{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (𝑚+ 1)𝑥+ 7\n𝑙: 𝑦= -2𝑥+ 7\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są prostopadłe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-1\n2)\nB. 1\n2\nC. (-3)\nD. 1\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n42°\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(m+1)x+7 l: y=-2x+7. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa A. (-1/2) B. 1/2 C. (-3) D. 1","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nprostopadłość do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWarunek prostopadłości prostych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej $y = a_1 x + b_1$ oraz $y = a_2 x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n$$a_1 \\cdot a_2 = -1$$\n\n(iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$).\n\nWarto pamiętać dla porównania: są równoległe, gdy $a_1 = a_2$ (równe współczynniki, a nie iloczyn).\n\nZidentyfikuj współczynniki kierunkowe.\n\n- Prosta $k$: $a_1 = m + 1$\n- Prosta $l$: $a_2 = -2$\n\nZastosuj warunek prostopadłości.\n\n$$(m + 1) \\cdot (-2) = -1$$\n\nRozwiąż równanie.\n\n$$-2(m + 1) = -1$$\n\n$$-2m - 2 = -1$$\n\n$$-2m = 1$$\n\n$$m = -\\frac{1}{2}$$\n\nSprawdzenie\n\nDla $m = -\\tfrac{1}{2}$: prosta $k$ ma współczynnik $a_1 = -\\tfrac{1}{2} + 1 = \\tfrac{1}{2}$. Iloczyn: $\\tfrac{1}{2} \\cdot (-2) = -1$ ✓. Prostopadłość spełniona.\n\nKlucz uniwersalny\n\nCztery typowe warunki dla par prostych $y = a_1 x + b_1$ oraz $y = a_2 x + b_2$:\n\nRelacja | Warunek\nRównoległe | $a_1 = a_2$ i $b_1 \\neq b_2$\nPokrywają się | $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$\nProstopadłe | $a_1 \\cdot a_2 = -1$\nPrzecinają się | $a_1 \\neq a_2$\n\nKażde zadanie z parą prostych w postaci kierunkowej sprowadza się do tej tabelki + arytmetyki na $a$ i $b$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie warunku prostopadłości (iloczyn współczynników = −1) z warunkiem równoległości (współczynniki są EQUAL). Drugi błąd: pomyłka znaku przy rozwiązaniu równania (m + 1) · (−2) = −1.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"geometria analityczna, prostopadłość prostych, Funkcja liniowa, analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami
𝑘: 𝑦= (𝑚+ 1)𝑥+ 7
𝑙: 𝑦= -2𝑥+ 7
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste 𝑘 oraz 𝑙 są prostopadłe, gdy liczba 𝑚 jest równa
A. (-1
2)
B. 1
2
C. (-3)
D. 1
𝐴
𝐵
𝐶
𝑆
42°

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(m+1)x+7 l: y=-2x+7. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa A. (-1/2) B. 1/2 C. (-3) D. 1

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
IX.2) posługuje się równaniem prostej na
płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym
wyznacza równanie prostej o zadanych
własnościach (takich jak na przykład […]
prostopadłość do innej prostej […]).
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
C
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: A

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Warunek prostopadłości prostych

\n

Dwie proste w postaci kierunkowej $y = a_1 x + b_1$ oraz $y = a_2 x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

\n

$$a_1 \\cdot a_2 = -1$$

\n

(iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$).

\n

Warto pamiętać dla porównania: są równoległe, gdy $a_1 = a_2$ (równe współczynniki, a nie iloczyn).

\n

Zidentyfikuj współczynniki kierunkowe.

\n\n

Zastosuj warunek prostopadłości.

\n

$$(m + 1) \\cdot (-2) = -1$$

\n

Rozwiąż równanie.

\n

$$-2(m + 1) = -1$$

\n

$$-2m - 2 = -1$$

\n

$$-2m = 1$$

\n

$$m = -\\frac{1}{2}$$

\n

Sprawdzenie

\n

Dla $m = -\\tfrac{1}{2}$: prosta $k$ ma współczynnik $a_1 = -\\tfrac{1}{2} + 1 = \\tfrac{1}{2}$. Iloczyn: $\\tfrac{1}{2} \\cdot (-2) = -1$ ✓. Prostopadłość spełniona.

\n

Klucz uniwersalny

\n

Cztery typowe warunki dla par prostych $y = a_1 x + b_1$ oraz $y = a_2 x + b_2$:

\n

Relacja | Warunek
Równoległe | $a_1 = a_2$ i $b_1 \\neq b_2$
Pokrywają się | $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$
Prostopadłe | $a_1 \\cdot a_2 = -1$
Przecinają się | $a_1 \\neq a_2$

\n

Każde zadanie z parą prostych w postaci kierunkowej sprowadza się do tej tabelki + arytmetyki na $a$ i $b$.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie warunku prostopadłości (iloczyn współczynników = −1) z warunkiem równoległości (współczynniki są EQUAL). Drugi błąd: pomyłka znaku przy rozwiązaniu równania (m + 1) · (−2) = −1.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(m = -\\dfrac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Warunek prostopadłości (iloczyn współczynników kierunkowych)

\n

Dwie proste o równaniach kierunkowych \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]

\n

Wypisujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:

\n\n

Podstawiamy do warunku prostopadłości:
\\[(m+1) \\cdot (-2) = -1\\]
\\[-2m - 2 = -1\\]
\\[-2m = 1\\]
\\[m = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Odpowiedź: \\(m = -\\dfrac{1}{2}\\), czyli A.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez kąt między prostymi

\n

Jeśli dwie proste są prostopadłe, to ich kierunki (wektory kierunkowe) są wzajemnie prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny wynosi zero.

