Zadanie 16. (0-1)
Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2𝑚-1) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest
rosnący
oraz
1.
𝑚= 1
2
A.
2.
𝑚 = 2
malejący
B.
3.
𝑚 = 3
MMAP-P0_100
Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2m-1) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. m=1/2 2. m=2 3. m=3
Zadanie 16. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.2) w prostych przypadkach bada, czy
ciąg jest rosnący, czy malejący;
VI.6) wykorzystuje własności ciągów […]
geometrycznych, do rozwiązywania zadań
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B2
A2
Odpowiedź: B 2 — ciąg jest malejący, m = 2.
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nKlucz do zadań z ciągiem geometrycznym (3 wyrazy)
\nDla ciągu geometrycznego $(a, b, c)$ zachodzi tożsamość:
\n$$b^2 = a \\cdot c$$
\n(środkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi sąsiednich). To najszybszy sposób.
\nZastosuj wzór $b^2 = a \\cdot c$ dla $(12, 6, 2m - 1)$:
\n$$6^2 = 12 \\cdot (2m - 1)$$
\n$$36 = 24m - 12$$
\nRozwiąż na $m$.
\n$$48 = 24m$$
\n$$m = 2$$
\nSprawdź ciąg dla $m = 2$.
\nTrzeci wyraz: $2 \\cdot 2 - 1 = 3$. Ciąg to $(12, 6, 3)$.
\nIloraz: $q = \\dfrac{6}{12} = \\dfrac{1}{2}$ (i sprawdzenie: $\\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ ✓ — ten sam iloraz potwierdza, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny).
\nUstal monotoniczność.
\nWyrazy: $12 > 6 > 3$ — każdy kolejny jest mniejszy od poprzedniego. Ciąg jest malejący.
\nMożna też zauważyć: dla ciągu geometrycznego o wszystkich wyrazach dodatnich, ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy $0 < q < 1$. Tutaj $q = \\tfrac{1}{2} \\in (0, 1)$ → malejący ✓.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomijanie własności ciągu geometrycznego: b² = a · c (środkowy wyraz do kwadratu = iloczyn sąsiednich). Drugi błąd: zapomnienie, że iloraz q ciągu (12, 6, ...) wynosi 1/2, więc trzeci wyraz to 6 · 1/2 = 3.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"W ciągu geometrycznym iloraz \\(q\\) między kolejnymi wyrazami jest stały, czyli:
\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]
\nPodstawiamy \\(a_1 = 12\\), \\(a_2 = 6\\), \\(a_3 = 2m - 1\\):
\n\\[\\frac{6}{12} = \\frac{2m-1}{6}\\]
\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{2m-1}{6}\\]
\nMnożymy obie strony przez \\(6\\):
\n\\[3 = 2m - 1\\]
\n\\[2m = 4 \\implies \\boxed{m = 2}\\]
\nSprawdzamy ciąg: \\((12,\\ 6,\\ 3)\\) - iloraz \\(q = \\frac{6}{12} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\). ✓
\nCzy ciąg rośnie czy maleje? Iloraz \\(q = \\frac{1}{2} \\in (0, 1)\\), więc każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego - ciąg jest malejący (B).
\nZ karty wzorów (dział 8): dla ciągu geometrycznego środkowy wyraz spełnia:
\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]
\nPodstawiamy:
\n\\[6^2 = 12 \\cdot (2m - 1)\\]
\n\\[36 = 24m - 12\\]
\n\\[24m = 48 \\implies m = 2\\]
\nCiąg: \\((12, 6, 3)\\), kolejne wyrazy maleją - B2. ✓
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyta w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(m\\).
Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Pozwala ocenić monotoniczność: gdy \\(a_1 > 0\\) i \\(q \\in (0, 1)\\), ciąg jest malejący.
| Odp. | Błąd |
| A (rosnący) | Iloraz \\(q = \\frac{1}{2} < 1\\), więc ciąg maleje. Mylenie kierunku: \\(q > 1\\) → rośnie, \\(0 < q < 1\\) → maleje. |
| 1 (\\(m = \\frac{1}{2}\\)) | Typowy błąd: użycie warunku arytmetycznego \\(a_1 + a_3 = 2a_2\\) zamiast geometrycznego. Daje \\(12 + (2m-1) = 12\\), stąd \\(m = \\frac{1}{2}\\), ale \\(a_3 = 0\\) - a w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem! |
| 3 (\\(m = 3\\)) | Błędne podstawienie lub obliczenie. Dla \\(m = 3\\) mamy \\(a_3 = 5\\), ciąg \\((12, 6, 5)\\) - iloraz \\(\\frac{6}{12} = \\frac{1}{2} \\neq \\frac{5}{6}\\), więc to nie jest ciąg geometryczny. |
⚠️ Uwaga: Warunek ciągu geometrycznego to stały iloraz, nie stała różnica. Równanie \\(a_1 + a_3 = 2a_2\\) to warunek ciągu arytmetycznego - bardzo częste mylenie na maturze!\n
⚠️ Uwaga: W ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem (iloraz byłby nieokreślony). Jeśli wychodzi \\(m = \\frac{1}{2}\\) i \\(a_3 = 0\\) - to odpowiedź automatycznie odpada.\n
⚠️ Uwaga: O monotoniczności ciągu geometrycznego (gdy \\(a_1 > 0\\)) decyduje iloraz: \\(q > 1\\) → rosnący, \\(0 < q < 1\\) → malejący. Nie patrz na wartości wyrazów „na oko" - sprawdź \\(q\\)!\n
Poprawna odpowiedź: B2 (malejący, \\(m=2\\))
\n\\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\), czyli \\(6^2 = 12(2m-1) \\Rightarrow 36 = 24m-12 \\Rightarrow 24m=48 \\Rightarrow m=2\\).
Wtedy \\(a_3 = 2\\cdot 2-1 = 3\\). Ciąg: \\((12,6,3)\\), iloraz \\(q=\\tfrac{1}{2}\\) - malejący.
\\(q = \\tfrac{6}{12} = \\tfrac{1}{2}\\). Trzeci wyraz: \\(6\\cdot\\tfrac{1}{2}=3\\), więc \\(2m-1=3 \\Rightarrow m=2\\). Ciąg \\((12,6,3)\\) z \\(0<q<1\\) i wyrazami dodatnimi - malejący.
\nTrik: w ciągu geometrycznym \\(\\tfrac{a_2}{a_1}=\\tfrac{a_3}{a_2}\\) - porównuj ilorazy.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Iloraz dwóch pierwszych wyrazów:
\nq=(6)/(12)=(1)/(2).
\nTrzeci wyraz powinien być równy:
\n6·(1)/(2)=3.
\n2m-1=3 ⇒ 2m=4 ⇒ m=2.
\nCiąg 12,6,3 jest malejący.
"}]}