Zadanie 28. (0-1)
Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 9.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, jest równa
A. 9
B. 6
C. 4,5
D. 18
Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a, a, b, b, c, c, jest równa A. 9 B. 6 C. 4,5 D. 18
Zadanie 28. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
oraz analogii, formułowanie wniosków na
ich podstawie i uzasadnianie ich
poprawności.
Zdający:
XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
C
Odpowiedź: A — 9
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nTrik — średnia nie zmienia się przy proporcjonalnym powieleniu
\nŚrednia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę elementów. Jeśli każdy element zostanie powtórzony tę samą liczbę razy, to:
\nTo intuicja. Sprawdzimy formalnie.
\nZapisz średnią z $a, b, c$.
\n$$\\frac{a + b + c}{3} = 9$$
\nStąd:
\n$$a + b + c = 27$$
\nOblicz średnią z $a, a, b, b, c, c$.
\n$$\\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \\frac{2(a + b + c)}{6} = \\frac{a + b + c}{3}$$
\nCzyli ta sama formuła co przed chwilą! Wynik:
\n$$\\frac{a + b + c}{3} = \\frac{27}{3} = 9$$
\nKlucz pamięciowy
\nPowielenie każdego elementu tą samą liczbą razy → średnia bez zmian.
\nDodawanie/odejmowanie stałej do każdego elementu → średnia zmienia się o tę stałą.
\nPomnożenie każdego elementu przez stałą → średnia mnoży się przez tę stałą.
\nTe trzy reguły pokrywają 80% pytań o średnią na maturze. Sprawdź zawsze, czy operacja jest jednostajna na wszystkich elementach — wtedy zachodzą.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mnożenie średniej przez 2 (bo „mamy dwa razy więcej liczb") — odpowiedź D (18). Tymczasem dwukrotne powtórzenie KAŻDEJ liczby NIE ZMIENIA średniej — proporcja sumy do liczby elementów pozostaje ta sama.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Wiemy, że średnia arytmetyczna \\(a, b, c\\) wynosi \\(9\\), czyli:
\\[\\frac{a + b + c}{3} = 9\\]
Stąd:
\\[a + b + c = 27\\]
Teraz liczymy średnią sześciu liczb \\(a, a, b, b, c, c\\):
\\[\\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \\frac{2a + 2b + 2c}{6} = \\frac{2(a + b + c)}{6}\\]
Podstawiamy \\(a + b + c = 27\\):
\\[\\frac{2 \\cdot 27}{6} = \\frac{54}{6} = \\mathbf{9}\\]
Wynik: średnia arytmetyczna sześciu liczb wynosi \\(9\\).
\nZauważamy, że lista \\(a, a, b, b, c, c\\) to po prostu każdą z liczb powtórzona dwukrotnie.
\nKażda liczba \\(a, b, c\\) "ciągnie" średnią tak samo jak wcześniej - tylko mamy ich dwa razy więcej, ale proporcje się nie zmieniają. Licznik wzoru na średnią (suma) podwaja się, mianownik (liczba elementów) też się podwaja:
\n\\[\\frac{2(a+b+c)}{2 \\cdot 3} = \\frac{a+b+c}{3} = 9\\]
\nDwukrotne powtórzenie każdego elementu nie zmienia średniej - wynik to nadal \\(9\\).
\nDział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
Użyliśmy go w obu sposobach do zapisania warunku i obliczenia nowej średniej.
