Zadanie 22. (0-1)
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶, wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42°
(zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego 𝐵𝐴𝑆 jest równa
A. 42°
B. 45°
C. 48°
D. 69°
W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BAS jest równa A. 42° B. 45° C. 48° D. 69°
Zadanie 22. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych
i środkowych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
D
Odpowiedź: C — 48°.
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nDwa kluczowe fakty o okręgach
\nTo wszystko, czego potrzebujemy.
\nZidentyfikuj relacje. $S$ jest środkiem okręgu, więc $|SA| = |SB|$ (oba to promienie). Trójkąt $ASB$ jest równoramienny z wierzchołkiem $S$.
\nKąt $ACB = 42°$ to kąt wpisany oparty na łuku $AB$.
\nKąt $ASB$ to kąt środkowy oparty na tym samym łuku $AB$.
\nOblicz kąt środkowy. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:
\n$$\\angle ASB = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42° = 84°$$
\nOblicz kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego $ASB$. Suma kątów w trójkącie to $180°$, więc:
\n$$\\angle SAB + \\angle SBA + \\angle ASB = 180°$$
\n$$\\angle SAB + \\angle SBA = 180° - 84° = 96°$$
\nPonieważ trójkąt $ASB$ jest równoramienny, jego kąty przy podstawie $AB$ są równe:
\n$$\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{96°}{2} = 48°$$
\nKąt $BAS$ to to samo co $\\angle SAB$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $A$). Czyli:
\n$$\\angle BAS = 48°$$
\nKlucz — kąty w okręgu na maturze
\nNajczęściej testowane fakty:
\n90% zadań z okręgów na maturze podstawowej da się rozwiązać kombinacją tych czterech faktów.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór A (42°) — pomylenie kąta BAS z kątem ACB. To DWA RÓŻNE kąty: ACB to kąt wpisany trójkąta, a BAS to kąt w trójkącie ASB (gdzie S to środek okręgu).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1. Wyznaczymy kąt środkowy \\(ASB\\).
\nKąt \\(ACB = 42^\\circ\\) jest kątem wpisanym w okrąg o środku \\(S\\). Opiera się na łuku \\(AB\\) (tym, który nie zawiera \\(C\\)).
\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:
\\[\\text{kąt środkowy} = 2 \\cdot \\text{kąt wpisany}\\]
\\[\\angle ASB = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ\\]
Krok 2. Skorzystamy z tego, że trójkąt \\(ASB\\) jest równoramienny.
\nOdcinki \\(SA\\) i \\(SB\\) są promieniami tego samego okręgu, więc \\(|SA| = |SB|\\). Trójkąt \\(ASB\\) jest równoramienny - kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:
\\[\\angle BAS = \\angle ABS\\]
Krok 3. Wyznaczymy \\(\\angle BAS\\) ze wzoru na sumę kątów trójkąta.
\n\\[\\angle BAS + \\angle ABS + \\angle ASB = 180^\\circ\\]
\\[2 \\cdot \\angle BAS + 84^\\circ = 180^\\circ\\]
\\[2 \\cdot \\angle BAS = 96^\\circ\\]
\\[\\boxed{\\angle BAS = 48^\\circ}\\]
Kąt jest ostry (\\(48^\\circ < 90^\\circ\\)), więc odpowiedź C jest poprawna.
\nPonieważ \\(|SA| = |SB|\\), środkowa z \\(S\\) na bok \\(AB\\) jest zarazem prostopadłą dwusieczną odcinka \\(AB\\). Oznaczmy jej stopę jako \\(M\\).
\nProstopadła \\(SM \\perp AB\\) dzieli trójkąt \\(ASB\\) na dwa przystające trójkąty prostokątne \\(SAM\\) i \\(SBM\\).
\nPołowa kąta środkowego:
\\[\\angle ASM = \\frac{\\angle ASB}{2} = \\frac{84^\\circ}{2} = 42^\\circ\\]
W trójkącie prostokątnym \\(SAM\\) (kąt prosty przy \\(M\\)):
\\[\\angle BAS + \\angle ASM = 90^\\circ\\]
\\[\\angle BAS = 90^\\circ - 42^\\circ = \\boxed{48^\\circ}\\]
Obserwacja: \\(\\angle ASM = 42^\\circ\\) to dokładnie tyle, ile wynosi kąt wpisany \\(ACB\\) - bo połowa kąta środkowego = kąt wpisany!
\nDział 10 (Planimetria, s. 19) - kąt wpisany i środkowy:
\nKąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n
Użyliśmy tego bezpośrednio w Kroku 1, by wyznaczyć \\(\\angle ASB = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ\\).
\nDział 10 (Planimetria, s. 15) - suma kątów trójkąta:
\nSuma kątów wewnętrznych trójkąta = \\(180^\\circ\\).\n
Użyliśmy w Kroku 3 do obliczenia \\(\\angle BAS\\) z równoramiennego trójkąta \\(ASB\\).
