{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym\n𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (10, 2). Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają\nsię w punkcie 𝑃= (6, 7).\nOblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.\n24.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A=(-2,6) oraz B=(10,2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P=(6,7). Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.","answer":"|BC|=2√(13)","answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √52.\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (14, 8)\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (2, 12),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4) oraz zapisanie równości\n|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,\nALBO\n- zapisanie równości 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ oraz obliczenie współrzędnych wektorów\n𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = [-8, -1] oraz 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [12, -4],\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa\nkąta (180° -𝛼), gdzie 𝛼= |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz\n|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼= -\n27\n√65⋅√41\n, oraz cos(180° -𝛼) =\n27\n√65⋅√41 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie\nwspółrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość\nodcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej\npunktacji).\n2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie\nwspółrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych\npunktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶, korzystając z przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n-2 + 𝑥𝑐\n2\n= 6 oraz 6 + 𝑦𝑐\n2\n= 7\nZatem 𝐶= (14, 8).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = √(14 -10)2 + (8 -2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13\nSposób II\nPunkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n10 + 𝑥𝑑\n2\n= 6 oraz 2 + 𝑦𝑑\n2\n= 7\nZatem 𝐷= (2, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 -6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13\nSposób III\nObliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵:\n𝑆= (-2 + 10\n2\n, 6 + 2\n2\n)\n𝑆= (4, 4)\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 -6)2 + (4 -7)2 = 2√4 + 9 = 2√13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: |BC| = √52 = 2√13\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo wiemy o równoległoboku?\n\nW równoległoboku $ABCD$ przekątne przecinają się w połowie — punkt $P$ jest jednocześnie środkiem $AC$ i środkiem $BD$.\n\nZ tego natychmiast wynika: znając $A$ i $P$, znajdziemy $C$. Znając $B$ i $P$, znajdziemy $D$.\n\nA skoro w równoległoboku $|BC| = |AD|$ (przeciwległe boki) — możemy obliczyć $|BC|$ na kilka równoważnych sposobów.\n\nSposób I — przez wyznaczenie punktu $C$\n\nWyznacz $C$ ze wzoru na środek odcinka. Jeśli $P = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2},\\ \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right)$, to:\n\n$$\\frac{-2 + x_C}{2} = 6 \\quad\\Rightarrow\\quad x_C = 14$$\n\n$$\\frac{6 + y_C}{2} = 7 \\quad\\Rightarrow\\quad y_C = 8$$\n\nZatem $C = (14, 8)$.\n\nOblicz długość $BC$. $B = (10, 2)$, $C = (14, 8)$.\n\n$$|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$\n\nSposób II — przez wyznaczenie punktu $D$ i równość $|BC| = |AD|$\n\nW równoległoboku $|BC| = |AD|$. Wyznacz $D$ jako symetryczny do $B$ względem $P$:\n\n$$\\frac{10 + x_D}{2} = 6 \\Rightarrow x_D = 2, \\qquad \\frac{2 + y_D}{2} = 7 \\Rightarrow y_D = 12$$\n\nCzyli $D = (2, 12)$. Wtedy:\n\n$$|AD| = \\sqrt{(2 - (-2))^2 + (12 - 6)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$\n\nTen sam wynik — bo $|BC| = |AD|$.\n\nSposób III — przez środek $S$ boku $AB$ (najsprytniejszy)\n\nW trójkącie $ABC$ punkt $P$ leży na środkowej z $C$ — ale dla naszych celów wystarczy obserwacja, że odcinek $PS$ (gdzie $S$ to środek $AB$) jest równoległy do $BC$ i ma połowę jego długości (linia środkowa w trójkącie):\n\nŚrodek $AB$: $S = \\left(\\dfrac{-2 + 10}{2}, \\dfrac{6 + 2}{2}\\right) = (4, 4)$.\n\n$$|PS| = \\sqrt{(4 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}$$\n\n$$|BC| = 2 \\cdot |PS| = 2\\sqrt{13}$$\n\nPunktacja\n\n- 1 pkt — wyznaczenie $C = (14, 8)$ (albo $D = (2, 12)$, albo środka $S = (4, 4)$, albo wektorów $\\vec{CB}$).\n- 2 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie $|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$.\n\nTrzy równoważne ścieżki — wybierz dowolną. Sprytniejsza (sposób III) wymaga mniej rachunku, ale wymaga zauważenia linii środkowej.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli przy korzystaniu z punktów kratowych BŁĘDNIE zaznaczysz w układzie A, B, C, P i na tej podstawie obliczysz |BC| — dostajesz 0 punktów. Lepiej liczyć ze wzorów (środek odcinka), nie z odczytu z kratki.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"geometria analityczna, równoległobok, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-2)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym<br>𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (10, 2). Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają<br>się w punkcie 𝑃= (6, 7).<br>Oblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.<br>24.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A=(-2,6) oraz B=(10,2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P=(6,7). Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>IX.3) oblicza odległość dwóch punktów<br>w układzie współrzędnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √52.<br>1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (14, 8)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (2, 12),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4) oraz zapisanie równości</li></ul>\n<p>|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ oraz obliczenie współrzędnych wektorów</li></ul>\n<p>𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = [-8, -1] oraz 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [12, -4],<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa</li></ul>\n<p>kąta (180° -𝛼), gdzie 𝛼= |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz<br>|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼= -<br>27<br>√65⋅√41<br>, oraz cos(180° -𝛼) =<br>27<br>√65⋅√41 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie</li></ol>\n<p>współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość<br>odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej<br>punktacji).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie</li></ol>\n<p>współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych<br>punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 1 punkt za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶, korzystając z przybliżonych wartości funkcji</li></ol>\n<p>trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka<br>otrzymujemy<br>-2 + 𝑥𝑐<br>2<br>= 6 oraz 6 + 𝑦𝑐<br>2<br>= 7<br>Zatem 𝐶= (14, 8).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:<br>|𝐵𝐶| = √(14 -10)2 + (8 -2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13<br>Sposób II<br>Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka<br>otrzymujemy<br>10 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 6 oraz 2 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 7<br>Zatem 𝐷= (2, 12).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:<br>|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 -6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13<br>Sposób III<br>Obliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑆= (-2 + 10<br>2<br>, 6 + 2<br>2<br>)<br>𝑆= (4, 4)<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:<br>|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 -6)2 + (4 -7)2 = 2√4 + 9 = 2√13<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: |BC| = √52 = 2√13</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Co wiemy o równoległoboku?</p>\n<p>W równoległoboku $ABCD$ przekątne przecinają się w połowie — punkt $P$ jest jednocześnie środkiem $AC$ i środkiem $BD$.</p>\n<p>Z tego natychmiast wynika: znając $A$ i $P$, znajdziemy $C$. Znając $B$ i $P$, znajdziemy $D$.</p>\n<p>A skoro w równoległoboku $|BC| = |AD|$ (przeciwległe boki) — możemy obliczyć $|BC|$ na kilka równoważnych sposobów.</p>\n<p>Sposób I — przez wyznaczenie punktu $C$</p>\n<p>Wyznacz $C$ ze wzoru na środek odcinka. Jeśli $P = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2},\\ \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right)$, to:</p>\n<p>$$\\frac{-2 + x_C}{2} = 6 \\quad\\Rightarrow\\quad x_C = 14$$</p>\n<p>$$\\frac{6 + y_C}{2} = 7 \\quad\\Rightarrow\\quad y_C = 8$$</p>\n<p>Zatem $C = (14, 8)$.</p>\n<p>Oblicz długość $BC$. $B = (10, 2)$, $C = (14, 8)$.</p>\n<p>$$|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$</p>\n<p>Sposób II — przez wyznaczenie punktu $D$ i równość $|BC| = |AD|$</p>\n<p>W równoległoboku $|BC| = |AD|$. Wyznacz $D$ jako symetryczny do $B$ względem $P$:</p>\n<p>$$\\frac{10 + x_D}{2} = 6 \\Rightarrow x_D = 2, \\qquad \\frac{2 + y_D}{2} = 7 \\Rightarrow y_D = 12$$</p>\n<p>Czyli $D = (2, 12)$. Wtedy:</p>\n<p>$$|AD| = \\sqrt{(2 - (-2))^2 + (12 - 6)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$</p>\n<p>Ten sam wynik — bo $|BC| = |AD|$.</p>\n<p>Sposób III — przez środek $S$ boku $AB$ (najsprytniejszy)</p>\n<p>W trójkącie $ABC$ punkt $P$ leży na środkowej z $C$ — ale dla naszych celów wystarczy obserwacja, że odcinek $PS$ (gdzie $S$ to środek $AB$) jest równoległy do $BC$ i ma połowę jego długości (linia środkowa w trójkącie):</p>\n<p>Środek $AB$: $S = \\left(\\dfrac{-2 + 10}{2}, \\dfrac{6 + 2}{2}\\right) = (4, 4)$.</p>\n<p>$$|PS| = \\sqrt{(4 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}$$</p>\n<p>$$|BC| = 2 \\cdot |PS| = 2\\sqrt{13}$$</p>\n<p>Punktacja</p>\n<ul><li>1 pkt — wyznaczenie $C = (14, 8)$ (albo $D = (2, 12)$, albo środka $S = (4, 4)$, albo wektorów $\\vec{CB}$).</li><li>2 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie $|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$.