{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-2)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz\ntego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu\njest równa (-165).\nOblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.\n17.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (-165). Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.","answer":"r = −2","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟= -2.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz -165 = 2𝑎1 + 14𝑟\n2\n⋅15 ,\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz -165 = 𝑎1 + 𝑎15\n2\n⋅15 ,\n𝑎3 = -1 oraz -165 = (𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)\n2\n⋅15\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:\n(-1 -2𝑟) + (-1 -𝑟) + (-1) + (-1 + 𝑟) + … + (-1 + 12𝑟) = -165 ,\n2(-1 -2𝑟) + 14𝑟\n2\n⋅15 = -165 ,\n(-1 -2𝑟) + (-1 + 12𝑟)\n2\n⋅15 = -165 ,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) z wykorzystaniem własności ciągu\narytmetycznego: 𝑎8 = -11 (dla sposobów IV oraz V),\nALBO\n- zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23, -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟= -2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (-165) jako piętnasty wyraz ciągu, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy układ równań\n{\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟\n-165 = 2𝑎1 + 14𝑟\n2\n⋅15\nPrzekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy\n{\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟\n-11 = 𝑎1 + 7𝑟\nOdejmując stronami równania układu, otrzymujemy\n10 = -5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób II\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165\n(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = -165\n15𝑎3 + (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) = -165\ngdzie 𝑎3 = -1, a suma piętnastu liczb (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) jest\nrówna\n-2𝑟+ 12𝑟\n2\n⋅15 = 75𝑟\nZatem\n15 ∙(-1) + 75𝑟= -165\n75𝑟= -150\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób III\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎15\n2\n⋅15 = -165\n𝑎1 + 𝑎15 = -22\n(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = -22\n2𝑎3 + 10𝑟= -22\nStąd i z tego, że 𝑎3 = -1, otrzymujemy\n2 ⋅(-1) + 10𝑟= -22\nZatem\n10𝑟= -20\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób IV\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165\n(𝑎8 -7𝑟) + (𝑎8 -6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = -165\n15𝑎8 = -165\n𝑎8 = -165\n15\n= -11\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy\n𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟\n-11 = -1 + 5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób V\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:\n𝑎8 = 𝑎7 + 𝑎9\n2\n𝑎8 = 𝑎6 + 𝑎10\n2\n𝑎8 = 𝑎5 + 𝑎11\n2\n𝑎8 = 𝑎4 + 𝑎12\n2\n𝑎8 = 𝑎3 + 𝑎13\n2\n𝑎8 = 𝑎2 + 𝑎14\n2\n𝑎8 = 𝑎1 + 𝑎15\n2\nZatem\n𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15) + (𝑎2 + 𝑎14) + … + (𝑎7 + 𝑎9) + 𝑎8 =\n= 15𝑎8 = -165\nStąd 𝑎8 = -11. Ponieważ\n𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟\nwięc otrzymujemy\n-11 = -1 + 5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).","solution":"Odpowiedź: r = −2\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo mamy?\n\nCiąg arytmetyczny $(a_n)$. Dane:\n\n- $a_3 = -1$\n- $S_{15} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_{15} = -165$\n\nSzukamy różnicy $r$.