{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.\nWysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).\nPole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3.\nWysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 36√10 B. 60 C. 6√10 D. 360","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: 25.1: C — 6√10 | 25.2: D — kąt między najdłuższą przekątną podstawy a przekątną 3D do przeciwległego górnego wierzchołka\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co to znaczy „prawidłowy sześciokątny\"?\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny (regularny — wszystkie boki i kąty równe).\n\nPole sześciokąta foremnego o boku $a$:\n\n$$P_{\\text{podst}} = 6 \\cdot \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2 \\sqrt{3}}{2}$$\n\n(bo sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $a$).\n\nŚciana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt o wymiarach $a \\times h$, więc jej pole to $a \\cdot h$.\n\nWyznacz bok $a$ z pola podstawy.\n\n$$\\frac{3a^2 \\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3}$$\n\nPomnóż obie strony przez $2$:\n\n$$3a^2 \\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}$$\n\nPodziel przez $3\\sqrt{3}$:\n\n$$a^2 = 10 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt{10}$$\n\nOblicz pole ściany bocznej.\n\n$$P_{\\text{boczna}} = a \\cdot h = \\sqrt{10} \\cdot 6 = 6\\sqrt{10}$$\n\nKlucz — wzór na sześciokąt foremny\n\nNajprościej zapamiętać: sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych.\n\nTrójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$. Sześciokąt: $6 \\cdot \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{3 a^2 \\sqrt{3}}{2}$.\n\nTen wzór jest też w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, ale na sześciokącie foremnym pojawia się co drugą sesję matury — warto go mieć w głowie.\n\n25.2 — kąt nachylenia najdłuższej przekątnej (1 pkt)\n\nPytanie: który z rysunków A–D pokazuje poprawnie zaznaczony kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy?\n\nKrok 1 — która przekątna jest najdłuższa?\n\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy trzy rodzaje przekątnych przestrzennych (łączących wierzchołek dolnej i górnej podstawy, niesąsiednich):\n\nRodzaj | Rzut na podstawę | Długość rzutu | Długość przekątnej 3D\nkrótka | bok | $a$ | $\\sqrt{a^2 + h^2}$\nśrednia | przekątna „przez 1 wierzchołek\" | $a\\sqrt{3}$ | $\\sqrt{3a^2 + h^2}$\ndługa | najdłuższa przekątna sześciokąta (przez środek) | $2a$ | $\\sqrt{4a^2 + h^2}$\n\nNajdłuższa to ta, której rzut na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego — czyli odcinek między dwoma przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta (przechodzący przez środek). Ma długość $2a$.\n\nW naszym graniastosłupie: $a = \\sqrt{10}$, $h = 6$, więc najdłuższa przekątna 3D ma długość $\\sqrt{4 \\cdot 10 + 36} = \\sqrt{76}$.\n\nKrok 2 — kąt nachylenia do płaszczyzny\n\nKąt nachylenia odcinka do płaszczyzny to kąt między odcinkiem a jego rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę.\n\nRzut najdłuższej przekątnej 3D na podstawę = najdłuższa przekątna sześciokąta (odcinek długości $2a$ łączący dwa przeciwległe wierzchołki dolnej podstawy).\n\nZatem szukany kąt znajduje się w dolnej podstawie, między:\n\n- najdłuższą przekątną podstawy (idącą od jednego wierzchołka do przeciwległego), oraz\n- przekątną 3D (idącą od tego samego wierzchołka w górę i ukośnie do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy).\n\nKrok 3 — który rysunek to pokazuje?\n\nSpośród czterech rysunków szukamy tego, na którym:\n\n1. Przekątna 3D startuje z wierzchołka dolnej podstawy i kończy się w wierzchołku przeciwległym górnej podstawy (przechodzi przez „środek\" bryły).\n2. Kąt zaznaczony przy wierzchołku dolnym jest między tą przekątną a przekątną dolnej podstawy (najdłuższą — idącą od tego wierzchołka do wierzchołka przeciwległego dolnej podstawy).\n\nTo rysunek D.\n\nKlucz — kąt nachylenia prostej do płaszczyzny\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Wybierz prostą (tu: najdłuższą przekątną 3D).\n2. Wyznacz jej rzut prostopadły na płaszczyznę (tu: rzutem jest najdłuższa przekątna podstawy).\n3. Kąt nachylenia to kąt między prostą a jej rzutem — leży w płaszczyźnie, jeden z jego ramion to rzut, drugi to sama prosta.\n\nTe trzy kroki są właściwe dla każdego zadania o kącie nachylenia — w graniastosłupach, ostrosłupach, czy stożku.\n\nTypowy błąd: W 25.1: liczenie boku z pola sześciokąta jako P = 6a² zamiast P = 6 · (a²√3/4). W 25.2: pomyłka — która przekątna jest \"najdłuższa\" w graniastosłupie sześciokątnym (musi łączyć WIERZCHOŁKI PRZECIWLEGŁE przez środek bryły).