{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nRozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym\nw każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich takich kodów jest równa\nA. 4\nB. 10\nC. 24\nD. 16\n26.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nRozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1,3,6,8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A. 4 B. 10 C. 24 D. 16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C — 24 kody\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo liczymy?\n\nMamy 4 różne cyfry: $\\{1, 3, 6, 8\\}$. Ustawiamy je w czterech pozycjach kodu — każda cyfra pojawia się dokładnie raz. To klasyczna permutacja zbioru 4-elementowego.\n\nSposób I — reguła mnożenia (intuicyjnie)\n\nWybierz cyfrę na pierwszej pozycji. Mamy do dyspozycji wszystkie 4 cyfry. → 4 możliwości.\n\nWybierz cyfrę na drugiej pozycji. Jedna cyfra już użyta (nie może się powtórzyć). → 3 możliwości.\n\nWybierz cyfrę na trzeciej pozycji. Dwie już użyte. → 2 możliwości.\n\nWybierz cyfrę na czwartej pozycji. Trzy już użyte, pozostała jedna. → 1 możliwość.\n\nWymnóż wszystkie wybory (reguła mnożenia):\n\n$$4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24$$\n\nSposób II — wzór na permutacje\n\nLiczba permutacji zbioru $n$-elementowego to $n!$ (silnia $n$). Dla $n = 4$:\n\n$$P_4 = 4! = 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24$$\n\nTen sam wynik — wzór to po prostu skrócona wersja reguły mnożenia.\n\nKlucz na maturze — trzy typy zliczania\n\nSytuacja | Liczba sposobów\nPermutacja $n$ różnych obiektów | $n!$\nWariacje z powtórzeniami ($k$ z $n$) | $n^k$\nWariacje bez powtórzeń ($k$ z $n$) | $\\dfrac{n!}{(n-k)!}$\nKombinacje ($k$ z $n$, bez kolejności) | $\\binom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$\n\nSprawdź: czy kolejność ma znaczenie? Tutaj tak — kod \"1368\" to inny kod niż \"3168\". Czy elementy się powtarzają? Tutaj nie — każda cyfra dokładnie raz. Stąd permutacja, $4! = 24$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie permutacji (4! = 24) z liczbą wariacji z powtórzeniami (4⁴ = 256) lub innym wzorem. Tu KAŻDA cyfra występuje DOKŁADNIE RAZ — to klasyczna permutacja.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka, permutacje","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym<br>w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba wszystkich takich kodów jest równa<br>A. 4<br>B. 10<br>C. 24<br>D. 16<br>26.<br>0-1</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1,3,6,8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A. 4 B. 10 C. 24 D. 16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły<br>mnożenia […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>C<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C — 24 kody</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Co liczymy?</p>\n<p>Mamy 4 różne cyfry: $\\{1, 3, 6, 8\\}$. Ustawiamy je w czterech pozycjach kodu — każda cyfra pojawia się dokładnie raz. To klasyczna permutacja zbioru 4-elementowego.</p>\n<p>Sposób I — reguła mnożenia (intuicyjnie)</p>\n<p>Wybierz cyfrę na pierwszej pozycji. Mamy do dyspozycji wszystkie 4 cyfry. → 4 możliwości.</p>\n<p>Wybierz cyfrę na drugiej pozycji. Jedna cyfra już użyta (nie może się powtórzyć). → 3 możliwości.</p>\n<p>Wybierz cyfrę na trzeciej pozycji. Dwie już użyte. → 2 możliwości.</p>\n<p>Wybierz cyfrę na czwartej pozycji. Trzy już użyte, pozostała jedna. → 1 możliwość.</p>\n<p>Wymnóż wszystkie wybory (reguła mnożenia):</p>\n<p>$$4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24$$</p>\n<p>Sposób II — wzór na permutacje</p>\n<p>Liczba permutacji zbioru $n$-elementowego to $n!