Zadanie 20. (0-1)
Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀| = 𝑎, |𝐿𝑀| = 𝑏 oraz 𝑎≠𝑏. Dwusieczna kąta
𝐾𝑀𝐿 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 takim, że |𝐾𝑁| = 𝑐, |𝑁𝐿| = 𝑑 oraz |𝑀𝑁| = 𝑒
(zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W trójkącie 𝐾𝐿𝑀 prawdziwa jest równość
A. 𝑎⋅𝑏= 𝑐⋅𝑑
B. 𝑎⋅𝑑= 𝑏⋅𝑐
C. 𝑎⋅𝑐= 𝑏⋅𝑑
D. 𝑎⋅𝑏= 𝑒⋅𝑒
Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a, |LM|=b oraz a≠b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN|=c, |NL|=d oraz |MN|=e (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość A. a⋅b=c⋅ d B. a⋅d=b⋅c C. a⋅c=b⋅ d D. a⋅b=e⋅e
Zadanie 20. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VIII.7) stosuje twierdzenia: […]
o dwusiecznej kąta […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
B
Odpowiedź: B
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nTwierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta
\nJeśli dwusieczna kąta w wierzchołku $M$ trójkąta $KLM$ przecina przeciwległy bok $KL$ w punkcie $N$, to:
\n$$\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}$$
\n— odcinki, na które dwusieczna dzieli bok przeciwległy, są proporcjonalne do boków przyległych do dzielonego kąta.
\nPodstaw oznaczenia z zadania
\nMamy: $|KM| = a$, $|LM| = b$, $|KN| = c$, $|NL| = d$, $|MN| = e$.
\nZapisz proporcję twierdzenia.
\n$$\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|} \\quad\\Longleftrightarrow\\quad \\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}$$
\nPomnóż na krzyż (właściwość proporcji $\\frac{x}{y} = \\frac{u}{v} \\iff x \\cdot v = y \\cdot u$):
\n$$c \\cdot b = d \\cdot a$$
\nczyli
\n$$a \\cdot d = b \\cdot c$$
\nSkrót pamięciowy
\nDwusieczna dzieli bok w stosunku boków przyległych — przy każdym wierzchołku „swój" odcinek odpowiada „swojemu" bokowi. Jeśli w wątpliwości — narysuj sobie szybki szkic i podpisz, który bok wychodzi z którego wierzchołka. Pomyłka w 5 sekundach widoczna.
\nTypowy błąd: Mylenie kolejności w twierdzeniu o dwusiecznej. Bezpiecznie: „bok przy wierzchołku K (a) ma się do odcinka po stronie K (c) tak, jak bok przy wierzchołku L (b) ma się do odcinka po stronie L (d)" — czyli a/c = b/d, równoważnie a · d = b · c.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Czyli \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\)
\nCo wiemy: \\(MN\\) jest dwusieczną kąta \\(KML\\), czyli dzieli kąt \\(\\angle KML\\) na dwie równe części.
\nTwierdzenie o dwusiecznej (karta CKE, dział 10) mówi wprost:
\nDwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi przyległych boków.\n
W naszym przypadku dwusieczna \\(MN\\) kąta \\(M\\) dzieli bok \\(KL\\) w punkcie \\(N\\), więc:
\n\\[\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}\\]
\nPodstawiamy oznaczenia:
\n\\[\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}\\]
\nMnożymy krzyżowo (obie strony są dodatnie, więc możemy):
\n\\[c \\cdot b = a \\cdot d\\]
\nczyli:
\n\\[\\boxed{a \\cdot d = b \\cdot c}\\]
\nDwusieczna \\(MN\\) dzieli trójkąt \\(KLM\\) na dwa mniejsze: \\(\\triangle KMN\\) i \\(\\triangle LMN\\).
\nKrok 1 - stosunek pól przez wspólną wysokość.
\nOba trójkąty mają tę samą wysokość \\(h\\) opuszczoną z wierzchołka \\(M\\) na prostą \\(KL\\):
\n\\[\\frac{P(\\triangle KMN)}{P(\\triangle LMN)} = \\frac{\\frac{1}{2} \\cdot c \\cdot h}{\\frac{1}{2} \\cdot d \\cdot h} = \\frac{c}{d}\\]
\nKrok 2 - stosunek pól przez kąt przy wierzchołku \\(M\\).
\nOba trójkąty mają bok \\(MN = e\\) wspólny, a kąty \\(\\angle KMN = \\angle LMN\\) (bo \\(MN\\) jest dwusieczną!):
\n\\[P(\\triangle KMN) = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot e \\cdot \\sin(\\angle KMN)\\]
\\[P(\\triangle LMN) = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot e \\cdot \\sin(\\angle LMN) = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot e \\cdot \\sin(\\angle KMN)\\]
Zatem:
\n\\[\\frac{P(\\triangle KMN)}{P(\\triangle LMN)} = \\frac{\\frac{1}{2} a e \\sin(\\angle KMN)}{\\frac{1}{2} b e \\sin(\\angle KMN)} = \\frac{a}{b}\\]
\nKrok 3 - łączymy wyniki:
\n\\[\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b} \\implies \\boxed{a \\cdot d = b \\cdot c}\\]
\nDział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie o dwusiecznej:
\\[\\frac{|AD|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BC|}\\]
Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku boków tworzących ten kąt. To jest bezpośrednio twierdzenie użyte w Sposobie 1.
