{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝒏𝟐+ (𝒏+ 𝟏)𝟐+ (𝒏+ 𝟐)𝟐 przy\ndzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba n²+(n+1)²+(n+2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci\n3(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci\n3𝑛2 + 6𝑛+ 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,\na reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,\nALBO\n- zapisanie, że 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna\nz nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz\nzapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat\nliczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie\nwniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 jest\nrówna 2.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci\n𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛+ 1 + 𝑛2 + 4𝑛+ 4\nALBO\n- zapisanie, że 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna\nz nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz\nzapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat\nliczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 3𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby\n𝑛 przez 3 (lub 𝑛= 2𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),\ni przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.\nGdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie\nprzeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛= 3𝑘+ 2, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛+ 1 + 𝑛2 + 4𝑛+ 4\n= 3𝑛2 + 6𝑛+ 5 = 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛+ 1 jest liczbą naturalną.\nZatem 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) jest wielokrotnością liczby 3.\nStąd 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nLiczby 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest\npodzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.\nKwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.\nKwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 jest równa\n0 + 1 + 1 = 2.\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I lub Sposób II w rozwiązaniu.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba pokazać?\n\nTrzeba udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$ wyrażenie\n\n$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$\n\ndaje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. Czyli: liczba ta jest postaci $3k + 2$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.\n\nPokażę to dwoma sposobami — wybierz ten, który łatwiej zapamiętasz.\n\nSposób I — przekształcenie algebraiczne\n\nRozwiń kwadraty wzorami skróconego mnożenia.\n\n$$\n\\begin{aligned}\nn^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 &= n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) \\\\\n&= 3n^2 + 6n + 5\n\\end{aligned}\n$$\n\nWydziel z wyrażenia jak największą wielokrotność liczby 3. Zauważ, że $3n^2$ i $6n$ są podzielne przez $3$, a $5 = 3 + 2$:\n\n$$3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2$$\n\nWyciągnij wniosek. Skoro $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)^2$ jest również liczbą naturalną — oznaczmy ją $k = (n+1)^2$. Wtedy:\n\n$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3k + 2$$\n\nTo znaczy, że liczba $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ — co należało udowodnić. $\\blacksquare$\n\nSposób II — analiza reszt z dzielenia przez 3\n\nZauważ, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n$, $n+1$, $n+2$ dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe — przy dzieleniu przez 3 — dają reszty $1$ oraz $2$ (w pewnej kolejności).\n\nSprawdź, jaką resztę z dzielenia przez 3 daje kwadrat liczby w zależności od jej reszty. Niech $a$ będzie liczbą całkowitą:\n\n- jeśli $a \\equiv 0 \\pmod 3$, to $a^2 \\equiv 0 \\pmod 3$\n- jeśli $a \\equiv 1 \\pmod 3$, to $a^2 \\equiv 1 \\pmod 3$\n- jeśli $a \\equiv 2 \\pmod 3$, to $a^2 \\equiv 4 \\equiv 1 \\pmod 3$\n\nWniosek: kwadrat liczby podzielnej przez 3 daje resztę 0, a kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje zawsze resztę 1.\n\nZsumuj reszty trzech kwadratów. Wśród $n$, $n+1$, $n+2$ jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 3 i dwie niepodzielne. Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 ich kwadratów wynosi:\n\n$$0 + 1 + 1 = 2$$\n\nTo znaczy, że $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. $\\blacksquare$\n\nJak zdobyć 2 punkty\n\nCKE rozdziela punktację na dwie połowy:\n- 1 pkt — za samo prawidłowe rozwinięcie $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3n^2 + 6n + 5$, albo za pokazanie, że jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez 3.\n- 2 pkt — za doprowadzenie rozumowania do końca, czyli pokazanie, że wynik to $3k + 2$ dla pewnego $k$ (Sposób I) lub że suma reszt wynosi $2$ (Sposób II).\n\nTypowy błąd: Sprawdzanie tezy dla kilku konkretnych n (np. n=1, n=2, n=3) to NIE jest dowód — CKE da za to 0 punktów. Trzeba pokazać warunek dla każdej liczby naturalnej.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"dowody w teorii liczb, podzielność, Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝒏𝟐+ (𝒏+ 𝟏)𝟐+ (𝒏+ 𝟐)𝟐 przy
dzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.
3.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba n²+(n+1)²+(n+2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia nie trudniejsze niż dowód
podzielności przez 24 iloczynu czterech
kolejnych liczb naturalnych.
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci
3(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2
ALBO

