{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba sin3 20° + cos2 20° ⋅sin 20° jest równa\nA. cos 20°\nB. sin 20°\nC. tg 20°\nD. sin 20° ⋅cos 20°\n18.\n0-1-2\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n𝛼\n0\n2\n1\n-1\n3\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCały trik — wyciąganie wspólnego czynnika\n\nZauważ, że oba składniki zawierają $\\sin 20°$:\n\n- $\\sin^3 20° = \\sin 20° \\cdot \\sin^2 20°$\n- $\\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot \\cos^2 20°$\n\nWyciągnij $\\sin 20°$ przed nawias:\n\n$$\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot \\left( \\sin^2 20° + \\cos^2 20° \\right)$$\n\nZastosuj jedynkę trygonometryczną:\n\n$$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$$\n\ndla dowolnego kąta $\\alpha$, w szczególności dla $\\alpha = 20°$.\n\nPodstaw $1$ w miejsce nawiasu:\n\n$$\\sin 20° \\cdot \\underbrace{\\left( \\sin^2 20° + \\cos^2 20° \\right)}_{= 1} = \\sin 20° \\cdot 1 = \\sin 20°$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nWzór $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ to najczęściej testowana tożsamość trygonometryczna na maturze podstawowej. Gdy widzisz w wyrażeniu zarówno $\\sin^2$ jak i $\\cos^2$ tego samego kąta — w 95% przypadków zadanie sprowadza się do zauważenia tej jedynki i schludnego przekształcenia algebraicznego (wspólny czynnik, podstawienie). Bez kalkulatora.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie tego kalkulatorem (na maturze podstawowej masz tylko prosty kalkulator) zamiast wyciągnięcia wspólnego czynnika sin20°. Drugi błąd: pomylenie sin³x z sin(3x).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria, tożsamości","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba sin3 20° + cos2 20° ⋅sin 20° jest równa<br>A. cos 20°<br>B. sin 20°<br>C. tg 20°<br>D. sin 20° ⋅cos 20°<br>18.<br>0-1-2<br>1<br>2<br>3<br>-3 -2 -1<br>𝑦<br>𝑥<br>𝛼<br>0<br>2<br>1<br>-1<br>3</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=<br>sin 𝛼<br>cos𝛼<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>B<br>A<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Cały trik — wyciąganie wspólnego czynnika</p>\n<p>Zauważ, że oba składniki zawierają $\\sin 20°$:</p>\n<ul><li>$\\sin^3 20° = \\sin 20° \\cdot \\sin^2 20°$</li><li>$\\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot \\cos^2 20°$</li></ul>\n<p>Wyciągnij $\\sin 20°$ przed nawias:</p>\n<p>$$\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot \\left( \\sin^2 20° + \\cos^2 20° \\right)$$</p>\n<p>Zastosuj jedynkę trygonometryczną:</p>\n<p>$$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$$</p>\n<p>dla dowolnego kąta $\\alpha$, w szczególności dla $\\alpha = 20°$.</p>\n<p>Podstaw $1$ w miejsce nawiasu:</p>\n<p>$$\\sin 20° \\cdot \\underbrace{\\left( \\sin^2 20° + \\cos^2 20° \\right)}_{= 1} = \\sin 20° \\cdot 1 = \\sin 20°$$</p>\n<p>Klucz uniwersalny</p>\n<p>Wzór $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ to najczęściej testowana tożsamość trygonometryczna na maturze podstawowej. Gdy widzisz w wyrażeniu zarówno $\\sin^2$ jak i $\\cos^2$ tego samego kąta — w 95% przypadków zadanie sprowadza się do zauważenia tej jedynki i schludnego przekształcenia algebraicznego (wspólny czynnik, podstawienie). Bez kalkulatora.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie tego kalkulatorem (na maturze podstawowej masz tylko prosty kalkulator) zamiast wyciągnięcia wspólnego czynnika sin20°. Drugi błąd: pomylenie sin³x z sin(3x).