{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/25.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"25.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do\npłaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n\nMMAP-P0_100\nKąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRysunek D poprawnie pokazuje kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy - jest to kąt zawarty między tą przekątną a **jej rzutem na podstawę**, którym jest najdłuższa przekątna sześciokąta.\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna: definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny\n\n**Co to jest kąt nachylenia prostej do płaszczyzny?**\n\nKąt nachylenia prostej \\(\\ell\\) do płaszczyzny \\(\\pi\\) to kąt między prostą \\(\\ell\\) a jej **rzutem prostokątnym** na płaszczyznę \\(\\pi\\).\n\n**Krok 1 - Identyfikacja najdłuższej przekątnej graniastosłupa sześciokątnego.**\n\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie z bokiem \\(a\\) i wysokości \\(h\\):\n\n- Najdłuższa przekątna bryłowa łączy **dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i naprzeciwko siebie** (przez środek sześciokąta).\n- Najdłuższa przekątna podstawy (sześciokąta foremnego) ma długość \\(2a\\) - jest to przekątna przez środek figury łącząca dwa przeciwległe wierzchołki.\n\n**Krok 2 - Wyznaczenie rzutu przekątnej na podstawę.**\n\nRzut najdłuższej przekątnej bryłowej \\(AG'\\) (gdzie \\(A\\) leży w dolnej podstawie, \\(G'\\) - w górnej, po przeciwnej stronie) na płaszczyznę dolnej podstawy to odcinek \\(AG\\) - najdłuższa przekątna sześciokąta o długości \\(2a\\).\n\nTrójkąt \\(AGG'\\) jest **prostokątny**:\n\n\\[\n|AG'|^2 = |AG|^2 + |GG'|^2 = (2a)^2 + h^2\n\\]\n\n**Krok 3 - Kąt nachylenia to kąt przy wierzchołku \\(A\\) w tym trójkącie:**\n\n\\[\n\\tan\\alpha = \\frac{h}{2a}\n\\]\n\ngdzie \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną \\(AG'\\) a jej rzutem \\(AG\\).\n\n**To jest właśnie rysunek D** - kąt zawarty między najdłuższą przekątną bryłową a **najdłuższą przekątną podstawy** (jej rzutem).\n\n## Sposób 2 - Obliczenie wartości kąta (weryfikacja z danymi)\n\nPole podstawy (sześciokąt foremny o boku \\(a\\)):\n\n\\[\nP = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 = 15\\sqrt{3}\n\\]\n\n\\[\na^2 = \\frac{15\\sqrt{3} \\cdot 2}{3\\sqrt{3}} = \\frac{30}{3} = 10 \\implies a = \\sqrt{10}\n\\]\n\nDługość najdłuższej przekątnej podstawy:\n\n\\[\nd = 2a = 2\\sqrt{10}\n\\]\n\nPrzy wysokości \\(h = 6\\):\n\n\\[\n\\tan\\alpha = \\frac{h}{2a} = \\frac{6}{2\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\n\\]\n\n\\[\n\\alpha = \\arctan\\!\\left(\\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\right) \\approx 43{,}5°\n\\]\n\nKąt ten tworzony jest przez najdłuższą przekątną i jej rzut (najdłuższą przekątną podstawy) - **co potwierdza rysunek D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności graniastosłupa:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = O_b \\cdot h\\]\nNie użyto wzoru objętości, ale korzystamy z faktu, że **wysokość graniastosłupa jest prostopadła do podstawy** - to gwarantuje, że rzut przekątnej na podstawę to odcinek w płaszczyźnie sześciokąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria - wielokąty foremne, s. 15)** - pole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a = \\sqrt{10}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{2a}\\]\nUżyliśmy do obliczenia wartości kąta nachylenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co pokazuje rysunek | Błąd |\n| **A** | Kąt między przekątną a **krótszą** przekątną podstawy | Rzut najdłuższej przekątnej bryłowej na podstawę to **najdłuższa** przekątna sześciokąta (\\(2a\\)), a nie krótsza (\\(a\\sqrt{3}\\)). Użycie krótszej przekątnej daje kąt niezwiązany z definicją nachylenia. |\n| **B** | Kąt między **krawędzią boczną** a przekątną ściany bocznej | To zupełnie inny kąt - dotyczy ściany bocznej, a nie całej bryły. