Zadanie 26. (0-1)
Ostrosłup 𝐹1 jest podobny do ostrosłupa 𝐹2.
Objętość ostrosłupa 𝐹1 jest równa 64.
Objętość ostrosłupa 𝐹2 jest równa 512.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,
aby zdanie było prawdziwe.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹2 do pola powierzchni całkowitej
ostrosłupa 𝐹1 jest równy
Ostrosłup F_1 jest podobny do ostrosłupa F_2. Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 64. Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 512. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy ............. .
Zadanie 26. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
X.5) wykorzystuje zależność między
objętościami graniastosłupów oraz
ostrosłupów podobnych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
4
Odpowiedź: 4
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nKlucz — skale dla brył podobnych
\nJeśli dwie bryły są podobne w skali $k$ (każdy odpowiadający wymiar jest $k$ razy większy), to:
\nTa hierarchia $k$, $k^2$, $k^3$ to fundament wszystkich zadań o bryłach podobnych. Reszta to arytmetyka.
\nWyznacz skalę podobieństwa $k$ ze stosunku objętości.
\n$$\\frac{V_2}{V_1} = k^3 \\quad\\Rightarrow\\quad \\frac{512}{64} = k^3 \\quad\\Rightarrow\\quad k^3 = 8 \\quad\\Rightarrow\\quad k = 2$$
\nWyznacz stosunek pól powierzchni.
\n$$\\frac{P_2}{P_1} = k^2 = 2^2 = 4$$
\nKalkulator pamięciowy
\nGdy widzisz „bryły podobne, stosunek objętości $X$, znajdź stosunek pól" — to zawsze:
\n$$\\frac{P_2}{P_1} = \\left(\\frac{V_2}{V_1}\\right)^{2/3}$$
\nTutaj $\\left(\\dfrac{512}{64}\\right)^{2/3} = 8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$. Ten sam wynik, jedna linijka.
\nPodobnie w drugą stronę: jeśli znasz stosunek pól, to stosunek objętości to $\\left(\\dfrac{P_2}{P_1}\\right)^{3/2}$. A jeśli znasz stosunek długości — wszystko leży na ekspozycjach: $k$, $k^2$, $k^3$.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to przeniesienie stosunku objętości na pola wprost (512/64 = 8 → odpowiedź 8) bez uwzględnienia, że objętości skalują się jak k³, a pola jak k².
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1: Znajdź stosunek objętości
\n\\[\\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}} = \\frac{512}{64} = 8\\]
\nKrok 2: Wyznacz skalę podobieństwa liniowego
\nDla brył podobnych o skali liniowej \\(k\\) objętości mają się jak \\(k^3\\):
\n\\[k^3 = 8\\]
\\[k = \\sqrt[3]{8} = 2\\]
Ostrosłup \\(F_2\\) jest 2 razy większy liniowo od ostrosłupa \\(F_1\\).
\nKrok 3: Wyznacz stosunek pól powierzchni
\nDla brył podobnych pola powierzchni całkowitych mają się jak \\(k^2\\):
\n\\[\\frac{P_c(F_2)}{P_c(F_1)} = k^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]
\nDla brył podobnych zachodzi ogólna zależność między skalą objętości a skalą pól powierzchni.
\nJeżeli \\(\\frac{V_2}{V_1} = k^3\\), to \\(\\frac{P_2}{P_1} = k^2\\), czyli:
\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = \\left(\\frac{V_2}{V_1}\\right)^{\\frac{2}{3}}\\]
\nWstawiamy bezpośrednio:
\n\\[\\frac{P_c(F_2)}{P_c(F_1)} = \\left(\\frac{512}{64}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 8^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{8}\\right)^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]
\nTen wzór pozwala przeskoczyć wyznaczanie \\(k\\) i od razu uzyskać wynik.
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28) - w sekcji o bryłach podobnych (pola figur podobnych analogicznie do działu 10):
\nDla brył podobnych o skali liniowej \\(k\\):
\\[\\frac{V_2}{V_1} = k^3, \\qquad \\frac{P_2}{P_1} = k^2\\]
Dział 10 (Planimetria, s. 21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
Ta zasada przenosi się analogicznie na pola powierzchni brył podobnych.
Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - wykładnik wymierny:
\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2: \\(8^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{8}\\right)^2\\).
⚠️ Uwaga: Stosunek objętości to \\(k^3\\), a stosunek pól to \\(k^2\\) - uczniowie często mylą te wykładniki i odpowiadają \\(8\\) (czyli stosunek objętości) zamiast \\(4\\).\n
⚠️ Uwaga: Pytanie pyta o stosunek \\(F_2\\) do \\(F_1\\), czyli większego do mniejszego - wynik jest większy od 1. Gdyby zapytano odwrotnie, odpowiedź byłaby \\(\\frac{1}{4}\\). Zawsze sprawdź kolejność!\n
⚠️ Uwaga: Przy potęgowaniu \\(8^{\\frac{2}{3}}\\) - pamiętaj, że najpierw bierzesz pierwiastek sześcienny (\\(\\sqrt[3]{8} = 2\\)), a potem podnosisz do kwadratu (\\(2^2 = 4\\)). Odwrotna kolejność da ten sam wynik, ale jest trudniejsza do policzenia w pamięci.\n
Poprawna odpowiedź: \\(4\\)
\nNiech \\(k\\) = skala podobieństwa (\\(F_2:F_1\\)). Wtedy:
\nDla brył podobnych: \\(\\frac{P_2}{P_1} = \\left(\\frac{V_2}{V_1}\\right)^{2/3} = 8^{2/3} = 4\\).
\nTrik: dla brył podobnych: skala\\(^1\\) → długości, skala\\(^2\\) → pola, skala\\(^3\\) → objętości.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Stosunek objętości:
\n(V_2)/(V_1)=(512)/(64)=8.
\nJeżeli skala podobieństwa wynosi k , to:
\nk^3=8 ⇒ k=2.
\nPola powierzchni zmieniają się w skali k^2 , więc:
\n(P_2)/(P_1)=2^2=4.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"4
"}]}