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria, graniastosłup prawidłowy sześciokątny","page_from":22,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25.<br>Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).<br>Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3.<br>Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 36√10 B. 60 C. 6√10 D. 360</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: 25.1: C — 6√10 | 25.2: D — kąt między najdłuższą przekątną podstawy a przekątną 3D do przeciwległego górnego wierzchołka</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Klucz — co to znaczy „prawidłowy sześciokątny&quot;?</p>\n<p>Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny (regularny — wszystkie boki i kąty równe).</p>\n<p>Pole sześciokąta foremnego o boku $a$:</p>\n<p>$$P_{\\text{podst}} = 6 \\cdot \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2 \\sqrt{3}}{2}$$</p>\n<p>(bo sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $a$).</p>\n<p>Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt o wymiarach $a \\times h$, więc jej pole to $a \\cdot h$.</p>\n<p>Wyznacz bok $a$ z pola podstawy.</p>\n<p>$$\\frac{3a^2 \\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Pomnóż obie strony przez $2$:</p>\n<p>$$3a^2 \\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Podziel przez $3\\sqrt{3}$:</p>\n<p>$$a^2 = 10 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt{10}$$</p>\n<p>Oblicz pole ściany bocznej.</p>\n<p>$$P_{\\text{boczna}} = a \\cdot h = \\sqrt{10} \\cdot 6 = 6\\sqrt{10}$$</p>\n<p>Klucz — wzór na sześciokąt foremny</p>\n<p>Najprościej zapamiętać: sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych.</p>\n<p>Trójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$. Sześciokąt: $6 \\cdot \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{3 a^2 \\sqrt{3}}{2}$.</p>\n<p>Ten wzór jest też w „Wybranych wzorach matematycznych&quot; CKE, ale na sześciokącie foremnym pojawia się co drugą sesję matury — warto go mieć w głowie.</p>\n<p>25.2 — kąt nachylenia najdłuższej przekątnej (1 pkt)</p>\n<p>Pytanie: który z rysunków A–D pokazuje poprawnie zaznaczony kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy?</p>\n<p>Krok 1 — która przekątna jest najdłuższa?</p>\n<p>W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy trzy rodzaje przekątnych przestrzennych (łączących wierzchołek dolnej i górnej podstawy, niesąsiednich):</p>\n<p>Rodzaj | Rzut na podstawę | Długość rzutu | Długość przekątnej 3D<br>krótka | bok | $a$ | $\\sqrt{a^2 + h^2}$<br>średnia | przekątna „przez 1 wierzchołek&quot; | $a\\sqrt{3}$ | $\\sqrt{3a^2 + h^2}$<br>długa | najdłuższa przekątna sześciokąta (przez środek) | $2a$ | $\\sqrt{4a^2 + h^2}$</p>\n<p>Najdłuższa to ta, której rzut na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego — czyli odcinek między dwoma przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta (przechodzący przez środek). Ma długość $2a$.</p>\n<p>W naszym graniastosłupie: $a = \\sqrt{10}$, $h = 6$, więc najdłuższa przekątna 3D ma długość $\\sqrt{4 \\cdot 10 + 36} = \\sqrt{76}$.</p>\n<p>Krok 2 — kąt nachylenia do płaszczyzny</p>\n<p>Kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny to kąt między odcinkiem a jego rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę.</p>\n<p>Rzut najdłuższej przekątnej 3D na podstawę = najdłuższa przekątna sześciokąta (odcinek długości $2a$ łączący dwa przeciwległe wierzchołki dolnej podstawy).</p>\n<p>Zatem szukany kąt znajduje się w dolnej podstawie, między:</p>\n<ul><li>najdłuższą przekątną podstawy (idącą od jednego wierzchołka do przeciwległego), oraz</li><li>przekątną 3D (idącą od tego samego wierzchołka w górę i ukośnie do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy).</li></ul>\n<p>Krok 3 — który rysunek to pokazuje?</p>\n<p>Spośród czterech rysunków szukamy tego, na którym:</p>\n<ol><li>Przekątna 3D startuje z wierzchołka dolnej podstawy i kończy się w wierzchołku przeciwległym górnej podstawy (przechodzi przez „środek&quot; bryły).</li><li>Kąt zaznaczony przy wierzchołku dolnym jest między tą przekątną a przekątną dolnej podstawy (najdłuższą — idącą od tego wierzchołka do wierzchołka przeciwległego dolnej podstawy).</li></ol>\n<p>To rysunek D.</p>\n<p>Klucz — kąt nachylenia prostej do płaszczyzny</p>\n<p>Procedura uniwersalna:</p>\n<ol><li>Wybierz prostą (tu: najdłuższą przekątną 3D).</li><li>Wyznacz jej rzut prostopadły na płaszczyznę (tu: rzutem jest najdłuższa przekątna podstawy).