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyrażenia pól obu trójkątów przez boki \\(a\\), \\(b\\) i kąty przy \\(M\\).
| Odp. | Błędne rozumowanie |
| A | \\(a \\cdot b = c \\cdot d\\) - ktoś pomylił boki oryginalnego trójkąta z odcinkami na dwusiecznej; z twierdzenia o dwusiecznej wynika \\(\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}\\), nie \\(ab = cd\\) |
| C | \\(a \\cdot c = b \\cdot d\\) - odwrócono jedno z ramion: wzięto \\(a\\) z \\(c\\) zamiast z \\(d\\); faktycznie \\(a\\) jest po tej samej stronie co \\(c\\) (oba przy wierzchołku \\(K\\)), więc powinny być po przeciwnych stronach równania |
| D | \\(a \\cdot b = e^2\\) - ciekawy błąd! Faktycznie ze wzoru Stewarta i twierdzenia o dwusiecznej wynika \\(e^2 = ab - cd\\) (nie \\(ab\\)). Równość \\(ab = e^2\\) zachodziłaby tylko gdyby \\(cd = 0\\), co jest niemożliwe |
⚠️ Uwaga: Twierdzenie o dwusiecznej mówi o stosunku boków tworzących dwusieczny kąt (\\(a\\) i \\(b\\)) do odcinków na przeciwległym boku (\\(c\\) i \\(d\\)). Kluczowe jest pamiętanie, który bok jest po której stronie - \\(a = |KM|\\) jest przy wierzchołku \\(K\\), więc odpowiada \\(c = |KN|\\) (też przy \\(K\\)).\n
⚠️ Uwaga: \\(|MN| = e\\) (długość dwusiecznej) nie wchodzi do wzoru twierdzenia o dwusiecznej - to oddzielna wartość, nie mylmy jej z proporcją boków!\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(a \\neq b\\) oznacza, że punkt \\(N\\) nie jest środkiem \\(KL\\) (gdyby \\(a = b\\), byłoby \\(c = d\\)). Nie zmienia to jednak postaci wzoru - proporcja \\(\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}\\) działa dla dowolnych wartości \\(a, b > 0\\).\n
Poprawna odpowiedź: B
\nDwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku boków sąsiednich:
\\[\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|} \\Rightarrow \\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}.\\]
Stąd \\(a\\cdot d = b\\cdot c\\).
Niech \\(a=4\\), \\(b=6\\). Wtedy \\(c:d=4:6=2:3\\), czyli np. \\(c=2\\), \\(d=3\\). Sprawdzenie B: \\(4\\cdot 3=12\\), \\(6\\cdot 2=12\\) ✓.
A: \\(ab=24\\), \\(cd=6\\) - fałsz. C: \\(ac=8\\), \\(bd=18\\) - fałsz.
Trik: Dwusieczna → stosunek. Zamiana proporcji \\(\\tfrac{c}{d}=\\tfrac{a}{b}\\) na iloczyn krzyżowy \\(a\\cdot d=b\\cdot c\\).
\nPoprawna odpowiedź: B
\nW trójkącie KLM, dwusieczna KNM przecina bok KL w punkcie N. Z twierdzenia o dwuńaściennych kątach wynika, że:
\n\\[ \\frac{KN}{KL} = \\frac{MN}{ML} \\]
\nZ treści zadania mamy: \\[ \\frac{c}{c+d} = \\frac{e}{b} \\]
\nPrzekształcając równanie, otrzymujemy:
\n\\[ be = c(c+d) = c^2 + cd \\]
\nZauważmy, że \\(a = c\\), \\(b = c+d\\) i \\(e = c\\). Zatem:
\n\\[ a \\cdot b = c \\cdot (c+d) = c^2 + cd \\]
\\[ a \\cdot d = c \\cdot d \\]
\\[ a \\cdot c = c \\cdot d \\]
Zatem \\(a \\cdot b = c \\cdot d\\), co jest równoważne \\(b \\cdot c = a \\cdot d\\). W konsekwencji, \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\).
\n📖 Karta wzorów: [Wzory], strona [20]
\nPonieważ MN i KN są dwusiecznymi kątów KML, trójkąty MKN i MLN są podobne. Zatem:
\n\\[ \\frac{MK}{ML} = \\frac{KN}{LN} = \\frac{MN}{ML} \\]
\nZ treści zadania mamy: \\[ \\frac{a}{b} = \\frac{c}{d} = \\frac{e}{b} \\]
\nZ równania \\[ \\frac{a}{b} = \\frac{c}{d} \\] otrzymujemy \\(ad = bc\\). Z równania \\[ \\frac{c}{d} = \\frac{e}{b} \\] otrzymujemy \\(bc = de\\).
\nZatem \\(ad = bc\\) i \\(bc = de\\). Zatem \\(ad = de\\), co implikuje \\(a = e\\). Ponieważ \\(a = c\\), to \\(c = e\\).
\nZatem \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\)
\n📖 Karta wzorów: [Wzory], strona [20]
\nZauważ, że w obu sposobach dowodzeniu, podstawiamy wartości z zadania, aby sprawdzić, która równość jest prawdziwa.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, korzystając z twierdzenia o dwusiecznej dla trójkąta $KLM$ możemy zapisać, że $ \\displaystyle \\small \\frac{a}{c}=\\frac{b}{d} $, czyli $ \\displaystyle a\\cdot d=b\\cdot c $.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Z twierdzenia o dwusiecznej:
\n(|KN|)/(|NL|)=(|KM|)/(|ML|).
\nPo podstawieniu oznaczeń:
\n(c)/(d)=(a)/(b).
\nMnożąc na krzyż, otrzymujemy
\nad=bc.
"}]}