</li></ul>\n<p>Trzy równoważne ścieżki — wybierz dowolną. Sprytniejsza (sposób III) wymaga mniej rachunku, ale wymaga zauważenia linii środkowej.</p>\n<p>Typowy błąd: CKE wprost: jeśli przy korzystaniu z punktów kratowych BŁĘDNIE zaznaczysz w układzie A, B, C, P i na tej podstawie obliczysz |BC| — dostajesz 0 punktów. Lepiej liczyć ze wzorów (środek odcinka), nie z odczytu z kratki.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka C ze środka przekątnej</h4>\n<p><strong>Kluczowa własność równoległoboku:</strong> przekątne równoległoboku przecinają się w połowie - punkt \\(P\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy współrzędne C.</strong></p>\n<p>Skoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\), a \\(A = (-2, 6)\\):</p>\n<p>\\[x_P = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 6 = \\frac{-2 + x_C}{2} \\implies x_C = 14\\]</p>\n<p>\\[y_P = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 7 = \\frac{6 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]</p>\n<p>Zatem \\(C = (14, 8)\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy długość boku BC.</strong></p>\n<p>Mamy \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):</p>\n<p>\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]</p>\n<p>\\[|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2}\\]</p>\n<p>\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{|BC| = 2\\sqrt{13}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez bok AD</h4>\n<p>Sprawdzimy wynik, korzystając z tego, że w równoległoboku \\(|AD| = |BC|\\).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy D ze środka przekątnej BD.</strong></p>\n<p>Skoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem odcinka \\(BD\\), a \\(B = (10, 2)\\):</p>\n<p>\\[6 = \\frac{10 + x_D}{2} \\implies x_D = 2\\]</p>\n<p>\\[7 = \\frac{2 + y_D}{2} \\implies y_D = 12\\]</p>\n<p>Zatem \\(D = (2, 12)\\).</p>\n<p><strong>Obliczamy \\(|AD|\\).</strong></p>\n<p>Mamy \\(A = (-2, 6)\\) i \\(D = (2, 12)\\):</p>\n<p>\\[|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<p>Rzeczywiście \\(|AD| = |BC| = 2\\sqrt{13}\\) - wynik zgodny. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Wzór na długość odcinka o końcach \\(A(x_A, y_A)\\) i \\(B(x_B, y_B)\\):<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy tego do obliczenia \\(|BC|\\) i weryfikacji \\(|AD|\\).</p>\n<p>Wzór na środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy tego do wyznaczenia \\(C\\) i \\(D\\) - kluczowy krok rozwiązania.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Własność środka przekątnych dotyczy WYŁĄCZNIE równoległoboków. W trapezie czy dowolnym czworokącie przekątne nie muszą się dzielić na połowy - nie zakładaj tego automatycznie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić, który wierzchołek wyznaczamy. Punkt \\(P\\) jest środkiem \\(AC\\) (nie \\(AB\\)!) - to wynika z kolejności liter \\(ABCD\\) (przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{52}\\) można i należy uprościć: \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\). Zostawienie odpowiedzi jako \\(\\sqrt{52}\\) jest formalnie poprawne, ale uproszczona postać jest oczekiwana w rozwiązaniach maturalnych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Środek przekątnej \\(AC\\)</h5>\n<p>Punkt \\(P\\) jest środkiem \\(AC\\) (w równoległoboku przekątne przecinają się w środkach).<br>\\[P=\\Bigl(\\tfrac{-2+x_C}{2},\\ \\tfrac{6+y_C}{2}\\Bigr)=(6,7) \\Rightarrow x_C=14,\\ y_C=8.\\]<br>Stąd \\(C=(14,8)\\) i<br>\\[|BC|=\\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\\sqrt{16+36}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z punktu \\(D\\) i własności \\(|BC|=|AD|\\)</h5>\n<p>\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\): \\(x_D=2\\), \\(y_D=12\\). Stąd \\(D=(2,12)\\) i<br>\\[|BC|=|AD|=\\sqrt{(2-(-2))^2+(12-6)^2}=\\sqrt{16+36}=2\\sqrt{13}.\\]</p>\n<h5>Sposób 3 - Dwukrotność odcinka \\(PS\\)</h5>\n<p>Środek \\(AB\\): \\(S=\\bigl(\\tfrac{-2+10}{2},\\tfrac{6+2}{2}\\bigr)=(4,4)\\). Wektor \\(PS\\) = połowa \\(BC\\), więc \\(|BC|=2|PS|=2\\sqrt{(6-4)^2+(7-4)^2}=2\\sqrt{13}\\).</p>\n<h5>Dlaczego uważać</h5>\n<ul><li>Nie pomylić \\(B\\) i \\(D\\) w przekątnej - \\(BD\\neq BC\\).</li><li>Pomylenie nazw wierzchołków (kolejność \\(ABCD\\) idzie po obwodzie!) → 0 pkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w równoległoboku \\(\\vec{AP}=\\vec{PC}\\) - jeden z najszybszych sposobów.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc punkt P=(6,7) jest środkiem odcinka AC .</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:</p>\n<p>P= ((x_A+x_C)/(2),(y_A+y_C)/(2) ).</p>\n<p>Dla A=(-2,6) otrzymujemy:</p>\n<p>((-2+x_C)/(2),(6+y_C)/(2) )=(6,7).</p>\n<p>Porównujemy współrzędne:</p>\n<p>(-2+x_C)/(2)=6<br>⇒ -2+x_C=12<br>⇒ x_C=14,</p>\n<p>(6+y_C)/(2)=7<br>⇒ 6+y_C=14<br>⇒ y_C=8.</p>\n<p>Zatem C=(14,8) . Obliczamy długość boku BC , gdzie B=(10,2) :</p>\n<p>|BC|=√((14-10)^2+(8-2)^2)<br>=√(4^2+6^2)<br>=√(52)<br>=2√(13).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|BC| = \\\\sqrt{52}$</p>"}]}