{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba ( 1\n16)\n8\n⋅816 jest równa\nA. 224\nB. 216\nC. 212\nD. 28\n-2\n4\n𝑥\n-2\n4\n𝑥\n-2\n4\n𝑥\n-2\n4\n𝑥\n\nMMAP-P0_100\nLiczba (1/16)^8 ⋅ 8^16 jest równa A. 2^24 B. 2^16 C. 2^12 D. 2^8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba zrobić?\n\nObliczyć wartość iloczynu i wskazać, do której potęgi dwójki jest równa:\n\n$$\\left(\\frac{1}{16}\\right)^{8} \\cdot 8^{16}$$\n\nCały trik to sprowadzić obie liczby do potęg tej samej podstawy — w tym wypadku $2$ — i potem już tylko zsumować wykładniki.\n\nZamień obie podstawy na potęgi dwójki.\n\n$$\\frac{1}{16} = \\frac{1}{2^4} = 2^{-4}$$\n\n$$8 = 2^3$$\n\nPodstaw i zastosuj wzór $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$.\n\n$$\\left(\\frac{1}{16}\\right)^{8} = \\left(2^{-4}\\right)^{8} = 2^{-32}$$\n\n$$8^{16} = \\left(2^3\\right)^{16} = 2^{48}$$\n\nPomnoż potęgi o tej samej podstawie — wykładniki się dodają.\n\n$$2^{-32} \\cdot 2^{48} = 2^{-32 + 48} = 2^{16}$$\n\nKlucz do tego typu zadań\n\nGdy widzisz potęgi z różnymi podstawami — zatrzymaj się i zapytaj: „czy obie te podstawy są potęgami tej samej liczby?\". Na maturze prawie zawsze są (najczęściej dwójki, trójki albo dziesiątki). Sprowadzenie do wspólnej podstawy zamienia trudne mnożenie liczb w łatwe dodawanie wykładników.\n\nTypowy błąd: Typowy błąd to liczenie (1/16)^8 = 1/(16^8) bez sprowadzania do potęgi dwójki — wynik wychodzi jak gigantyczna liczba i traci się sens zadania. Albo druga pułapka: pomylenie wykładnika ujemnego ze znakiem podstawy.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"potęgi, prawa działań, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba ( 1
16)
8
⋅816 jest równa
A. 224
B. 216
C. 212
D. 28
-2
4
𝑥
-2
4
𝑥
-2
4
𝑥
-2
4
𝑥

\n

MMAP-P0_100
Liczba (1/16)^8 ⋅ 8^16 jest równa A. 2^24 B. 2^16 C. 2^12 D. 2^8

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: B

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co trzeba zrobić?

\n

Obliczyć wartość iloczynu i wskazać, do której potęgi dwójki jest równa:

\n

$$\\left(\\frac{1}{16}\\right)^{8} \\cdot 8^{16}$$

\n

Cały trik to sprowadzić obie liczby do potęg tej samej podstawy — w tym wypadku $2$ — i potem już tylko zsumować wykładniki.

\n

Zamień obie podstawy na potęgi dwójki.

\n

$$\\frac{1}{16} = \\frac{1}{2^4} = 2^{-4}$$

\n

$$8 = 2^3$$

\n

Podstaw i zastosuj wzór $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$.

\n

$$\\left(\\frac{1}{16}\\right)^{8} = \\left(2^{-4}\\right)^{8} = 2^{-32}$$

\n

$$8^{16} = \\left(2^3\\right)^{16} = 2^{48}$$

\n

Pomnoż potęgi o tej samej podstawie — wykładniki się dodają.

\n

$$2^{-32} \\cdot 2^{48} = 2^{-32 + 48} = 2^{16}$$

\n

Klucz do tego typu zadań

\n

Gdy widzisz potęgi z różnymi podstawami — zatrzymaj się i zapytaj: „czy obie te podstawy są potęgami tej samej liczby?". Na maturze prawie zawsze są (najczęściej dwójki, trójki albo dziesiątki). Sprowadzenie do wspólnej podstawy zamienia trudne mnożenie liczb w łatwe dodawanie wykładników.

\n

Typowy błąd: Typowy błąd to liczenie (1/16)^8 = 1/(16^8) bez sprowadzania do potęgi dwójki — wynik wychodzi jak gigantyczna liczba i traci się sens zadania. Albo druga pułapka: pomylenie wykładnika ujemnego ze znakiem podstawy.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(-\\infty\\)

\n

Sposób 1 - rozkład na czynniki i analiza znaku

\n

Krok 1: Sprawdź, co się dzieje po podstawieniu \\(x = 2\\)

\n

\\[\\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2}\\bigg|_{x=2} = \\frac{8-8}{0} = \\frac{0}{0}\\]

\n

Mamy nieoznaczoność \\(\\frac{0}{0}\\) - nie można tak podstawić. Trzeba uprościć.

