Zadanie 18. (0-2)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że
tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek).
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami
A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Prawdziwe są zależności: oraz
A. sin 𝛼< 0
B. sin 𝛼⋅cos 𝛼< 0
C. sin 𝛼⋅cos 𝛼> 0
D. cos 𝛼> 0
E. sin 𝛼= -1
3 cos 𝛼
F. sin 𝛼= -3 cos 𝛼
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że tgα=-3 oraz 90\\s<α<180° (zobacz rysunek). [rysunek] Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ............ oraz ............ . A. sinα<0 B. sinα⋅cosα<0 C. sinα⋅cosα>0 D. cosα>0 E. sinα=-1/3cosα F. sinα=-3cosα
Zadanie 18. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
VII.1) wykorzystuje definicje funkcji […]
tangens dla kątów od 0° do 180° […];
VII.2) korzysta z wzorów
sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=
sin 𝛼
cos𝛼
Zasady oceniania
2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
BF
CF
Odpowiedź: B F — sin α · cos α < 0 (II ćwiartka, różne znaki) oraz sin α = −3 cos α (z definicji tangensa).
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nCo wiemy o kącie?
\nW drugiej ćwiartce mają miejsce konkretne znaki funkcji trygonometrycznych:
\nSprawdźmy każdą odpowiedź
\nA: $\\sin \\alpha < 0$ — FAŁSZ. W II ćwiartce $\\sin \\alpha > 0$ (rzędna punktu na okręgu jednostkowym jest dodatnia).
\nB: $\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha < 0$ — PRAWDA. Iloczyn liczby dodatniej ($\\sin \\alpha$) i ujemnej ($\\cos \\alpha$) jest ujemny.
\nC: $\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha > 0$ — FAŁSZ. Sprzeczne z B (i z analizą znaków).
\nD: $\\cos \\alpha > 0$ — FAŁSZ. W II ćwiartce $\\cos \\alpha < 0$.
\nE: $\\sin \\alpha = -\\tfrac{1}{3} \\cos \\alpha$ — FAŁSZ. To pułapka z mylonej definicji tangensa.
\nF: $\\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha$ — PRAWDA. Z definicji $\\tan \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$ i $\\tan \\alpha = -3$:
\n$$\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = -3 \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha$$
\nKlucz uniwersalny — znaki funkcji w II ćwiartce
\nPamiętaj „A-S-T-C" (Acute-Sine-Tangent-Cosine) — w której ćwiartce dana funkcja jest dodatnia:
\nKażde zadanie maturalne pytające „w II/III/IV ćwiartce" sprowadza się do tych dwóch faktów: znaki funkcji + tożsamość $\\tan = \\sin / \\cos$.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór E (sin α = −1/3 · cos α) — pomylenie definicji tangensa. tg α = sin α / cos α, więc z tg α = −3 wynika sin α = −3 · cos α (nie −1/3).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1: Ustalamy znaki funkcji trygonometrycznych
\nKąt \\(\\alpha\\) leży w II ćwiartce (\\(90° < \\alpha < 180°\\)), co oznacza:
\nStąd bezpośrednio:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} > 0 \\qquad (\\text{bo } y > 0)\\]
\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{r} < 0 \\qquad (\\text{bo } x < 0)\\]
Krok 2: Sprawdzamy opcję B
\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\underbrace{(+)}{>0} \\cdot \\underbrace{(-)}{<0} < 0\\]
\nOpcja B jest prawdziwa.
\nKrok 3: Sprawdzamy opcję F
\nZ definicji tangensu:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = -3\\]
Mnożymy obie strony przez \\(\\cos\\alpha\\):
\\[\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\]
Opcja F jest prawdziwa.