\n\n

3𝑛2 + 6𝑛+ 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,
a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,
ALBO

\n\n

z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie
wniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 jest
równa 2.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci
𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛+ 1 + 𝑛2 + 4𝑛+ 4
ALBO

\n\n

z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 3𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby
\n

𝑛 przez 3 (lub 𝑛= 2𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),
i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.
Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie
przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛= 3𝑘+ 2, to otrzymuje 0 punktów za
\n

całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie
𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛+ 1 + 𝑛2 + 4𝑛+ 4
= 3𝑛2 + 6𝑛+ 5 = 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2
Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛+ 1 jest liczbą naturalną.
Zatem 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) jest wielokrotnością liczby 3.
Stąd 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To należało wykazać.
Sposób II
Liczby 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest
podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.
Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.
Kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 jest równa
0 + 1 + 1 = 2.
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I lub Sposób II w rozwiązaniu.

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co trzeba pokazać?

\n

Trzeba udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$ wyrażenie

\n

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$

\n

daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. Czyli: liczba ta jest postaci $3k + 2$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.

\n

Pokażę to dwoma sposobami — wybierz ten, który łatwiej zapamiętasz.

\n

Sposób I — przekształcenie algebraiczne

\n

Rozwiń kwadraty wzorami skróconego mnożenia.

\n

$$
\\begin{aligned}
n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 &= n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) \\\\
&= 3n^2 + 6n + 5
\\end{aligned}
$$

\n

Wydziel z wyrażenia jak największą wielokrotność liczby 3. Zauważ, że $3n^2$ i $6n$ są podzielne przez $3$, a $5 = 3 + 2$:

\n

$$3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2$$

\n

Wyciągnij wniosek. Skoro $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)^2$ jest również liczbą naturalną — oznaczmy ją $k = (n+1)^2$. Wtedy:

\n

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3k + 2$$

\n

To znaczy, że liczba $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ — co należało udowodnić. $\\blacksquare$

\n

Sposób II — analiza reszt z dzielenia przez 3

\n

Zauważ, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n$, $n+1$, $n+2$ dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe — przy dzieleniu przez 3 — dają reszty $1$ oraz $2$ (w pewnej kolejności).

\n

Sprawdź, jaką resztę z dzielenia przez 3 daje kwadrat liczby w zależności od jej reszty. Niech $a$ będzie liczbą całkowitą:

\n\n

Wniosek: kwadrat liczby podzielnej przez 3 daje resztę 0, a kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje zawsze resztę 1.

\n

Zsumuj reszty trzech kwadratów. Wśród $n$, $n+1$, $n+2$ jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 3 i dwie niepodzielne. Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 ich kwadratów wynosi:

\n

$$0 + 1 + 1 = 2$$

\n

To znaczy, że $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. $\\blacksquare$

\n

Jak zdobyć 2 punkty

\n

CKE rozdziela punktację na dwie połowy:

\n\n

Typowy błąd: Sprawdzanie tezy dla kilku konkretnych n (np. n=1, n=2, n=3) to NIE jest dowód — CKE da za to 0 punktów. Trzeba pokazać warunek dla każdej liczby naturalnej.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P \\approx 0{,}996\\)

\n

Sposób 1 - Schemat Bernoulliego (bezpośrednie obliczenie)

\n

Identyfikujemy parametry:

\n\n

Szukamy: \\(P(\\text{co najwyżej 1 wadliwe}) = P(X = 0) + P(X = 1)\\)

\n

Krok 1 - Prawdopodobieństwo \\(P(X = 0)\\) (żadne opakowanie wadliwe):
\\[P(X = 0) = \\binom{10}{0} \\cdot (0{,}01)^0 \\cdot (0{,}99)^{10} = 1 \\cdot 1 \\cdot (0{,}99)^{10}\\]

\n

Krok 2 - Prawdopodobieństwo \\(P(X = 1)\\) (dokładnie jedno wadliwe):
\\[P(X = 1) = \\binom{10}{1} \\cdot (0{,}01)^1 \\cdot (0{,}99)^9 = 10 \\cdot 0{,}01 \\cdot (0{,}99)^9\\]

\n

Krok 3 - Suma:
\\[P = (0{,}99)^{10} + 10 \\cdot 0{,}01 \\cdot (0{,}99)^9\\]

\n

Wyciągamy \\((0{,}99)^9\\) przed nawias:
\\[P = (0{,}99)^9 \\cdot \\bigl[(0{,}99) + 10 \\cdot 0{,}01\\bigr] = (0{,}99)^9 \\cdot \\bigl[0{,}99 + 0{,}1\\bigr] = (0{,}99)^9 \\cdot 1{,}09\\]

