{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\nA. 4,5\nB. 4\nC. 3,5\nD. 3\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 4,5 B. 4 C. 3,5 D. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) […] znajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C — 3,5\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo to jest mediana?\n\nMediana to środkowa wartość w uporządkowanym zbiorze danych.\n\n- Jeśli liczba elementów jest nieparzysta: mediana to środkowa wartość (jedna)\n- Jeśli parzysta: mediana to średnia dwóch środkowych\n\nNajpierw policz uczniów\n\nŁącznie: $2 + 7 + 4 + 3 + 6 + 4 = 26$ uczniów.\n\nLiczba parzysta — mediana będzie średnią 13. i 14. wartości w uporządkowanej liście ocen.\n\nUporządkuj oceny od najmniejszej (każda powtórzona tyle razy, ilu uczniów ją dostało):\n\nPozycje | Ocena\n1, 2 | 1\n3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 2\n10, 11, 12, 13 | 3\n14, 15, 16 | 4\n17, 18, 19, 20, 21, 22 | 5\n23, 24, 25, 26 | 6\n\nOdczytaj 13. i 14. wartość. Z tabeli:\n\n- 13. uczeń ma ocenę 3 (ostatni z grupy \"ocena 3\")\n- 14. uczeń ma ocenę 4 (pierwszy z grupy \"ocena 4\")\n\nOblicz średnią dwóch środkowych.\n\n$$\\text{Mediana} = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5$$\n\nKlucz — mediana z diagramu słupkowego\n\nProcedura:\n\n1. Zsumuj liczby z wszystkich słupków → $n$ (łącznie obserwacji).\n2. Wyznacz pozycję mediany: dla nieparzystego $n$ — pozycja $\\frac{n+1}{2}$; dla parzystego — dwie pozycje $\\frac{n}{2}$ i $\\frac{n}{2}+1$, średnia.\n3. „Zlicz w głowie\" po słupkach od lewej, aż znajdziesz słupek, w którym leży ta pozycja. To wartość mediany.\n\nNie myl mediany z modą (najczęstsza wartość — tutaj ocena $2$) ani średnią arytmetyczną ($\\sum / n$ — tutaj $\\approx 3{,}54$).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie mediany jako \"ocena z największym słupkiem\" (czyli 2, bo 7 uczniów — najwięcej). Mediana to ŚRODKOWA wartość po posortowaniu, nie najczęstsza (to moda).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"statystyka, mediana, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-1)
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.
Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano
liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
A. 4,5
B. 4
C. 3,5
D. 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
liczba
uczniów
ocena

\n

MMAP-P0_100
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 4,5 B. 4 C. 3,5 D. 3

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
XII.2) […] znajduje medianę […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: C — 3,5

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co to jest mediana?

\n

Mediana to środkowa wartość w uporządkowanym zbiorze danych.

\n\n

Najpierw policz uczniów

\n

Łącznie: $2 + 7 + 4 + 3 + 6 + 4 = 26$ uczniów.

\n

Liczba parzysta — mediana będzie średnią 13. i 14. wartości w uporządkowanej liście ocen.

\n

Uporządkuj oceny od najmniejszej (każda powtórzona tyle razy, ilu uczniów ją dostało):

\n

Pozycje | Ocena
1, 2 | 1
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 2
10, 11, 12, 13 | 3
14, 15, 16 | 4
17, 18, 19, 20, 21, 22 | 5
23, 24, 25, 26 | 6

\n

Odczytaj 13. i 14. wartość. Z tabeli:

\n\n

Oblicz średnią dwóch środkowych.

\n

$$\\text{Mediana} = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5$$

\n

Klucz — mediana z diagramu słupkowego

\n

Procedura:

\n
  1. Zsumuj liczby z wszystkich słupków → $n$ (łącznie obserwacji).
  2. Wyznacz pozycję mediany: dla nieparzystego $n$ — pozycja $\\frac{n+1}{2}$; dla parzystego — dwie pozycje $\\frac{n}{2}$ i $\\frac{n}{2}+1$, średnia.
  3. „Zlicz w głowie" po słupkach od lewej, aż znajdziesz słupek, w którym leży ta pozycja. To wartość mediany.
\n

Nie myl mediany z modą (najczęstsza wartość — tutaj ocena $2$) ani średnią arytmetyczną ($\\sum / n$ — tutaj $\\approx 3{,}54$).

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie mediany jako "ocena z największym słupkiem" (czyli 2, bo 7 uczniów — najwięcej). Mediana to ŚRODKOWA wartość po posortowaniu, nie najczęstsza (to moda).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi \\(3{,}5\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie mediany przez skumulowane częstości

\n

Krok 1: Zebranie danych

\n

Z diagramu (i treści zadania) odczytujemy liczbę uczniów dla każdej oceny:

\n

| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba uczniów |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 7 | 9 |
| 3 | 4 | 13 |
| 4 | 3 | 16 |
| 5 | 6 | 22 |
| 6 | 4 | 26 |

\n

Krok 2: Ile uczniów łącznie?

\n

\\[n = 2 + 7 + 4 + 3 + 6 + 4 = 26\\]

\n

Mamy parzystą liczbę danych, więc mediana to średnia arytmetyczna wartości na pozycji 13. i 14. (po uszeregowaniu).