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sin 20°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika</h4>\n<p>Patrzymy na wyrażenie i od razu zauważamy, że <strong>oba składniki mają wspólny czynnik \\(\\sin 20°\\)</strong>:</p>\n<p>\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\]</p>\n<p>Wyłączamy \\(\\sin 20°\\) przed nawias:</p>\n<p>\\[= \\sin 20° \\cdot \\left(\\sin^2 20° + \\cos^2 20°\\right)\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z <strong>jedynki trygonometrycznej</strong>:</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\boxed{\\sin 20°}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja liczbowa</h4>\n<p>Sprawdzamy numerycznie (kalkulator):</p>\n<p>\\[\\sin 20° \\approx 0{,}342\\]<br>\\[\\cos 20° \\approx 0{,}940\\]</p>\n<p>Liczymy wyrażenie:</p>\n<p>\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° \\approx (0{,}342)^3 + (0{,}940)^2 \\cdot 0{,}342\\]</p>\n<p>\\[\\approx 0{,}0400 + 0{,}8836 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}0400 + 0{,}3022 \\approx 0{,}3422\\]</p>\n<p>Porównujemy z odpowiedziami:</p>\n<ul><li>\\(\\cos 20° \\approx 0{,}940\\) - nie pasuje</li><li>\\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\) - <strong>zgadza się!</strong> ✓</li><li>\\(\\operatorname{tg} 20° \\approx 0{,}364\\) - nie pasuje</li><li>\\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20° \\approx 0{,}342 \\cdot 0{,}940 \\approx 0{,}321\\) - nie pasuje</li></ul>\n<p>Wynik potwierdza odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 1, aby zastąpić wyrażenie w nawiasie liczbą 1. To kluczowy krok całego zadania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń zapomina wyłączyć \\(\\sin 20°\\) i myśli, że zostaje \\(\\cos^2 20°\\), a potem bierze z niego \\(\\cos 20°\\) - błędne rozumowanie |<br>| C | Uczeń dzieli gdzieś przez \\(\\cos 20°\\) bez podstawy - np. myli jedynkę trygonometryczną z innym wzorem |<br>| D | Uczeń wyłącza \\(\\sin 20°\\), ale zapomina zastosować jedynkę i zostawia \\(\\sin 20°(\\sin^2 20° + \\cos^2 20°)\\) w postaci \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\) - błędne uproszczenie nawiasu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) to jeden z najważniejszych wzorów na maturze. Zawsze, gdy widzisz sumę \\(\\sin^2\\) i \\(\\cos^2\\) tego samego kąta - natychmiast zamieniaj na 1.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie rozwijaj i nie komplikuj - tu wystarczy wyłączyć wspólny czynnik. Często zadania wyglądają groźnie, a rozwiązanie mieści się w dwóch linijkach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdzaj numerycznie! Jeśli nie wiesz jak uprościć, podstaw wartości kąta na kalkulatorze i porównaj z odpowiedziami - to szybka i niezawodna weryfikacja.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyciągnięcie \\(\\sin 20^\\circ\\) przed nawias</h5>\n<p>\\[\\sin^3 20^\\circ + \\cos^2 20^\\circ\\cdot\\sin 20^\\circ = \\sin 20^\\circ(\\sin^2 20^\\circ + \\cos^2 20^\\circ) = \\sin 20^\\circ\\cdot 1 = \\sin 20^\\circ.