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, więc ten kąt nie opisuje nachylenia przekątnej do podstawy. |\n| **C** | Kąt między najdłuższą przekątną a **krawędzią podstawy** | Krawędź podstawy ≠ rzut przekątnej. Rzut przekątnej to odcinek wewnątrz sześciokąta (jego przekątna), a nie krawędź zewnętrzna. Ten kąt nie odpowiada definicji nachylenia do płaszczyzny. |\n| **D ✓** | Kąt między najdłuższą przekątną a jej rzutem (najdłuższa przekątna podstawy) | To jest poprawna definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt z **rzutem prostokątnym** tej prostej, nie z dowolnym odcinkiem w płaszczyźnie. Uczniowie często mylnie mierzą kąt z krawędzią lub krótszą przekątną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość \\(2a\\) (równa średnicy okręgu opisanego), a **nie** \\(a\\sqrt{3}\\) (to jest krótka przekątna). Mylenie tych dwóch wartości prowadzi do wyboru rysunku A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzut przekątnej bryłowej na podstawę leży **wewnątrz** sześciokąta - to jego wewnętrzna przekątna, a nie bok ani krawędź ściany bocznej. Rysunek D pokazuje to poprawnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja kąta prostej i płaszczyzny\nKąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Najdłuższa przekątna graniastosłupa sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (dolny i górny). Jej rzut na podstawę = najdłuższa przekątna podstawy (\\(=2a\\) dla foremnego). Zaznaczony kąt jest między przekątną bryły a jej rzutem w dolnej płaszczyźnie - rysunek D.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A - kąt w podstawie, nie z przekątną bryły.\n- B - wewnątrz ściany bocznej, zły obiekt.\n- C - kąt z krawędzią, nie z rzutem.\n- D - poprawny rzut na podstawę.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKąt nachylenia musi mieć dwa ramiona: samą prostą (przekątną bryły) oraz jej **rzut prostokątny** na płaszczyznę bazową. Jedynie D przedstawia tę konstrukcję.\n\n**Trik:** rzut = „cień\" obiektu na podstawę. Kąt między obiektem a jego cieniem = nachylenie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie kąta nachylenia z wykorzystaniem pola podstawy i wysokości\n1. **Znajdź promień podstawy:** Pole podstawy sześciokąta foremnego wynosi \\(15\\sqrt{3}\\). Wzór na pole sześciokąta foremnego to \\(P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} a^2\\), gdzie *a* to długość boku. Zatem:\n\\[15\\sqrt{3} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} a^2\\]\n\\[a^2 = 10\\]\n\\[a = \\sqrt{10}\\]\nPromień podstawy (a) wynosi \\( \\sqrt{10}\\).\n\n2. **Wykorzystaj wzór na tangens kąta:** Kąt nachylenia (*α*) można obliczyć z tangensa:\n\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{h}{a}\\]\ngdzie *h* to wysokość graniastosłupa (6) a *a* to promień podstawy (\\(\\sqrt{10}\\)). Zatem:\n\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{6}{\\sqrt{10}}\\]\n\\[\\alpha = \\arctan\\left(\\frac{6}{\\sqrt{10}}\\right)\\]\nWartość tego kąta to około 64.85 stopni, co odpowiada opcji C.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα\n\n### Sposób 2: Obliczenie kąta nachylenia z wykorzystaniem wzoru na tangens kąta między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy\n1. **Znajdź długość przekątnej graniastosłupa:** Długość przekątnej graniastosłupa (d) można obliczyć z twierdzenia Pitagorowego:\n\\[d = \\sqrt{h^2 + (2a)^2} = \\sqrt{6^2 + (2\\sqrt{10})^2} = \\sqrt{36 + 40} = \\sqrt{76} = 2\\sqrt{19}\\]\n\n2. **Wykorzystaj wzór na tangens kąta:** Kąt nachylenia (*α*) można obliczyć z tangensa:\n\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{h}{d} = \\frac{6}{2\\sqrt{19}} = \\frac{3}{\\sqrt{19}}\\]\n\\[\\alpha = \\arctan\\left(\\frac{3}{\\sqrt{19}}\\right)\\]\nWartość tego kąta to około 22.2 stopni, co nie odpowiada żadnej z podanych odpowiedzi. To sugeruje, że w pierwszym sposobie, obliczanie promienia podstawy jest kluczowe.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Kąt nachylenia jest znacznie większy niż 60 stopni, co nie jest zgodne z obliczeniami.\n* **B:** Kąt nachylenia jest znacznie większy niż 45 stopni, co nie jest zgodne z obliczeniami.\n* **D:** Kąt nachylenia jest znacznie mniejszy niż 30 stopni, co nie jest zgodne z obliczeniami.\n\nW tym zadaniu kluczowe jest prawidłowe obliczenie promienia podstawy, co pozwala na dokładne określenie kąta nachylenia. Sposób 1 jest bardziej precyzyjny i bezpośrednio wykorzystuje dane z zadania.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-25.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-25.2.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25.2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do
płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku
A.
B.
C.
D.