$ (silnia $n$). Dla $n = 4$:</p>\n<p>$$P_4 = 4! = 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24$$</p>\n<p>Ten sam wynik — wzór to po prostu skrócona wersja reguły mnożenia.</p>\n<p>Klucz na maturze — trzy typy zliczania</p>\n<p>Sytuacja | Liczba sposobów<br>Permutacja $n$ różnych obiektów | $n!$<br>Wariacje z powtórzeniami ($k$ z $n$) | $n^k$<br>Wariacje bez powtórzeń ($k$ z $n$) | $\\dfrac{n!}{(n-k)!}$<br>Kombinacje ($k$ z $n$, bez kolejności) | $\\binom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$</p>\n<p>Sprawdź: czy kolejność ma znaczenie? Tutaj tak — kod &quot;1368&quot; to inny kod niż &quot;3168&quot;. Czy elementy się powtarzają? Tutaj nie — każda cyfra dokładnie raz. Stąd permutacja, $4! = 24$.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie permutacji (4! = 24) z liczbą wariacji z powtórzeniami (4⁴ = 256) lub innym wzorem. Tu KAŻDA cyfra występuje DOKŁADNIE RAZ — to klasyczna permutacja.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(24\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Permutacje (wzór)</h4>\n<p>Mamy <strong>4 różne cyfry</strong>: \\(1, 3, 6, 8\\) i tworzymy kody, w których <strong>każda cyfra pojawia się dokładnie raz</strong>.</p>\n<p>To jest klasyczny problem <strong>ustawiania \\(n\\) różnych elementów w rząd</strong> - czyli permutacja \\(4\\) elementów.</p>\n<p>Liczba takich kodów:<br>\\[P = 4! = 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24\\]</p>\n<p><strong>Dlaczego tak?</strong></p>\n<ul><li>Na <strong>1. miejsce</strong> możemy wybrać którąkolwiek z \\(4\\) cyfr,</li><li>na <strong>2. miejsce</strong> pozostają już tylko \\(3\\) cyfry (jedną już użyliśmy),</li><li>na <strong>3. miejsce</strong> - \\(2\\) cyfry,</li><li>na <strong>4. miejsce</strong> - już tylko \\(1\\) cyfra.</li></ul>\n<p>Reguła mnożenia:<br>\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(24\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Zliczanie systematyczne (bez wzoru)</h4>\n<p>Ustawiamy cyfry \\(1, 3, 6, 8\\). Zaczynamy od pierwszej cyfry i dla każdego wyboru liczymy resztę:</p>\n<ul><li>Kod zaczyna się od <strong>1</strong>: pozostałe trzy cyfry \\(3, 6, 8\\) ustawiamy na 3 miejscach - \\(3! = 6\\) kodów:</li></ul>\n<p>\\[1368,\\ 1386,\\ 1638,\\ 1683,\\ 1836,\\ 1863\\]</p>\n<ul><li>Kod zaczyna się od <strong>3</strong>: znowu \\(6\\) kodów.</li><li>Kod zaczyna się od <strong>6</strong>: znowu \\(6\\) kodów.</li><li>Kod zaczyna się od <strong>8</strong>: znowu \\(6\\) kodów.</li></ul>\n<p>Razem:<br>\\[4 \\cdot 6 = 24\\]</p>\n<p>To potwierdza wynik z metody 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - permutacje:</p>\n<blockquote>Liczba sposobów ustawienia \\(n\\) <strong>różnych</strong> elementów w rząd wynosi \\(n!\\)</blockquote>\n<p>W naszym zadaniu \\(n = 4\\), więc:<br>\\[4! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 24\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(4\\) | Uczeń myśli, że odpowiedź to liczba dostępnych cyfr - mylenie liczby elementów z liczbą permutacji |<br>| B: \\(10\\) | Mylenie permutacji z kombinacjami \\(\\binom{4}{2} = 6\\) lub \\(\\binom{5}{2} = 10\\) - kombinacje liczą <strong>wybory</strong>, nie <strong>ustawienia</strong> |<br>| D: \\(16\\) | Uczeń liczy \\(4^2 = 16\\) lub \\(2^4 = 16\\) - stosuje wzór na wariacje z powtórzeniami, zapominając że każda cyfra może wystąpić tylko raz |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź \\(4^4 = 256\\) byłaby poprawna, gdyby cyfry <strong>mogły się powtarzać</strong>. Tu każda cyfra pojawia się <strong>dokładnie raz</strong> - to kluczowy warunek zadania, który zmienia metodę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kombinacje \\(\\binom{n}{k}\\) liczą wybory <strong>bez uwzględnienia kolejności</strong>. Tu kolejność cyfr ma znaczenie (kod \\(1368 \\neq 3168\\)), więc używamy <strong>permutacji</strong>, nie kombinacji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(4! \\neq 4 \\cdot 4\\). Silnia to iloczyn malejący: \\(4! = 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1\\), a nie \\(4 \\cdot 4 = 16\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Permutacje</h5>\n<p>Liczba permutacji 4 różnych cyfr = \\(4! = 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1 = 24\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Reguła mnożenia</h5>\n<ul><li>1. pozycja: 4 możliwości;</li><li>2. pozycja: 3 pozostałe;</li><li>3. pozycja: 2 pozostałe;</li><li>4. pozycja: 1 ostatnia.</li></ul>\n<p>Razem: \\(4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1 = 24\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4\\)</strong> - sama liczba cyfr.</li><li><strong>B. \\(10\\)</strong> - bez związku (może \\(\\binom{5}{2}\\)).</li><li><strong>D. \\(16\\)</strong> - \\(4^2\\), ale bez powtórzeń to \\(4!\\), nie \\(4^2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> „każda występuje dokładnie raz&quot; = permutacja. \\(n! = n\\cdot(n-1)\\cdot\\ldots\\cdot 1\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Liczba permutacji</h5>\n<p>Ten sposób polega na obliczeniu liczby permutacji cyfr 1, 3, 6 i 8, a następnie podzieleniu przez 4!, ponieważ każda cyfra występuje dokładnie raz w kodzie.</p>\n<p>Krok 1: Obliczamy liczbę permutacji czterocyfrowych, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. To jest problem permutacji, czyli ustawianie czterech różnych elementów w kolejności. Liczba permutacji n różnych elementów wynosi n! (n silnia). W naszym przypadku n=4, więc liczba permutacji wynosi 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.28, strona 9 (Permutacje)</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na liczbę kombinacji</h5>\n<p>Możemy również użyć wzoru na liczbę kombinacji, ponieważ kolejność cyfr w kodzie nie ma znaczenia. Chcemy wybrać 4 cyfry z 4 dostępnych, gdzie kolejność nie ma znaczenia. Wzór na liczbę kombinacji n po k to:<br>\\[C(n, k) = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]<br>W naszym przypadku n=4 i k=4, więc:<br>\\[C(4, 4) = \\frac{4!}{4!(4-4)!} = \\frac{4!}{4!0!} = \\frac{24}{24 * 1} = 1\\]<br>To jest błędne. Chcemy obliczyć liczbę <em>wszystkich</em> kodów, a nie tylko liczbę sposobów wyboru 4 cyfr z 4. Musimy obliczyć liczbę wszystkich możliwych ustawień cyfr, a nie liczbę sposobów wyboru 4 cyfr. Zatem ten sposób jest nieprawidłowy.</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. 4:</strong> To jest liczba cyfr w kodzie, a nie liczba wszystkich możliwych kodów.</li><li><strong>B. 10:</strong> To jest liczba cyfr (1, 3, 6, 8) i nie uwzględnia możliwości powtarzania cyfr.</li><li><strong>D. 16:</strong> To jest liczba cyfr w kodzie, a nie liczba wszystkich możliwych kodów.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ponieważ liczba wszystkich możliwych kodów czterocyfrowych uzyskanych z 4 różnych cyfr, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz, to $4! = 24$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Każdy kod jest permutacją czterech różnych cyfr.<br>Liczba takich kodów wynosi:</p>\n<p>4!=4·3·2·1=24.</p>"}]}