\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x} = -3\\) i \\(x < 0,\\ y > 0\\), możemy przyjąć punkt:
\\[M = (-1,\\ 3)\\]
Obliczamy \\(r\\):
\\[r = \\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]
Stąd:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}} > 0, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{-1}{\\sqrt{10}} < 0\\]
Weryfikacja B:
\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}} \\cdot \\frac{-1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{3}{10} < 0 \\checkmark\\]
Weryfikacja F:
\\[-3\\cos\\alpha = -3 \\cdot \\frac{-1}{\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\sin\\alpha \\checkmark\\]
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta (punkt \\(M(x,y)\\), \\(r = \\sqrt{x^2+y^2}\\)):
\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}\\]
Użyliśmy tych definicji w Sposobie 2 do obliczenia konkretnych wartości oraz w obu sposobach do ustalenia znaków.
Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - związek między tangensem a sinusem i cosinusem:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Kluczowy wzór do wyprowadzenia opcji F.
| Odp. | Błąd |
| A | \\(\\sin\\alpha < 0\\) - fałsz, bo w II ćwiartce \\(y > 0\\), więc \\(\\sin\\alpha > 0\\). Typowe mylenie ćwiartek (myślenie o III ćwiartce). |
| C | \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha > 0\\) - odwrotność B; iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny, nie dodatni. |
| D | \\(\\cos\\alpha > 0\\) - fałsz, bo w II ćwiartce \\(x < 0\\), więc \\(\\cos\\alpha < 0\\). |
| E | \\(\\sin\\alpha = -\\frac{1}{3}\\cos\\alpha\\) - to znaczyłoby \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{1}{3}\\), a nie \\(-3\\). Klasyczne odwrócenie ułamka. |
⚠️ Uwaga: Nie mylić ćwiartek - w II ćwiartce tylko sinus jest dodatni. Cosinus i tangens są ujemne.\n
⚠️ Uwaga: Opcja E to pułapka na odwrócenie - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) oznacza \\(\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\) (F), a nie \\(\\sin\\alpha = -\\frac{1}{3}\\cos\\alpha\\) (E).\n
⚠️ Uwaga: Opcja D jest kuszącą pułapką - co prawda \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) i można by sądzić, że skoro "cos jest w mianowniku to może być dodatnie" - ale w II ćwiartce oba: mianownik (cos) jest ujemny, a licznik (sin) dodatni, co daje ujemny tangens.\n
Poprawna odpowiedź: B i F
\nW ćwiartce II (\\(90^\\circ<\\alpha<180^\\circ\\)): \\(\\sin\\alpha>0\\), \\(\\cos\\alpha<0\\).
\nMożna wybrać dowolne 2 spośród 6, więc 15 kombinacji. Tylko BF zapewnia 2 punkty.
\nTrik: zawsze sprawdź ćwiartkę + tożsamość \\(\\operatorname{tg}=\\sin/\\cos\\).
\nPoprawna odpowiedź: BF
\ncos α = \\(\\frac{1}{\\sqrt{1 + tg^2 α}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + (-3)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{10}}\\)
sin α = tg α * cos α = -3 * \\(\\frac{1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{3}{\\sqrt{10}}\\)
Zatem sin α jest ujemny, a cos α jest dodatni.
📖 Karta wzorów: s.11-14, strona 11
\nsin α / cos α = -3
Z tego wynika, że sin α = -3 * cos α
(-3 * cos α)² + cos²α = 1
9 * cos²α + cos²α = 1
10 * cos²α = 1
cos²α = 1/10
cos α = \\(\\frac{1}{\\sqrt{10}}\\) (ponieważ α jest w III ćwiartce, cos α jest dodatni)
📖 Karta wzorów: s.11-14, strona 11
\nW obu sposobach, sin α jest ujemny, a cos α jest dodatni, co jest zgodne z położeniem kąta α w III ćwiartce.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Kąt α leży w II ćwiartce, więc
\nsinα>0, cosα<0.
\nStąd
\nsinα·cosα<0,
\nczyli prawdziwa jest odpowiedź B.
\nPonadto
\ntanα=(sinα)/(cosα)=-3,
\nwięc
\nsinα=-3cosα,
\nczyli prawdziwa jest odpowiedź F.
"}]}