\n

Krok 3: Znalezienie 13. i 14. wartości

\n

Ze skumulowanych częstości:

\n\n

Krok 4: Obliczenie mediany

\n

\\[M = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = \\mathbf{3{,}5}\\]

\n

Sposób 2 - wypisanie wszystkich ocen wprost

\n

Możemy dosłownie wypisać wszystkie oceny w kolejności rosnącej:

\n

\\[\\underbrace{1,1}{2},\\ \\underbrace{2,2,2,2,2,2,2}{7},\\ \\underbrace{3,3,3,3}{4},\\ \\underbrace{4,4,4}{3},\\ \\underbrace{5,5,5,5,5,5}{6},\\ \\underbrace{6,6,6,6}{4}\\]

\n

Łącznie \\(n = 26\\) liczb. Mediana to średnia 13. i 14. wyrazu:

\n\n

\\[M = \\frac{3 + 4}{2} = \\mathbf{3{,}5}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - definicja mediany:

\n
Mediana = środkowy wyraz po uszeregowaniu (gdy \\(n\\) nieparzyste), lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste).
\n

Ponieważ \\(n = 26\\) (parzyste), korzystamy z wzoru na średnią:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_{13} + a_{14}}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((4{,}5)\\) | Uczeń szuka środkowej oceny (między 1 a 6 jest ocena 3,5 lub 4,5), zamiast środkowego ucznia w danych |
| B \\((4)\\) | Uczeń bierze tylko 13. wyraz (lub liczy środek jako \\(\\lceil\\frac{26}{2}\\rceil = 13\\)) i pomija, że przy parzystym \\(n\\) trzeba uśrednić dwie wartości; albo bierze dominantę (ocenę 2, bo ma ich najwięcej) - tu błąd pojęciowy |
| D \\((3)\\) | Uczeń bierze tylko 13. wyraz i zapomina o uśrednieniu z 14. wyrazem |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych - nie wystarczy wziąć jednej wartości! Błąd ten prowadzi tu do odpowiedzi D.
\n
⚠️ Uwaga: Nie czytaj mediany bezpośrednio z wykresu! Musisz znać pozycje w szeregu (skumulowane częstości), bo na osi poziomej są oceny, a nie kolejność uczniów.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić mediany z modą (dominantą) - najczęściej występująca ocena to 2 (7 uczniów), ale to nie mediana.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Liczba uczniów i pozycja mediany
\n

Łącznie uczniów: \\(2+7+4+3+6+4 = 26\\). Liczba parzysta → mediana = średnia z 13. i 14. wartości po uporządkowaniu.
Kumulacja ocen (rosnąco):

\n\n

Pozycja 13 = ocena 3, pozycja 14 = ocena 4. Mediana: \\(\\tfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Rozkład: 1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,|4,4,4,5, Dwie środkowe wartości: \\(3\\) i \\(4\\). Średnia: \\(3{,}5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: dla \\(n\\) parzystego: mediana = średnia dwóch środkowych wartości (\\(\\tfrac{n}{2}\\) i \\(\\tfrac{n}{2}+1\\)).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Obliczenie mediany z histogramu
\n

Ten problem dotyczy mediany, która jest wartością środkową danych. Histogram przedstawia rozkład częstotliwości, czyli ile osób otrzymało każdą ocenę. Aby obliczyć medianę, musimy znaleźć ocenę, która dzieli dane na dwie równe części.

\n

Krok 1: Zauważmy, że na osi poziomej mamy oceny od 0 do 6, a na osi pionowej liczbę uczniów.
Krok 2: Zliczymy liczbę uczniów dla każdej oceny:

\n\n

Krok 3: Suma wszystkich uczniów: 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 6 + 4 = 30
Krok 4: Ponieważ mamy 30 uczniów, mediana będzie znajdować się w środku, czyli w 15. osobie.
Krok 5: Sprawdzamy, która ocena odpowiada 15. osobie:

\n\n

Zatem mediana wynosi 4.

\n

📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32

\n
Sposób 2: Obliczenie mediany z sumy i liczby obserwacji
\n

Ten sposób opiera się na podstawowych definicjach mediany.

\n

Krok 1: Zauważmy, że mamy 30 uczniów.
Krok 2: Ponieważ liczba uczniów jest parzysta, mediana jest średnią arytmetyczną dwóch wartości środkowych. W tym przypadku, to średnia arytmetyczna 15-tej i 16-tej wartości na osi poziomej.
Krok 3: Z histogramu widzimy, że 15-ta wartość to ocena 4, a 16-ta wartość to ocena 4.
Krok 4: Zatem mediana = (4 + 4) / 2 = 4.

\n

📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ jeśli wypiszemy wszystkie ocen, to dostaniemy:
$ \\displaystyle 1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6 $
Dwa środkowe wyniki (możemy wykreślić po $12$ wyrazów z prawej i z lewej) to $3$ oraz $4$. Ich średnia arytmetyczna to:
$\\displaystyle \\small \\frac{3+4}{2}=3{,}5$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Liczba uczniów:

\n

2+7+4+3+6+4=26.

\n

Mediana jest średnią 13. i 14. wartości w szeregu uporządkowanym.
Do oceny 3 włącznie mamy:

\n

2+7+4=13

\n

wyników, więc 13. wartość to 3 , a 14. wartość to 4 .

\n

Me=(3+4)/(2)=3 , 5.

"}]}