\n

Krok 2: Rozłóż licznik na czynniki

\n

Licznik \\(x^3 - 8\\) to różnica sześcianów:

\n

\\[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\\]

\n

Krok 3: Uprość ułamek

\n

\\[\\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2} = \\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2} = \\frac{x^2+2x+4}{x-2}\\]

\n

Skrócenie jest dozwolone, bo badamy granicę przy \\(x \\to 2^-\\), czyli \\(x \\neq 2\\).

\n

Krok 4: Zbadaj zachowanie licznika i mianownika osobno

\n

Gdy \\(x \\to 2^-\\) (dążymy do 2 od lewej, czyli \\(x < 2\\)):

\n\n

Krok 5: Wyznacz znak całego ułamka

\n

\\[\\frac{x^2+2x+4}{x-2} \\to \\frac{12}{0^-} = \\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{ujemna, dążąca do 0})} \\to -\\infty\\]

\n

\\[\\boxed{\\lim_{x\\to 2^{-}}\\frac{x^3-8}{(x-2)^2} = -\\infty}\\]

\n

Sposób 2 - podstawienie pomocnicze \\(t = x - 2\\)

\n

Niech \\(t = x - 2\\). Gdy \\(x \\to 2^-\\), mamy \\(t \\to 0^-\\) (czyli \\(t < 0\\) i \\(t \\to 0\\)).

\n

Wyrażamy \\(x = t + 2\\) i podstawiamy:

\n

\\[\\frac{x^3 - 8}{(x-2)^2} = \\frac{(t+2)^3 - 8}{t^2}\\]

\n

Rozwijamy licznik:

\n

\\[(t+2)^3 = t^3 + 3t^2 \\cdot 2 + 3t \\cdot 4 + 8 = t^3 + 6t^2 + 12t + 8\\]

\n

\\[(t+2)^3 - 8 = t^3 + 6t^2 + 12t\\]

\n

Zatem:

\n

\\[\\frac{t^3 + 6t^2 + 12t}{t^2} = \\frac{t(t^2 + 6t + 12)}{t^2} = \\frac{t^2 + 6t + 12}{t}\\]

\n

Gdy \\(t \\to 0^-\\):

\n\n

\\[\\frac{12}{0^-} \\to -\\infty\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - granica równa \\(-\\infty\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica sześcianów:
\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do rozkładu \\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Uważaj na kierunek dążenia! Granica jednostronna \\(x \\to 2^-\\) oznacza dążenie od lewej, czyli \\(x < 2\\). To sprawia, że \\(x - 2 < 0\\), a więc mianownik jest ujemny. Gdybyśmy badali \\(x \\to 2^+\\), granica byłaby \\(+\\infty\\) - zupełnie inny wynik!
\n
⚠️ Uwaga: Mianownik to \\((x-2)^2\\), a nie \\((x-2)\\). Po uproszczeniu zostaje jedna potęga \\((x-2)\\) w mianowniku - i to właśnie ona decyduje o znaku. Gdyby zostały dwie, wynik byłby \\(+\\infty\\) bez względu na kierunek.
\n
⚠️ Uwaga: Błędne jest pisanie \\(\\frac{0}{0} = 0\\) lub \\(\\frac{0}{0} = 1\\). Nieoznaczoność \\(\\frac{0}{0}\\) to sygnał: rozkładaj i upraszczaj, a dopiero potem wyliczaj granicę.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(-\\infty\\)

\n
Sposób 1 - Wzór na różnicę sześcianów i skrócenie
\n

\\[\\dfrac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}}=\\dfrac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{(x-2)^{2}}=\\dfrac{x^{2}+2x+4}{x-2}.\\]
Przy \\(x\\to 2^{-}\\): licznik \\(\\to 4+4+4=12\\), mianownik \\(\\to 0^{-}\\). Zatem \\(\\dfrac{12}{0^{-}}=-\\infty\\).

\n
Sposób 2 - Reguła de l'Hospitala
\n

Granica \\(\\dfrac{0}{0}\\). Różniczkujemy:
\\[\\lim_{x\\to 2^{-}}\\dfrac{x^{3}-8}{(x-2)^{2}}=\\lim_{x\\to 2^{-}}\\dfrac{3x^{2}}{2(x-2)}=\\dfrac{12}{0^{-}}=-\\infty.\\]

\n
Uwagi o punktacji (0-2)
\n\n

Trik: Zawsze sprawdzaj jednostronny znak mianownika - \\(x\\to 2^{-}\\) oznacza \\(x-2\\to 0^{-}\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, po przekształceniu liczby $\\displaystyle \\small\\frac{1}{16}$ do postaci potęgi mamy $\\displaystyle \\small \\frac{1}{16} = 2^{-4}$, więc $\\displaystyle \\small\\bigg(\\frac{1}{16}\\bigg)^8 = 2^{-32}$. Natomiast $8^{16}$ można zapisać jako $(2^3)^{16} = 2^{48}$. Po połączeniu tych wyników: $2^{-32} \\cdot 2^{48} = 2^{-32+48}=2^{16}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

((1)/(16) )^8· 8^16
=(2^-4)^8·(2^3)^16
=2^-32·2^48
=2^16.

"}]}