{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole tego równoległoboku jest równe\nA. 12\nB. 12√3\nC. 6\nD. 6√3\n𝑒\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝑑\n𝑐\n𝐿\n𝑁\n\nMMAP-P0_100\nDany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A. 12 B. 12√3 C. 6 D. 6√3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWzór na pole równoległoboku z kątem\n\nDla równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\\gamma$ między nimi:\n\n$$P = a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$$\n\nTo wzór analogiczny do trójkąta, ale bez dzielenia przez 2 (równoległobok = dwa trójkąty).\n\nPodstaw dane: $a = 3$, $b = 4$, $\\gamma = 120°$.\n\n$$P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°$$\n\nOblicz $\\sin 120°$. Kąt $120°$ leży w II ćwiartce. Używamy redukcji: $\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60°$.\n\n$$\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\n\nStąd $\\sin 120° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\nWymnóż:\n\n$$P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}$$\n\nKlucz pamięciowy — pole figur\n\nFigura | Wzór | Uwaga\nProstokąt | $a \\cdot b$ | $\\sin 90° = 1$\nRównoległobok | $a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$ | dwa boki + kąt\nTrójkąt | $\\tfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$ | dwa boki + kąt między nimi\nRomb | $\\tfrac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2$ | iloczyn przekątnych / 2\n\nWszystkie cztery wzory są w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, ale szybsza droga to mieć je w pamięci.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie pola jako iloczynu boków (3 · 4 = 12 → A) — to działa tylko dla prostokąta. Drugi błąd: użycie sin 120° i zapomnienie, że sin 120° = sin 60° = √3/2 (a nie √3).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria, pole równoległoboku","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole tego równoległoboku jest równe
A. 12
B. 12√3
C. 6
D. 6√3
𝑒
𝑎
𝑀
𝑏
𝐾
𝑑
𝑐
𝐿
𝑁

\n

MMAP-P0_100
Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A. 12 B. 12√3 C. 6 D. 6√3

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
VIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne
do wyznaczania długości odcinków
w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: D

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Wzór na pole równoległoboku z kątem

\n

Dla równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\\gamma$ między nimi:

\n

$$P = a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$$

\n

To wzór analogiczny do trójkąta, ale bez dzielenia przez 2 (równoległobok = dwa trójkąty).

\n

Podstaw dane: $a = 3$, $b = 4$, $\\gamma = 120°$.

\n

$$P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°$$

\n

Oblicz $\\sin 120°$. Kąt $120°$ leży w II ćwiartce. Używamy redukcji: $\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60°$.

\n

$$\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$

\n

Stąd $\\sin 120° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.

\n

Wymnóż:

\n

$$P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}$$

\n

Klucz pamięciowy — pole figur

\n

Figura | Wzór | Uwaga
Prostokąt | $a \\cdot b$ | $\\sin 90° = 1$
Równoległobok | $a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$ | dwa boki + kąt
Trójkąt | $\\tfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$ | dwa boki + kąt między nimi
Romb | $\\tfrac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2$ | iloczyn przekątnych / 2

\n

Wszystkie cztery wzory są w „Wybranych wzorach matematycznych" CKE, ale szybsza droga to mieć je w pamięci.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie pola jako iloczynu boków (3 · 4 = 12 → A) — to działa tylko dla prostokąta. Drugi błąd: użycie sin 120° i zapomnienie, że sin 120° = sin 60° = √3/2 (a nie √3).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(6\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez sinus

\n

Wzór na pole równoległoboku to:
\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]
gdzie \\(a, b\\) to boki, a \\(\\alpha\\) to kąt między nimi.

\n

Krok 1. Podstawiamy dane: \\(a = 3\\), \\(b = 4\\), \\(\\alpha = 120°\\).
\\[P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]

\n

Krok 2. Obliczamy \\(\\sin 120°\\).

\n

Kąt \\(120°\\) leży w II ćwiartce. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:
\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Krok 3. Wstawiamy:
\\[P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku

\n

Pole równoległoboku to też \\(P = a \\cdot h\\), gdzie \\(h\\) to wysokość.

\n

Krok 1. Wyznaczamy wysokość \\(h\\) opuszczoną na bok \\(a = 4\\).