</li><li>Kąt nachylenia to kąt między prostą a jej rzutem — leży w płaszczyźnie, jeden z jego ramion to rzut, drugi to sama prosta.</li></ol>\n<p>Te trzy kroki są właściwe dla każdego zadania o kącie nachylenia — w graniastosłupach, ostrosłupach, czy stożku.</p>\n<p>Typowy błąd: W 25.1: liczenie boku z pola sześciokąta jako P = 6a² zamiast P = 6 · (a²√3/4). W 25.2: pomyłka — która przekątna jest &quot;najdłuższa&quot; w graniastosłupie sześciokątnym (musi łączyć WIERZCHOŁKI PRZECIWLEGŁE przez środek bryły).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(376\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi i wzór na pole</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczenie długości krawędzi.</strong></p>\n<p>Trzy krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka to trzy kolejne parzyste liczby naturalne, a najdłuższa ma długość \\(10\\).</p>\n<p>Kolejne parzyste liczby naturalne kończące się na \\(10\\):<br>\\[a = 6, \\quad b = 8, \\quad c = 10\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczenie pola powierzchni całkowitej.</strong></p>\n<p>Ze wzoru na pole prostopadłościanu:<br>\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[ab = 6 \\cdot 8 = 48\\]<br>\\[bc = 8 \\cdot 10 = 80\\]<br>\\[ca = 10 \\cdot 6 = 60\\]</p>\n<p>\\[P_c = 2(48 + 80 + 60) = 2 \\cdot 188 = \\mathbf{376}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie każdej ściany osobno</h4>\n<p>Prostopadłościan ma 6 ścian: trzy pary prostokątów.</p>\n<p>| Para ścian | Wymiary | Pole jednej | Łącznie |<br>| Dwie ściany \\(a \\times b\\) | \\(6 \\times 8\\) | \\(48\\) | \\(96\\) |<br>| Dwie ściany \\(b \\times c\\) | \\(8 \\times 10\\) | \\(80\\) | \\(160\\) |<br>| Dwie ściany \\(a \\times c\\) | \\(6 \\times 10\\) | \\(60\\) | \\(120\\) |</p>\n<p>\\[P_c = 96 + 160 + 120 = \\mathbf{376}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)</strong> - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:<br>\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]<br>gdzie \\(a, b, c\\) to długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka. Tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B: \\(466\\) | Przyjęcie krawędzi \\(8, 9, 10\\) - ale \\(9\\) nie jest liczbą <strong>parzystą</strong>. Wtedy \\(2(72 + 90 + 80) = 2 \\cdot 233 = 466\\). |<br>| C: \\(480\\) | Pominięcie mnożenia przez \\(2\\) w jednym składniku, albo wzięcie krawędzi \\(8, 10, 12\\) (gdzie \\(12 \\neq 10\\) jako najdłuższa). Dla \\(8, 10, 12\\): \\(2(80 + 120 + 96) = 592\\) - nie pasuje, ale błąd polega na błędnym wyborze trojki. Inny wariant: policzenie \\(P_c = ab + bc + ca\\) bez mnożenia przez \\(2\\): \\(48+80+60 = 188\\) - nie pasuje. Odpowiedź C to pułapka dla tych, co liczą \\(6 \\cdot 8 \\cdot 10 = 480\\) (czyli <strong>objętość</strong>!). |<br>| D: \\(720\\) | Obliczenie \\(2 \\cdot (6 \\cdot 8 \\cdot 10) = 720\\) - pomylenie wzoru na pole z wzorem na objętość (wymnożenie wszystkich trzech krawędzi). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejne parzyste liczby naturalne to różniące się o \\(2\\), nie o \\(1\\). Nie mylić z kolejnymi <strong>naturalnymi</strong> (różnica \\(1\\)) - to dałoby \\(8, 9, 10\\), gdzie \\(9\\) jest nieparzyste.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D (\\(720\\)) to wynik obliczenia objętości \\(V = 6 \\cdot 8 \\cdot 10\\) zamiast pola powierzchni - klasyczna pomyłka pod presją czasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(P_c = 2(ab + bc + ca)\\) - pamiętaj o czynniku \\(2\\) przed nawiasem (każda para ścian pojawia się dwukrotnie).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Identyfikacja krawędzi + wzór na pole</h5>\n<p>Kolejne parzyste z najdłuższą \\(10\\): \\(6, 8, 10\\).<br>Pole powierzchni: \\(P=2(ab+bc+ca)=2(6\\cdot 8+8\\cdot 10+10\\cdot 6)=2(48+80+60)=2\\cdot 188=376\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Krok po kroku</h5>\n<p>Krawędzie: \\(6,8,10\\). Ściany (po dwie każdej):</p>\n<ul><li>\\(6\\times 8=48\\) → 2 ściany: \\(96\\)</li><li>\\(6\\times 10=60\\) → 2 ściany: \\(120\\)</li><li>\\(8\\times 10=80\\) → 2 ściany: \\(160\\)</li></ul>\n<p>Suma: \\(96+120+160=376\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(466\\)</strong> - brak rozsądnej interpretacji.</li><li><strong>C. \\(480\\)</strong> - błędne krawędzie \\(8,10,12\\) daje \\(2(80+96+120)=592\\); prawdopodobnie inny błąd.</li><li><strong>D. \\(720\\)</strong> - obwód \\(\\times\\) coś? Lub \\(V=480\\) zamiast pola.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(P=2(ab+bc+ca)\\); szukamy trzech kolejnych parzystych kończących się na \\(10\\): \\(6,8,10\\).</p>"}]}