\n\nSposób I — wprost ze wzorów\n\nZapisz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego ($a_n = a_1 + (n-1)r$):\n\n$$a_3 = a_1 + 2r = -1$$\n\nZapisz wzór na sumę ($S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n$ albo $S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n$):\n\n$$S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = -165$$\n\nPodziel obie strony przez $15$ i pomnóż przez $2$:\n\n$$2a_1 + 14r = -22$$\n\n$$a_1 + 7r = -11$$\n\nOtrzymałeś układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:\n\n$$\\begin{cases} a_1 + 2r = -1 \\\\ a_1 + 7r = -11 \\end{cases}$$\n\nOdejmij stronami pierwsze równanie od drugiego:\n\n$$5r = -10 \\quad\\Rightarrow\\quad r = -2$$\n\nSposób II — sprytniejszy (przez 8. wyraz)\n\nDla ciągu arytmetycznego $S_{15} = 15 \\cdot a_8$ — bo $a_8$ jest środkowym wyrazem (mediana = średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego). Stąd:\n\n$$a_8 = \\frac{S_{15}}{15} = \\frac{-165}{15} = -11$$\n\nMamy $a_3 = -1$ i $a_8 = -11$, a różnica „dzielona\" jest na 5 kroków:\n\n$$a_8 = a_3 + 5r \\quad\\Rightarrow\\quad -11 = -1 + 5r \\quad\\Rightarrow\\quad r = -2$$\n\nTen sam wynik, mniej rachunków.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ (jeden z wielu wariantów: $a_3 = a_1 + 2r$ z $S_{15}$, albo $a_8 = -11$ + $a_8 = a_3 + 5r$, itd.).\n- 2 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $r = -2$.\n\nJest co najmniej 5 sposobów na to zadanie — wszystkie akceptowane.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to interpretacja −165 jako 15. wyrazu ciągu (a_15) zamiast jako sumy S_15 = a_1 + ... + a_15. CKE wprost: „taka interpretacja daje 0 punktów\".","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, suma częściowa, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-2)<br>Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz<br>tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu<br>jest równa (-165).<br>Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.<br>17.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (-165). Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟= -2.<br>1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:<br>-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz -165 = 2𝑎1 + 14𝑟<br>2<br>⋅15 ,<br>-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz -165 = 𝑎1 + 𝑎15<br>2<br>⋅15 ,<br>𝑎3 = -1 oraz -165 = (𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)<br>2<br>⋅15<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:</li></ul>\n<p>(-1 -2𝑟) + (-1 -𝑟) + (-1) + (-1 + 𝑟) + … + (-1 + 12𝑟) = -165 ,<br>2(-1 -2𝑟) + 14𝑟<br>2<br>⋅15 = -165 ,<br>(-1 -2𝑟) + (-1 + 12𝑟)<br>2<br>⋅15 = -165 ,<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) z wykorzystaniem własności ciągu</li></ul>\n<p>arytmetycznego: 𝑎8 = -11 (dla sposobów IV oraz V),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):</li></ul>\n<p>3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23, -25.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟= -2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</li><li>Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (-165) jako piętnasty wyraz ciągu, to</li></ol>\n<p>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego i otrzymujemy układ równań<br>{<br>-1 = 𝑎1 + 2𝑟<br>-165 = 2𝑎1 + 14𝑟<br>2<br>⋅15<br>Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy<br>{<br>-1 = 𝑎1 + 2𝑟<br>-11 = 𝑎1 + 7𝑟<br>Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy<br>10 = -5𝑟<br>𝑟= -2<br>Różnica ciągu jest równa (-2).<br>Sposób II<br>Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),<br>zatem<br>𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165<br>(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = -165<br>15𝑎3 + (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) = -165<br>gdzie 𝑎3 = -1, a suma piętnastu liczb (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) jest<br>równa<br>-2𝑟+ 12𝑟<br>2<br>⋅15 = 75𝑟<br>Zatem<br>15 ∙(-1) + 75𝑟= -165<br>75𝑟= -150<br>𝑟= -2<br>Różnica ciągu jest równa (-2).<br>Sposób III<br>Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),<br>zatem<br>𝑎1 + 𝑎15<br>2<br>⋅15 = -165<br>𝑎1 + 𝑎15 = -22<br>(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = -22<br>2𝑎3 + 10𝑟= -22<br>Stąd i z tego, że 𝑎3 = -1, otrzymujemy<br>2 ⋅(-1) + 10𝑟= -22<br>Zatem<br>10𝑟= -20<br>𝑟= -2<br>Różnica ciągu jest równa (-2).