\n

Wektor kierunkowy prostej o współczynniku kierunkowym \\(a\\) to \\(\\vec{v} = [1, a]\\).

\n\n

Warunek prostopadłości (iloczyn skalarny = 0):
\\[\\vec{v_k} \\cdot \\vec{v_l} = 1 \\cdot 1 + (m+1) \\cdot (-2) = 0\\]
\\[1 - 2(m+1) = 0\\]
\\[1 - 2m - 2 = 0\\]
\\[-2m - 1 = 0\\]
\\[m = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(m = -\\dfrac{1}{2}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]

\n

Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 - wystarczyło przyrównać iloczyn współczynników kierunkowych do \\(-1\\) i rozwiązać proste równanie.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | \\(m + 1 = \\frac{1}{2}\\), czyli \\(a_1 = \\frac{1}{2}\\) - uczeń myśli, że proste prostopadłe mają przeciwne współczynniki zamiast spełniać \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) |
| C | Uczeń wpisuje warunek równoległości \\(m + 1 = -2\\), czyli \\(m = -3\\) - myli prostopadłość z równoległością |
| D | Uczeń oblicza \\(m + 1 = 1\\), np. myśląc o symetrii lub po prostu zgadując |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie \\(a_1 = -a_2\\) ani \\(a_1 = \\frac{1}{a_2}\\). Bardzo łatwo pomylić z równoległością (\\(a_1 = a_2\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(a_1\\) to cały współczynnik przy \\(x\\), czyli \\(m+1\\), nie samo \\(m\\). Pomylenie \\(m\\) z \\(m+1\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Obie proste przechodzą przez punkt \\((0, 7)\\) - to ciekawa obserwacja, ale nie ma wpływu na odpowiedź. Prostopadłość zależy wyłącznie od współczynników kierunkowych, nie od wyrazów wolnych.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Warunek prostopadłości
\n

Dwie proste \\(y=a_1x+b_1\\), \\(y=a_2x+b_2\\) są prostopadłe ⇔ \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).
Tutaj: \\((m+1)\\cdot(-2) = -1 \\Rightarrow m+1 = \\tfrac{1}{2} \\Rightarrow m=-\\tfrac{1}{2}\\).

\n
Sposób 2 - Współczynnik przeciwnej odwrotności
\n

Prostopadła do \\(y=-2x+7\\) ma współczynnik \\(\\tfrac{1}{2}\\). Z \\(m+1=\\tfrac{1}{2}\\) otrzymujemy \\(m=-\\tfrac{1}{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: iloczyn współczynników kierunkowych prostopadłych = \\(-1\\). Zawsze.

\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1: Analiza warunku prostopadłości prostych
\n

Proste k i l są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się -1. Współczynnik kierunkowy prostej k to 1 (z równania y = (m+1)x + 7), a współczynnik kierunkowy prostej l to -2 (z równania y = -2x + 7). Zatem, aby proste były prostopadłe, musimy sprawdzić, czy:

\n

(m+1) * (-2) = -1

\n

-2m - 2 = -1

\n

-2m = 1

\n

m = -1/2

\n
Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na współczynnik kierunkowy
\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(k: y = (m+1)x + 7\\) to \\(m+1\\).
Współczynnik kierunkowy prostej \\(l: y = -2x + 7\\) to -2.
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Zatem:

\n

\\((m+1) * (-2) = -1\\)
\\[m+1 = \\frac{1}{2}\\]
\\[m = \\frac{1}{2} - 1 = -\\frac{1}{2}\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.4, strona 7 (Współczynniki kierunkowe)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W zadaniu pytano o liczbę m, a nie o sam współczynnik kierunkowy. Kluczowe jest, aby zinterpretować "liczbę m" jako parametr, którego wartość wpływa na współczynnik kierunkowy prostej k.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od równania prostej $k$, które jest zapisane w postaci $y = (m + 1)x + 7$. Zauważamy, że współczynnik kierunkowy tej prostej to $m + 1$.\\
\n
  1. Równanie drugiej prostej $l$ to $y = -2x + 7$. Współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi $-2$.\\
\n
  1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$. Dlatego zapisujemy równanie: $$(m + 1) \\cdot (-2) = -1.$$\\
\n
  1. Rozwiązujemy równanie:\\
\n

$$-2(m + 1) = -1.$$\\

\n
  1. Dzielimy obie strony równania przez $-1$: \\
\n

$$2(m + 1) = 1.$$\\

\n
  1. Dzielimy obie strony przez 2: \\
\n

$$m + 1 = \\frac{1}{2}.$$\\

\n
  1. Odejmujemy 1 od obu stron: \\
\n

$$m = \\frac{1}{2} - 1.$$\\

\n
  1. Upraszczamy prawą stronę: \\
\n

$$m = \\frac{1}{2} - \\frac{2}{2} = -\\frac{1}{2}.$$\\

\n
  1. Ostatecznie uzyskujemy: $$m = -\\frac{1}{2}.$$\\
\n

Odpowiedź: Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa $-\\frac{1}{2}$. Dlatego prawidłowa odpowiedź to A.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych spełniają:

\n

a_1a_2=-1.

\n

(m+1)·(-2)=-1.

\n

m+1=(1)/(2),

\n

więc

\n

m=-(1)/(2).

"}]}