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie liczbowe</h5>\n<p>\\(\\sin 20^\\circ\\approx 0{,}342\\), \\(\\cos 20^\\circ\\approx 0{,}940\\). \\(\\sin^3 20^\\circ\\approx 0{,}040\\); \\(\\cos^2 20^\\circ\\cdot\\sin 20^\\circ\\approx 0{,}883\\cdot 0{,}342\\approx 0{,}302\\). Suma \\(\\approx 0{,}342 = \\sin 20^\\circ\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C, D</strong> - wartości liczbowe nie pasują (\\(\\cos 20^\\circ\\approx 0{,}94\\); \\(\\operatorname{tg}\\approx 0{,}364\\); iloczyn \\(\\approx 0{,}321\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> tożsamość \\(\\sin^2+\\cos^2=1\\) <strong>zawsze</strong> warto szukać po wyłączeniu czynnika.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej</h5>\n<p>Ten sposób opiera się na podstawowej tożsamości trygonometrycznej: sin²α + cos²α = 1. Zatem możemy przekształcić wyrażenie, aby otrzymać sin 20°.</p>\n<ol><li><strong>Rozpoznanie tożsamości:</strong> Wiemy, że sin²α + cos²α = 1 dla każdego kąta α.</li><li><strong>Zastosowanie tożsamości:</strong> Zastosujemy tę tożsamość do naszego wyrażenia:</li></ol>\n<p>sin³20° + cos²20° · sin20° = sin²20° + (1 - sin²20°) · sin20° = sin²20° + sin20° - sin³20°</p>\n<ol><li><strong>Uproszczenie:</strong> Uprościmy wyrażenie:</li></ol>\n<p>sin²20° + sin20° - sin³20° = (sin²20° - sin³20°) + sin20° = sin²20°(1 - sin20°) + sin20°</p>\n<ol><li><strong>Próba uproszczenia dalej:</strong> Zauważmy, że wyrażenie można zapisać jako sin20°(sin20° - sin²20° + 1). Jednak to nie prowadzi bezpośrednio do odpowiedzi. Zamiast tego, możemy wrócić do pierwotnego wyrażenia i zauważyć, że sin²20° + cos²20° = 1. Zatem:</li></ol>\n<p>sin³20° + cos²20° · sin20° = sin³20° + (1 - sin²20°) · sin20° = sin³20° + sin20° - sin³20° = sin²20° + sin20°</p>\n<ol><li><strong>Zauważamy, że to jest równoważne sin²20° + sin20°</strong></li><li><strong>Wniosek:</strong> Zatem sin³20° + cos²20° · sin20° = sin²20° + sin20° = sin20°(sin20° + 1)</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)</p>\n<h5>Sposób 2: Rozwinięcie i uproszczenie</h5>\n<ol><li><strong>Rozwinięcie sin³20°:</strong> sin³20° = sin²20° * sin20°</li><li><strong>Podstawienie do wyrażenia:</strong> Podstawiamy rozwinięcie do oryginalnego wyrażenia:</li></ol>\n<p>sin³20° + cos²20° * sin20° = sin²20° * sin20° + cos²20° * sin20°</p>\n<ol><li><strong>Wyciągnięcie sin20° z wyrażenia:</strong> Wyciągamy sin20° przed nawias:</li></ol>\n<p>sin20° * (sin²20° + cos²20°)</p>\n<ol><li><strong>Zastosowanie tożsamości sin²α + cos²α = 1:</strong> Zastosujemy tożsamość:</li></ol>\n<p>sin20° * 1 = sin20°</p>\n<ol><li><strong>Wniosek:</strong> Zatem sin³20° + cos²20° * sin20° = sin20°</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. (na zdjęciu):</strong> Ta odpowiedź to tg 20°, a nie sin 20°. Nie ma bezpośredniego związku z wyrażeniem, które musimy obliczyć.</li><li><strong>B. \\(sin 20^{\\circ}\\):</strong> To jest prawidłowa odpowiedź, ponieważ po uproszczeniu wyrażenia otrzymujemy sin20°.</li><li><strong>C. \\(tg 20^{\\circ}\\):</strong> Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ wyrażenie nie upraszcza się do tangensa 20°.</li><li><strong>D. \\(sin 20^{\\circ} \\cdot cos 20^{\\circ}\\):</strong> Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ wyrażenie nie upraszcza się do iloczynu sinusa i cosinusa 20°.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ możemy uprościć wyrażenie:<br>$\\sin 20^{\\circ} \\cdot (\\sin^2 20^{\\circ}+\\cos^2 20^{\\circ})=\\sin 20^{\\circ}\\cdot1 = \\sin20^{\\circ}$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>sin^3 20^°+cos^2 20^°·sin20^°<br>=sin20^° (sin^2 20^°+cos^2 20^° )<br>=sin20^°.</p>"}]}