\(x_0\\) funkcji \\(f\\) staje się miejscem zerowym \\(g\\) w punkcie \\(x_0 - 3\\).

\n

\\[f: \\quad x_1 = -2,\\ x_2 = 4 \\quad \\Rightarrow \\quad g: \\quad x_1 - 3 = -5,\\ x_2 - 3 = 1\\]

\n

Oś symetrii \\(g\\): \\(x = \\frac{-5 + 1}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\) - wierzchołek ma odciętą \\(-2\\). → Wykres A ✓

\n

Dla \\(h(x) = f(-x)\\): Każde miejsce zerowe \\(x_0\\) funkcji \\(f\\) staje się miejscem zerowym \\(h\\) w punkcie \\(-x_0\\).

\n

\\[f: \\quad x_1 = -2,\\ x_2 = 4 \\quad \\Rightarrow \\quad h: \\quad -x_1 = 2,\\ -x_2 = -4\\]

\n

Oś symetrii \\(h\\): \\(x = \\frac{2 + (-4)}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\) - wierzchołek ma odciętą \\(-1\\). → Wykres E ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]

\n

Użyliśmy tego do wyznaczenia, jak przesunięcie \\(x \\to x+3\\) i odbicie \\(x \\to -x\\) zmieniają wierzchołek.

\n

Dział 7 - miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Wzory Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) pozwoliły szybko wyznaczyć oś symetrii przekształconych funkcji.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wykres | Dlaczego nie pasuje do \\(g\\) ani \\(h\\) |
| B | To jest oryginalna funkcja \\(f\\) - przesunięcie o 0 |
| C | Inny wierzchołek - nie odpowiada żadnemu z przekształceń \\(f\\) |
| D | Inny wierzchołek - nie odpowiada żadnemu z przekształceń \\(f\\) |
| F | Parabola otwarta w górę - \\(f\\) otwarta w dół, a żadne z przekształceń (\\(x+3\\), \\(-x\\)) nie zmienia znaku współczynnika \\(a\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(g(x) = f(x+3)\\) przesuwa wykres w lewo (o 3), nie w prawo! Intuicja podpowiada "+3 = w prawo", ale to odwrotność - w formule \\(f(x-p)\\) przesuwamy w prawo, a \\(f(x+p)\\) - w lewo.
\n
⚠️ Uwaga: Odbicie \\(h(x) = f(-x)\\) to symetria względem osi \\(Oy\\) - nie zmienia wartości maksymalnej (wierzchołek pozostaje na tej samej wysokości \\(y = 9\\)), tylko „przeprowadza" go na stronę ujemną osi \\(Ox\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie czytaj wykresów A-F „na oko". Kluczowe są dwie liczby: odciętej wierzchołka i miejsca zerowe. Sprawdź je rachunkowo - wtedy nie ma miejsca na błąd.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(g \\to A\\), \\(h \\to E\\)

\n
Sposób 1 - Przesunięcia wykresu
\n\n
Sposób 2 - Obliczenie wzorów
\n

\\(f(x)=-(x-1)^2+9\\).

\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(f(x+a)\\) → w lewo o \\(a\\); \\(f(-x)\\) → odbicie względem \\(Oy\\).

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Analiza fragmentów wykresów i definicji funkcji
\n
  1. Zrozumienie definicji funkcji: Mamy funkcje kwadratowe g(x) i h(x) zdefiniowane za pomocą funkcji f(x) jako:
\n\n

To oznacza, że wykresy g(x) i h(x) są przesunięte odpowiednio o -3 i +3 wzdłuż osi x oraz odbicia względem osi y.

\n
  1. Analiza fragmentów wykresów:
\n\n
  1. Wybór odpowiednich fragmentów: Zatem, fragment wykresu g odpowiada funkcji g(x) i fragment wykresu h odpowiada funkcji h(x).
\n

📖 Karta wzorów: s.7 (Wzory skrócone), strona 7 - Potrzebujemy zrozumienia przesunięć i odbić, co jest związane z definicją funkcji.

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzorów funkcji i własności paraboli
\n
  1. Przypomnienie wzorów:
\n\n
  1. Związek z wierzchołkiem: Wierzchołek paraboli f(x) jest punktem, w którym funkcja przyjmuje minimalną lub maksymalną wartość. W zadaniu podano, że wierzchołek ma obie współrzędne całkowite.
\n
  1. Porównanie z wykresami: Sprawdzamy, który fragment wykresu g i h odpowiada przesunięciu i odbiciu, które zostały zdefiniowane. Fragment B (wykres h) jest odbiciem wykresu f względem osi y, a fragment A (wykres g) jest przesunięciem wykresu f o 3 jednostki w lewo.
\n

📖 Karta wzorów: s.22-25 (Geom.anal), strona 22 - Używamy współrzędnych punktów na wykresie do określenia przesunięć i odbić.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają definicji funkcji g(x) i h(x) oraz nie odpowiadają fragmentom wykresów.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Funkcja

\n

g(x)=f(x+3)

\n

powstaje przez przesunięcie wykresu f o 3 jednostki w lewo. Wierzchołek przechodzi z (1,9) do (-2,9) , więc jest to rysunek A.

\n

Funkcja

\n

h(x)=f(-x)

\n

jest odbiciem wykresu f względem osi Oy . Wierzchołek przechodzi do (-1,9) , więc jest to rysunek E.

"}]}