Zadanie 15. (0-1)
Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (-1)𝑛⋅(𝑛-5) dla każdej liczby
naturalnej 𝑛≥1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Pierwszy wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego
ciągu.
P
F
Wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛) są dodatnie.
P
F
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n⋅(n-5) dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. P F Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie. P F
Zadanie 15. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego
wzorem ogólnym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
PF
PF
Odpowiedź: PF — pierwsze stwierdzenie PRAWDA, drugie FAŁSZ.
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nNajpierw policz kilka wyrazów ciągu
\nWzór: $a_n = (-1)^n \\cdot (n - 5)$.
\n$n$ | $(-1)^n$ | $n - 5$ | $a_n$
$1$ | $-1$ | $-4$ | $\\mathbf{+4}$
$2$ | $+1$ | $-3$ | $-3$
$3$ | $-1$ | $-2$ | $\\mathbf{+2}$
$4$ | $+1$ | $-1$ | $-1$
$5$ | $-1$ | $0$ | $0$
$6$ | $+1$ | $1$ | $1$
Pierwszy wyraz: $a_1 = 4$. Trzeci wyraz: $a_3 = 2$.
\nStwierdzenie (1) — czy $a_1$ jest dwa razy większy od $a_3$?
\n$$a_1 = 4, \\qquad 2 \\cdot a_3 = 2 \\cdot 2 = 4$$
\n$a_1 = 2 \\cdot a_3$. Stwierdzenie PRAWDA.
\nStwierdzenie (2) — czy wszystkie wyrazy są dodatnie?
\nWyliczona tabelka pokazuje: $a_2 = -3$, $a_4 = -1$, $a_5 = 0$ — nie są wszystkie dodatnie. Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby zdyskwalifikować zdanie ogólne.
\nStwierdzenie FAŁSZ.
\nStrategia dla wzorów ze znakiem $(-1)^n$
\nJeśli we wzorze pojawia się $(-1)^n$ — wynik na pewno zmienia znaki naprzemiennie. Dla nieparzystych $n$ czynnik daje $-1$, dla parzystych $+1$. To natychmiast wyklucza stwierdzenia w stylu „wszystkie wyrazy są tego samego znaku".
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to interpretacja „dwa razy większy" niejednoznacznie: czy to a_1 = 2 · a_3, czy a_1 = a_3 + 2 · a_3 = 3 · a_3? CKE używa wersji „dwa razy większy = 2× tyle". Drugi błąd: pominięcie znaku (−1)^n dla dużych n.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"(Stwierdzenie 1 - Prawda, Stwierdzenie 2 - Fałsz)
\nWzór ogólny ciągu:
\\[a_n = (-1)^n \\cdot (n-5)\\]
Wyznaczamy potrzebne wyrazy:
\n\\[a_1 = (-1)^1 \\cdot (1-5) = (-1) \\cdot (-4) = 4\\]
\n\\[a_3 = (-1)^3 \\cdot (3-5) = (-1) \\cdot (-2) = 2\\]
\nOcena stwierdzenia 1: „Pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego."
\nSprawdzamy, czy \\(a_1 = 2 \\cdot a_3\\):
\\[2 \\cdot a_3 = 2 \\cdot 2 = 4 = a_1 \\checkmark\\]
Stwierdzenie 1 jest PRAWDZIWE.
\nOcena stwierdzenia 2: „Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie."
\nWystarczy znaleźć jeden wyraz, który nie jest dodatni. Sprawdzamy kilka wyrazów:
\n\\[a_2 = (-1)^2 \\cdot (2-5) = 1 \\cdot (-3) = -3 < 0\\]
\nJuż \\(a_2 = -3\\) jest ujemny - stwierdzenie jest fałszywe.
\nStwierdzenie 2 jest FAŁSZYWE.
\nWzór \\(a_n = (-1)^n \\cdot (n-5)\\) składa się z dwóch czynników:
\nPiszemy kilka wyrazów, żeby zobaczyć obraz:
\n| \\(n\\) | \\((-1)^n\\) | \\(n-5\\) | \\(a_n\\) |
| 1 | \\(-1\\) | \\(-4\\) | \\(4\\) |
| 2 | \\(+1\\) | \\(-3\\) | \\(-3\\) |
| 3 | \\(-1\\) | \\(-2\\) | \\(2\\) |
| 4 | \\(+1\\) | \\(-1\\) | \\(-1\\) |
| 5 | \\(-1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |
| 6 | \\(+1\\) | \\(1\\) | \\(1\\) |
Stwierdzenie 1: \\(a_1 = 4\\), \\(a_3 = 2\\), rzeczywiście \\(4 = 2 \\cdot 2\\). Prawda.
\nStwierdzenie 2: Widać wyraźnie, że \\(a_2 = -3\\), \\(a_4 = -1\\), \\(a_5 = 0\\) - wyrazy te nie są dodatnie. Fałsz.
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie do wzoru ogólnego i znajomość potęgowania liczby \\(-1\\).
\n| Kombinacja | Błąd |
| FF (obie fałszywe) | Błędne obliczenie \\(a_1\\) lub \\(a_3\\) - np. pominięcie znaku z \\((-1)^n\\) |
| FP (odwrotnie) | Przestawienie wyników: policzono dobrze, ale przypisano odwrotnie |
| PP (obie prawdziwe) | Nieuwzględnienie wyrazu \\(a_2 = -3\\); myślenie, że skoro \\(a_1 > 0\\), to „może wszystkie są" |
⚠️ Uwaga: \\((-1)^1 = -1\\), a NIE \\(+1\\)! Łatwo zapomnieć, że dla \\(n=1\\) wykładnik jest nieparzysty, więc czynnik wynosi \\(-1\\). To kluczowe przy liczeniu \\(a_1\\).\n
⚠️ Uwaga: Sformułowanie „dwa razy większy" oznacza \\(a_1 = 2 \\cdot a_3\\). Niektórzy interpretują to błędnie jako \\(a_1 = a_3 + 2\\) - to byłoby „o dwa większy".\n
⚠️ Uwaga: Aby obalić stwierdzenie „wszystkie wyrazy są dodatnie", wystarczy podać jeden kontrprzykład - nie trzeba sprawdzać nieskończenie wielu wyrazów!\n
Poprawna odpowiedź: PF
\n\\(a_1 = (-1)^1\\cdot(1-5) = -1\\cdot(-4) = 4\\).
\\(a_3 = (-1)^3\\cdot(3-5) = -1\\cdot(-2) = 2\\).
Znak \\(a_n\\) to iloczyn \\((-1)^n\\cdot(n-5)\\):
\nJuż \\(a_2<0\\), więc stwierdzenie 2 fałszywe.
\nTrik: \\((-1)^n\\) zmienia znak - bez tego analizowanie ciągów „przemiennych" traci sens.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"a_1=(-1)^1(1-5)=4, a_3=(-1)^3(3-5)=2.
\nZatem pierwszy wyraz jest dwa razy większy od trzeciego - pierwsze zdanie jest prawdziwe.
\nDla n=7 :
\na_7=(-1)^7(7-5)=-2,
\nwięc nie wszystkie wyrazy są dodatnie - drugie zdanie jest fałszywe.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"PF
"}]}