\n| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(42^\\circ\\)) | Uczeń błędnie uznaje, że \\(\\angle BAS = \\angle ACB\\), myląc kąt wpisany z kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego \\(ASB\\) |
| B (\\(45^\\circ\\)) | Brak uzasadnienia matematycznego - prawdopodobnie intuicyjne (i błędne) skojarzenie z trójkątem \\(45\\text{-}45\\text{-}90\\) |
| D (\\(69^\\circ\\)) | Najczęstszy błąd! Uczeń zapomina podwoić kąt wpisany: przyjmuje \\(\\angle ASB = 42^\\circ\\) zamiast \\(84^\\circ\\), a następnie poprawnie liczy kąt przy podstawie: \\(\\frac{180^\\circ - 42^\\circ}{2} = 69^\\circ\\). Wynik procedury jest poprawny - ale wejście jest błędne! |
⚠️ Uwaga: Kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany. To najczęstsze źródło błędu - prowadzi prosto do odpowiedzi D (69°), która wygląda bardzo „maturalnie".\n
⚠️ Uwaga: \\(S\\) to środek okręgu, nie wierzchołek trójkąta na okręgu. Nie mylić trójkąta \\(ASB\\) (gdzie \\(S\\) = środek) z kątem wpisanym przy wierzchołku \\(B\\) lub \\(A\\).\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź zawsze, czy wyznaczony kąt jest faktycznie ostry - zadanie pyta o „kąt ostry \\(BAS\\)". Gdyby wyszło \\(90^\\circ\\) lub więcej, szukalibyśmy dopełnienia do \\(180^\\circ\\).\n
Poprawna odpowiedź: C
\nKąt wpisany \\(\\angle ACB = 42^\\circ\\) oparty na łuku \\(AB\\). Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 2\\cdot 42^\\circ = 84^\\circ\\).
Trójkąt \\(ASB\\) jest równoramienny (\\(|SA|=|SB|=r\\)), więc \\(\\angle SAB = \\angle SBA = \\tfrac{180^\\circ - 84^\\circ}{2} = 48^\\circ\\).
Z rysunku: \\(S\\) jest wewnątrz trójkąta, \\(BS\\) to promień rozciągnięty na średnicę. Trójkąt \\(ASB\\): \\(48^\\circ+48^\\circ+84^\\circ=180^\\circ\\) ✓.
\nTrik: kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany (oparte na tym samym łuku).
\nPoprawna odpowiedź: C
\nW trójkącie ABC wpisanym w okrąg, kąt ACB jest kątem wpisanym. Kąt środkowy, oparty na tym samym łuku AB, jest dwa razy większy od kąta wpisanego. Zatem:
\\[ \\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42^{\\circ} = 84^{\\circ} \\]
Kąt ostry BAS to kąt między promieniem AS a promieniem BS. Jest to kąt wpisany, który opiera się na łuku AB. Zatem:
\\[ \\angle BAS = \\frac{1}{2} \\angle AOB = \\frac{1}{2} \\cdot 84^{\\circ} = 42^{\\circ} \\]
📖 Karta wzorów: [s.19] (Wycinek), strona 19
\nKąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku. W tym przypadku:
\\[ \\angle ACB = \\frac{1}{2} \\angle AOB \\]
Zatem:
\\[ \\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42^{\\circ} = 84^{\\circ} \\]
Kąt BAS to kąt ostry, który jest kątem między promieniem AS a promieniem BS. Jest to kąt wpisany, który opiera się na łuku AB. Zatem:
\\[ \\angle BAS = \\frac{1}{2} \\angle AOB = \\frac{1}{2} \\cdot 84^{\\circ} = 42^{\\circ} \\]
📖 Karta wzorów: [s.19] (Wycinek), strona 19
\nKluczowe jest zrozumienie związku między kątem wpisanym a kątem środkowym opartym na tym samym łuku.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, punkt przecięcia okręgu i zaznaczonej półprostej $AS$ oznacz punktem $D$. Zauważ, że trójkąt $ABD$ jest prostokątny (odcinek $AD$ jest średnicą okręgu), oraz że kąt $\\sphericalangle ADB$ ma miarę równą kątowi $\\sphericalangle ACB$ (są to kąty wpisane oparte na tych samych łukach). Korzystając, że suma miar kątów w trójkącie to $180^\\circ$ dostajemy:
$\\sphericalangle BAS=180^\\circ-90^\\circ-42^\\circ=48^\\circ$
Kąt wpisany ACB ma miarę 42^° , więc oparty na tym samym łuku kąt środkowy:
\n∠ ASB=2·42^°=84^°.
\nTrójkąt ASB jest równoramienny, ponieważ SA=SB .
Zatem kąty przy podstawie mają miarę:
(180^°-84^°)/(2)=48^°.
"}]}