\n

MMAP-P0_100
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]

","answer_text_html":"

Zadanie 25.2. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
X.2) posługuje się pojęciem kąta między
prostą a płaszczyzną.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-25.2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Rysunek D poprawnie pokazuje kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy - jest to kąt zawarty między tą przekątną a jej rzutem na podstawę, którym jest najdłuższa przekątna sześciokąta.

\n

Sposób 1 - Analiza geometryczna: definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny

\n

Co to jest kąt nachylenia prostej do płaszczyzny?

\n

Kąt nachylenia prostej \\(\\ell\\) do płaszczyzny \\(\\pi\\) to kąt między prostą \\(\\ell\\) a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę \\(\\pi\\).

\n

Krok 1 - Identyfikacja najdłuższej przekątnej graniastosłupa sześciokątnego.

\n

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie z bokiem \\(a\\) i wysokości \\(h\\):

\n\n

Krok 2 - Wyznaczenie rzutu przekątnej na podstawę.

\n

Rzut najdłuższej przekątnej bryłowej \\(AG'\\) (gdzie \\(A\\) leży w dolnej podstawie, \\(G'\\) - w górnej, po przeciwnej stronie) na płaszczyznę dolnej podstawy to odcinek \\(AG\\) - najdłuższa przekątna sześciokąta o długości \\(2a\\).

\n

Trójkąt \\(AGG'\\) jest prostokątny:

\n

\\[
|AG'|^2 = |AG|^2 + |GG'|^2 = (2a)^2 + h^2
\\]

\n

Krok 3 - Kąt nachylenia to kąt przy wierzchołku \\(A\\) w tym trójkącie:

\n

\\[
\\tan\\alpha = \\frac{h}{2a}
\\]

\n

gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną \\(AG'\\) a jej rzutem \\(AG\\).

\n

To jest właśnie rysunek D - kąt zawarty między najdłuższą przekątną bryłową a najdłuższą przekątną podstawy (jej rzutem).

\n

Sposób 2 - Obliczenie wartości kąta (weryfikacja z danymi)

\n

Pole podstawy (sześciokąt foremny o boku \\(a\\)):

\n

\\[
P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 = 15\\sqrt{3}
\\]

\n

\\[
a^2 = \\frac{15\\sqrt{3} \\cdot 2}{3\\sqrt{3}} = \\frac{30}{3} = 10 \\implies a = \\sqrt{10}
\\]

\n

Długość najdłuższej przekątnej podstawy:

\n

\\[
d = 2a = 2\\sqrt{10}
\\]

\n

Przy wysokości \\(h = 6\\):

\n

\\[
\\tan\\alpha = \\frac{h}{2a} = \\frac{6}{2\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}
\\]

\n

\\[
\\alpha = \\arctan\\!\\left(\\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\right) \\approx 43{,}5°
\\]

\n

Kąt ten tworzony jest przez najdłuższą przekątną i jej rzut (najdłuższą przekątną podstawy) - co potwierdza rysunek D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - własności graniastosłupa:
\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = O_b \\cdot h\\]
Nie użyto wzoru objętości, ale korzystamy z faktu, że wysokość graniastosłupa jest prostopadła do podstawy - to gwarantuje, że rzut przekątnej na podstawę to odcinek w płaszczyźnie sześciokąta.