\n

W równoległoboku kąt \\(120°\\) jest rozwarty, więc patrzymy na kąt przyległy (suplementarny):
\\[180° - 120° = 60°\\]

\n

Wysokość \\(h\\) tworzy z bokiem \\(b = 3\\) kąt \\(60°\\) (bo trójkąt pomocniczy powstaje przy kącie \\(60°\\)):

\n

!schemat

\n

\\[h = b \\cdot \\sin 60° = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Krok 2. Liczymy pole:
\\[P = a \\cdot h = 4 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku:
\\[P = ab\\sin\\alpha\\]
Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 14) - wzór redukcyjny:
\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(12\\) | Policzono \\(P = a \\cdot b = 3 \\cdot 4 = 12\\) - zapomniano o sinusie kąta (to byłby prostokąt!) |
| B. \\(12\\sqrt{3}\\) | Policzono \\(P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\) poprawnie, ale zapomniano podzielić przez \\(2\\) przy upraszczaniu - wynik przed skróceniem to \\(\\frac{12\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(12\\sqrt{3}\\) |
| C. \\(6\\) | Wzięto \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (pomylono sinus z cosinusem kąta \\(60°\\)) lub użyto \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla dowolnego kąta między bokami - nie trzeba brać kąta ostrego! Dla \\(\\alpha = 120°\\): \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Nie wstawiaj błędnie \\(\\sin 60°\\) bez sprawdzenia, który kąt masz.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się pomylić i wziąć \\(\\cos\\) zamiast \\(\\sin\\) - pamiętaj, że pole zależy od wysokości, czyli sinusa kąta, nie cosinusa.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli kąt między bokami jest rozwarty (\\(> 90°\\)), równoległobok wygląda "przechylony", ale wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa tak samo - \\(\\sin\\) kąta rozwartego jest dodatni!
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór \\(P = a\\cdot b\\cdot\\sin\\gamma\\)
\n

\\[P = 3\\cdot 4\\cdot\\sin 120^\\circ = 12\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór z sin 60°
\n

Kąty rozwarte i ostre w równoległoboku uzupełniają się do \\(180^\\circ\\). Dla kąta \\(60^\\circ\\) między bokami pole to samo: \\(3\\cdot 4\\cdot\\sin 60^\\circ = 6\\sqrt{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt 3}{2}\\).

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Obliczenie pola równoległoboku za pomocą długości boków i kąta między nimi
\n

W równoległoboku pole można obliczyć ze wzoru:
\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin(\\alpha)\\]
gdzie a i b to długości boków, a α to miara kąta między nimi. W tym przypadku:

\n\n

Zatem:
\\[P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin(120^{\\circ}) = 12 \\cdot \\sin(120^{\\circ})\\]
Wiemy, że \\[\\sin(120^{\\circ}) = \\sin(180^{\\circ} - 60^{\\circ}) = \\sin(60^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]
📖 Karta wzorów: s.15 Pole trójkąta, strona 15

\n
Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i wzoru na pole trójkąta
\n

Ponieważ mamy równoległobok, możemy podzielić go na dwa przystające trójkąty równoramienne. Możemy obliczyć długość przekątnej równoległoboku, używając twierdzenia cosinusów. Niech d będzie długością przekątnej. W trójkącie z bokami 3 i 4 oraz kątem 120° między nimi:
\\[d² = 3² + 4² - 2 \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot \\cos(120^{\\circ}) = 9 + 16 - 24 \\cdot (-\\frac{1}{2}) = 25 + 12 = 37\\]
\\[d = \\sqrt{37}\\]
Teraz możemy obliczyć pole równoległoboku jako połowę iloczynu przekątnych:
\\[P = \\frac{1}{2} d_1 d_2 = \\frac{1}{2} \\sqrt{37} \\cdot \\sqrt{37} = \\frac{1}{2} \\cdot 37 = \\frac{37}{2} = 18.5\\]
To rozwiązanie jest błędne, ponieważ nie wykorzystuje bezpośrednio pola równoległoboku. Zamiast tego, musimy obliczyć pole trójkąta i pomnożyć przez 2. W tym przypadku, pole trójkąta wynosi:
\\[P_{trójkąta} = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin(120^{\\circ}) = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]
\\[P_{równoległoboku} = 2 \\cdot P_{trójkąta} = 2 \\cdot 3\\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\]
📖 Karta wzorów: s.20-21 Trapez, strona 20-21 (w kontekście obliczania pola trójkąta)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, pole danego równoległoboku jest równe $P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120^\\circ $. Zauważ, że $\\sin120^\\circ =\\sin60^\\circ= \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, więc $P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Pole równoległoboku:

\n

P=absinα.

\n

P=3·4·sin120^°
=12·(√(3))/(2)
=6√(3).

"}]}