<br>Sposób IV<br>Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),<br>zatem<br>𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165<br>(𝑎8 -7𝑟) + (𝑎8 -6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = -165<br>15𝑎8 = -165<br>𝑎8 = -165<br>15<br>= -11<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy<br>𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟<br>-11 = -1 + 5𝑟<br>𝑟= -2<br>Różnica ciągu jest równa (-2).<br>Sposób V<br>Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:<br>𝑎8 = 𝑎7 + 𝑎9<br>2<br>𝑎8 = 𝑎6 + 𝑎10<br>2<br>𝑎8 = 𝑎5 + 𝑎11<br>2<br>𝑎8 = 𝑎4 + 𝑎12<br>2<br>𝑎8 = 𝑎3 + 𝑎13<br>2<br>𝑎8 = 𝑎2 + 𝑎14<br>2<br>𝑎8 = 𝑎1 + 𝑎15<br>2<br>Zatem<br>𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15) + (𝑎2 + 𝑎14) + … + (𝑎7 + 𝑎9) + 𝑎8 =<br>= 15𝑎8 = -165<br>Stąd 𝑎8 = -11. Ponieważ<br>𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟<br>więc otrzymujemy<br>-11 = -1 + 5𝑟<br>𝑟= -2<br>Różnica ciągu jest równa (-2).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: r = −2</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Co mamy?</p>\n<p>Ciąg arytmetyczny $(a_n)$. Dane:</p>\n<ul><li>$a_3 = -1$</li><li>$S_{15} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_{15} = -165$</li></ul>\n<p>Szukamy różnicy $r$.</p>\n<p>Sposób I — wprost ze wzorów</p>\n<p>Zapisz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego ($a_n = a_1 + (n-1)r$):</p>\n<p>$$a_3 = a_1 + 2r = -1$$</p>\n<p>Zapisz wzór na sumę ($S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n$ albo $S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n$):</p>\n<p>$$S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = -165$$</p>\n<p>Podziel obie strony przez $15$ i pomnóż przez $2$:</p>\n<p>$$2a_1 + 14r = -22$$</p>\n<p>$$a_1 + 7r = -11$$</p>\n<p>Otrzymałeś układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:</p>\n<p>$$\\begin{cases} a_1 + 2r = -1 \\\\ a_1 + 7r = -11 \\end{cases}$$</p>\n<p>Odejmij stronami pierwsze równanie od drugiego:</p>\n<p>$$5r = -10 \\quad\\Rightarrow\\quad r = -2$$</p>\n<p>Sposób II — sprytniejszy (przez 8. wyraz)</p>\n<p>Dla ciągu arytmetycznego $S_{15} = 15 \\cdot a_8$ — bo $a_8$ jest środkowym wyrazem (mediana = średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego). Stąd:</p>\n<p>$$a_8 = \\frac{S_{15}}{15} = \\frac{-165}{15} = -11$$</p>\n<p>Mamy $a_3 = -1$ i $a_8 = -11$, a różnica „dzielona&quot; jest na 5 kroków:</p>\n<p>$$a_8 = a_3 + 5r \\quad\\Rightarrow\\quad -11 = -1 + 5r \\quad\\Rightarrow\\quad r = -2$$</p>\n<p>Ten sam wynik, mniej rachunków.</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ (jeden z wielu wariantów: $a_3 = a_1 + 2r$ z $S_{15}$, albo $a_8 = -11$ + $a_8 = a_3 + 5r$, itd.).</li><li>2 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $r = -2$.</li></ul>\n<p>Jest co najmniej 5 sposobów na to zadanie — wszystkie akceptowane.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to interpretacja −165 jako 15. wyrazu ciągu (a_15) zamiast jako sumy S_15 = a_1 + ... + a_15. CKE wprost: „taka interpretacja daje 0 punktów&quot;.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(r = -2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - układ równań (wzory na \\(a_n\\) i \\(S_n\\))</h4>\n<p><strong>Krok 1: Zapisz dane jako równania.</strong></p>\n<p>Z treści zadania wiemy:</p>\n<ul><li>\\(a_3 = -1\\)</li><li>\\(S_{15} = -165\\)</li></ul>\n<p>Korzystamy ze wzorów na ciąg arytmetyczny:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyraź \\(a_3\\) i \\(S_{15}\\).</strong></p>\n<p>\\[a_3 = a_1 + 2r = -1 \\quad \\text{ (I)}\\]</p>\n<p>\\[S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = 15(a_1 + 7r) = -165\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez 15:<br>\\[a_1 + 7r = -11 \\quad \\text{ (II)}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Rozwiąż układ równań.