| Odp. | Typowy błąd |
| B - \\(6\\) | Uczeń myśli, że skoro mamy dwa razy więcej liczb, to średnia się zmniejsza (dzieli przez \\(6\\) nie zauważając, że suma też wzrosła dwukrotnie) |
| C - \\(4{,}5\\) | Uczeń dzieli oryginalną średnię \\(9\\) przez \\(2\\), myląc "podwojenie liczby elementów" z "zmniejszeniem średniej o połowę" |
| D - \\(18\\) | Uczeń mnoży średnią \\(9\\) przez \\(2\\), myśląc że podwojenie danych podwaja średnią |
⚠️ Uwaga: Średnia arytmetyczna NIE zmienia się, gdy każdy element powtórzymy tę samą liczbę razy - suma rośnie proporcjonalnie do liczby elementów.\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się mylić i patrzeć tylko na mianownik (liczba elementów wzrosła z \\(3\\) do \\(6\\)), zapominając, że licznik (suma) też się podwoił.\n
⚠️ Uwaga: Konkretna wartość \\(a + b + c = 27\\) wcale nie jest potrzebna - wystarczy dostrzec strukturę zadania (każdy element powtórzony dwukrotnie).\n
Poprawna odpowiedź: A
\nSuma \\(a+b+c = 3\\cdot 9 = 27\\). Suma \\(a+a+b+b+c+c = 2(a+b+c)=54\\). Średnia: \\(\\tfrac{54}{6}=9\\).
\nJeżeli każdy element zbioru zostanie zduplikowany (powielony tyle samo razy), średnia pozostaje bez zmian - ponieważ suma i liczba elementów rosną o ten sam czynnik.
\nTrik: powielanie każdego elementu jednakową liczbą razy nie zmienia średniej.
\nPoprawna odpowiedź: A
\nTen sposób opiera się na własności średniej arytmetycznej. Średnia arytmetyczna n liczb jest równa sumie tych liczb podzielonej przez n.
\nKrok 1: Obliczamy sumę liczb z pierwszej średniej arytmetycznej:
a + b + c = 3 * 9 = 27
Krok 2: Obliczamy sumę liczb z drugiej średniej arytmetycznej:
a + a + b + b + c + c = 6 * 9 = 54
Krok 3: Zauważamy, że suma liczb z drugiej średniej arytmetycznej zawiera sumę liczb z pierwszej średniej arytmetycznej dwa razy. Zatem:
2(a + b + c) = 54
Krok 4: Rozwiązujemy równanie:
a + b + c = 54 / 2 = 27
Krok 5: Ponieważ a + b + c = 27, a średnia arytmetyczna tych trzech liczb wynosi 9, to otrzymujemy potwierdzenie naszego wyniku. Zadanie pyta o średnią arytmetyczną sześciu liczb. Zatem musimy obliczyć średnią arytmetyczną sześciu liczb, które mamy. Sześć liczb to a, a, b, b, c, c.
\nSuma tych liczb to 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2 * 27 = 54.
Średnia arytmetyczna tych liczb to 54 / 6 = 9.
📖 Karta wzorów: Sumy, strona 5
∑ aᵢ = n * średnia
Ten sposób wykorzystuje wzór na średnią arytmetyczną dla zbioru liczb.
\nKrok 1: Zauważamy, że mamy 6 liczb: a, a, b, b, c, c. Średnia arytmetyczna tej zbioru to \\( \\frac{a+a+b+b+c+c}{6} \\)
\nKrok 2: Upraszczamy wyrażenie:
\\( \\frac{2a + 2b + 2c}{6} = \\frac{2(a + b + c)}{6} = \\frac{a + b + c}{3} \\)
Krok 3: Wiemy, że a + b + c = 27 (z pierwszej średniej arytmetycznej). Podstawiamy to do wzoru:
\\( \\frac{27}{3} = 9 \\)
📖 Karta wzorów: Sumy, strona 5
Średnia arytmetyczna = Suma liczb / Liczba liczb
Podsumowując, zadanie wykorzystuje własności średniej arytmetycznej, aby znaleźć średnią arytmetyczną sześciu liczb, biorąc pod uwagę, że średnia arytmetyczna trzech z tych liczb wynosi 9.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, średnia arytmetyczna trzech liczb $a, b, c$ wynosi $9$, dlatego suma tych liczb to $3 \\cdot 9 = 27$. W przypadku sześciu liczb: $a, a, b, b, c, c$, suma wynosi $2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2 \\cdot 27 = 54$, a więc średnia to $\\small \\displaystyle \\frac{54}{6} = 9$.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Skoro
\n(a+b+c)/(3)=9,
\nto
\na+b+c=27.
\nŚrednia sześciu liczb wynosi:
\n(2a+2b+2c)/(6)
=(2(a+b+c))/(6)
=(54)/(6)=9.