\n

Dział 10 (Planimetria - wielokąty foremne, s. 15) - pole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\):
\\[P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a = \\sqrt{10}\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{2a}\\]
Użyliśmy do obliczenia wartości kąta nachylenia.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Co pokazuje rysunek | Błąd |
| A | Kąt między przekątną a krótszą przekątną podstawy | Rzut najdłuższej przekątnej bryłowej na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta (\\(2a\\)), a nie krótsza (\\(a\\sqrt{3}\\)). Użycie krótszej przekątnej daje kąt niezwiązany z definicją nachylenia. |
| B | Kąt między krawędzią boczną a przekątną ściany bocznej | To zupełnie inny kąt - dotyczy ściany bocznej, a nie całej bryły. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, więc ten kąt nie opisuje nachylenia przekątnej do podstawy. |
| C | Kąt między najdłuższą przekątną a krawędzią podstawy | Krawędź podstawy ≠ rzut przekątnej. Rzut przekątnej to odcinek wewnątrz sześciokąta (jego przekątna), a nie krawędź zewnętrzna. Ten kąt nie odpowiada definicji nachylenia do płaszczyzny. |
| D ✓ | Kąt między najdłuższą przekątną a jej rzutem (najdłuższa przekątna podstawy) | To jest poprawna definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt z rzutem prostokątnym tej prostej, nie z dowolnym odcinkiem w płaszczyźnie. Uczniowie często mylnie mierzą kąt z krawędzią lub krótszą przekątną.
\n
⚠️ Uwaga: Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość \\(2a\\) (równa średnicy okręgu opisanego), a nie \\(a\\sqrt{3}\\) (to jest krótka przekątna). Mylenie tych dwóch wartości prowadzi do wyboru rysunku A.
\n
⚠️ Uwaga: Rzut przekątnej bryłowej na podstawę leży wewnątrz sześciokąta - to jego wewnętrzna przekątna, a nie bok ani krawędź ściany bocznej. Rysunek D pokazuje to poprawnie.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Definicja kąta prostej i płaszczyzny
\n

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Najdłuższa przekątna graniastosłupa sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (dolny i górny). Jej rzut na podstawę = najdłuższa przekątna podstawy (\\(=2a\\) dla foremnego). Zaznaczony kąt jest między przekątną bryły a jej rzutem w dolnej płaszczyźnie - rysunek D.

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

Kąt nachylenia musi mieć dwa ramiona: samą prostą (przekątną bryły) oraz jej rzut prostokątny na płaszczyznę bazową. Jedynie D przedstawia tę konstrukcję.

\n

Trik: rzut = „cień" obiektu na podstawę. Kąt między obiektem a jego cieniem = nachylenie.

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie kąta nachylenia z wykorzystaniem pola podstawy i wysokości
\n
  1. Znajdź promień podstawy: Pole podstawy sześciokąta foremnego wynosi \\(15\\sqrt{3}\\). Wzór na pole sześciokąta foremnego to \\(P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} a^2\\), gdzie a to długość boku. Zatem:
\n

\\[15\\sqrt{3} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} a^2\\]
\\[a^2 = 10\\]
\\[a = \\sqrt{10}\\]
Promień podstawy (a) wynosi \\( \\sqrt{10}\\).

\n
  1. Wykorzystaj wzór na tangens kąta: Kąt nachylenia (α) można obliczyć z tangensa:
\n

\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{h}{a}\\]
gdzie h to wysokość graniastosłupa (6) a a to promień podstawy (\\(\\sqrt{10}\\)). Zatem:
\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{6}{\\sqrt{10}}\\]
\\[\\alpha = \\arctan\\left(\\frac{6}{\\sqrt{10}}\\right)\\]
Wartość tego kąta to około 64.85 stopni, co odpowiada opcji C.

\n

📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα

\n
Sposób 2: Obliczenie kąta nachylenia z wykorzystaniem wzoru na tangens kąta między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy
\n
  1. Znajdź długość przekątnej graniastosłupa: Długość przekątnej graniastosłupa (d) można obliczyć z twierdzenia Pitagorowego:
\n

\\[d = \\sqrt{h^2 + (2a)^2} = \\sqrt{6^2 + (2\\sqrt{10})^2} = \\sqrt{36 + 40} = \\sqrt{76} = 2\\sqrt{19}\\]

\n
  1. Wykorzystaj wzór na tangens kąta: Kąt nachylenia (α) można obliczyć z tangensa:
\n

\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{h}{d} = \\frac{6}{2\\sqrt{19}} = \\frac{3}{\\sqrt{19}}\\]
\\[\\alpha = \\arctan\\left(\\frac{3}{\\sqrt{19}}\\right)\\]
Wartość tego kąta to około 22.2 stopni, co nie odpowiada żadnej z podanych odpowiedzi. To sugeruje, że w pierwszym sposobie, obliczanie promienia podstawy jest kluczowe.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

W tym zadaniu kluczowe jest prawidłowe obliczenie promienia podstawy, co pozwala na dokładne określenie kąta nachylenia. Sposób 1 jest bardziej precyzyjny i bezpośrednio wykorzystuje dane z zadania.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

\n

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołek jednej podstawy z odpowiednim przeciwległym wierzchołkiem drugiej podstawy. Jej rzutem na podstawę jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

\n

Tę sytuację przedstawia rysunek D.

"}]}