</strong></p>\n<p>Z równania (I): \\(a_1 = -1 - 2r\\)</p>\n<p>Podstawiamy do (II):<br>\\[(-1 - 2r) + 7r = -11\\]<br>\\[-1 + 5r = -11\\]<br>\\[5r = -10\\]<br>\\[\\boxed{r = -2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wyznacz \\(a_1\\) (kontrola).</strong></p>\n<p>\\[a_1 = -1 - 2 \\cdot (-2) = -1 + 4 = 3\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzór na \\(S_n\\) przez \\(a_1\\) i \\(a_n\\) + uproszczony układ</h4>\n<p>Zamiast korzystać z wzoru z \\(r\\), użyjemy wzoru \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz \\(a_1 + a_{15}\\) z sumy.</strong></p>\n<p>\\[S_{15} = \\frac{a_1 + a_{15}}{2} \\cdot 15 = -165\\]<br>\\[a_1 + a_{15} = \\frac{-165 \\cdot 2}{15} = \\frac{-330}{15} = -22\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Skorzystaj z symetrii ciągu arytmetycznego.</strong></p>\n<p>W ciągu arytmetycznym zachodzi:<br>\\[a_1 + a_{15} = 2 \\cdot a_8 \\quad \\text{(wyraz środkowy spośród 15 wyrazów)}\\]</p>\n<p>Zatem \\(a_8 = \\frac{-22}{2} = -11\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz różnicę \\(r\\) z \\(a_3\\) i \\(a_8\\).</strong></p>\n<p>Między wyrazem \\(a_3\\) a \\(a_8\\) jest dokładnie 5 kroków (\\(8 - 3 = 5\\)):<br>\\[a_8 = a_3 + 5r\\]<br>\\[-11 = -1 + 5r\\]<br>\\[5r = -10\\]<br>\\[\\boxed{r = -2}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong></p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do zapisu równania z \\(a_3\\).</p>\n<p>Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do zapisu równania z \\(S_{15}\\).</p>\n<p>Wzór alternatywny na sumę:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 - wygodniejszy, gdy nie chcemy rozbijać sumy.</p>\n<p>Własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]<br>Na tej własności opiera się obserwacja w Sposobie 2, że \\(a_1 + a_{15} = 2a_8\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) - łatwo pomylić i napisać \\(a_1 + n \\cdot r\\). Przy \\(a_3\\) to daje \\(a_1 + 3r\\) zamiast \\(a_1 + 2r\\). Zawsze: \\((n-1)\\), nie \\(n\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(S_{15} = -165\\) - ujemna suma przy ujemnej różnicy jest oczekiwana. Jeśli wychodzi \\(r &gt; 0\\), to sygnał błędu - warto sprawdzić znaki w obliczeniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 kluczowe jest to, że \\(a_1 + a_{15} = 2a_8\\), bo \\(1 + 15 = 2 + 14 = \\ldots = 8 + 8\\). Ta symetria działa tylko w ciągu <strong>arytmetycznym</strong> - nie mylić z geometrycznym!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(r = -2\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Układ równań</h5>\n<p>Z \\(a_3 = a_1+2r = -1\\) oraz \\(S_{15} = \\tfrac{2a_1+14r}{2}\\cdot 15 = -165\\):<br>\\[\\tfrac{2a_1+14r}{2}\\cdot 15 = -165 \\Rightarrow a_1+7r = -11.\\]<br>Układ: \\(a_1+2r=-1\\), \\(a_1+7r=-11\\). Odjęcie: \\(5r=-10 \\Rightarrow r=-2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Własność \\(a_8\\)</h5>\n<p>Dla \\(n=15\\) (nieparzyste): \\(S_{15}=15\\cdot a_8\\), więc \\(a_8=\\tfrac{-165}{15}=-11\\).<br>Z \\(a_8=a_3+5r\\): \\(-11 = -1+5r \\Rightarrow r=-2\\).</p>\n<h5>Dlaczego uważać</h5>\n<ul><li>Pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym → 0 pkt.</li><li>Potraktowanie \\(-165\\) jako \\(a_{15}\\) (zamiast sumy) → 0 pkt.</li><li>Zapisanie tylko odpowiedzi \\(r=-2\\) bez metody → 1 pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla nieparzystego \\(n\\): \\(S_n = n\\cdot a_{\\text{środkowy}}\\). To najszybsza droga.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:</p>\n<p>S_n=(n(a_1+a_n))/(2).</p>\n<p>Dla n=15 :</p>\n<p>-165=frac 15(a_1+a_15) 2 .</p>\n<p>Wyraz piętnasty ma postać</p>\n<p>a_15=a_1+14r.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>-165=(15(2a_1+14r))/(2).</p>\n<p>Po podzieleniu obu stron przez 15 :</p>\n<p>-11=a_1+7r.</p>\n<p>Z warunku a_3=-1 mamy</p>\n<p>a_3=a_1+2r=-1.</p>\n<p>Odejmujemy równania:</p>\n<p>(a_1+7r)-(a_1+2r)=-11-(-1).</p>\n<p>5r=-10,</p>\n<p>r=-2.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$r = -2$</p>"}]}