\n

Krok 4 - Obliczamy \\((0{,}99)^9\\):
\\[(0{,}99)^9 \\approx 0{,}9135\\]

\n

(można liczyć stopniowo: \\(0{,}99^2 = 0{,}9801\\); \\(0{,}99^4 \\approx 0{,}9606\\); \\(0{,}99^8 \\approx 0{,}9227\\); \\(0{,}99^9 \\approx 0{,}9227 \\cdot 0{,}99 \\approx 0{,}9135\\))

\n

Krok 5 - Wynik końcowy:
\\[P = 0{,}9135 \\cdot 1{,}09 \\approx 0{,}9957 \\approx \\mathbf{0{,}996}\\]

\n

Sposób 2 - Przez zdarzenie dopełniające

\n

Zamiast liczyć \\(P(X \\leq 1)\\) wprost, możemy skorzystać z dopełnienia:
\\[P(X \\leq 1) = 1 - P(X \\geq 2)\\]

\n

Jednak \\(P(X \\geq 2)\\) wymaga sumowania 9 składników \\(P(X=2) + \\ldots + P(X=10)\\) - to więcej roboty. Dlatego metoda wprost (Sposób 1) jest tu zdecydowanie lepsza.

\n

Możemy za to zweryfikować wynik przez przybliżone obliczenie \\(P(X \\geq 2)\\):

\n

\\[P(X = 2) = \\binom{10}{2}(0{,}01)^2(0{,}99)^8 = 45 \\cdot 0{,}0001 \\cdot 0{,}9227 \\approx 0{,}00415\\]

\n

Wyrazy dla \\(X \\geq 3\\) są pomijalnie małe (rzędu \\(10^{-6}\\) i mniej), więc:
\\[P(X \\geq 2) \\approx 0{,}00415\\]
\\[P(X \\leq 1) \\approx 1 - 0{,}00415 = 0{,}996 \\checkmark\\]

\n

Wyniki się zgadzają - \\(P \\approx 0{,}996\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - Schemat Bernoulliego:
\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]
gdzie \\(p\\) = prawdopodobieństwo sukcesu, \\(q = 1 - p\\), \\(n\\) = liczba prób, \\(k\\) = liczba sukcesów.

\n

Użyliśmy tego wzoru dwukrotnie - dla \\(k = 0\\) i \\(k = 1\\), a następnie zsumowaliśmy wyniki.

\n

Dział 14 (s. 29) - własność dopełnienia (pomocnicza w Sposobie 2):
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "Co najwyżej jedno" oznacza \\(P(X = 0) + P(X = 1)\\) - nie tylko \\(P(X = 1)\\)! Pominięcie przypadku \\(X = 0\\) to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\binom{10}{0} \\cdot p^0 \\cdot q^{10}\\) pamiętaj, że \\(p^0 = 1\\) i \\(\\binom{10}{0} = 1\\) - ten składnik łatwo pominąć lub policzyć błędnie.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik zaokrąglamy do części tysięcznych (3 miejsca po przecinku) dopiero na końcu - nie zaokrąglaj \\((0{,}99)^9\\) zbyt wcześnie, bo błąd zaokrąglenia może zmienić wynik końcowy.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P\\approx 0{,}996\\)

\n
Sposób 1 - Schemat Bernoulliego
\n

Sukces: opakowanie z mniej niż \\(36\\%\\) tłuszczu; \\(p=0{,}01\\), \\(q=1-p=0{,}99\\). Liczba prób \\(n=10\\). Szukamy \\(P(X\\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)\\):
\\[P=\\binom{10}{0}(0{,}01)^{0}(0{,}99)^{10}+\\binom{10}{1}(0{,}01)^{1}(0{,}99)^{9}=(0{,}99)^{10}+10\\cdot 0{,}01\\cdot(0{,}99)^{9}.\\]
\\[P=(0{,}99)^{9}\\cdot(0{,}99+10\\cdot 0{,}01)=(0{,}99)^{9}\\cdot 1{,}09\\approx 0{,}91352\\cdot 1{,}09\\approx 0{,}996.\\]

\n
Sposób 2 - Dopełnienie
\n

\\(P(X\\leq 1)=1-P(X\\geq 2)\\) - w tym schemacie obliczeniowo mniej wygodne (suma 9 składników), ale warto znać.

\n
Uwagi o punktacji (0-3)
\n\n

Trik: Zawsze definiuj sukces jako zdarzenie rzadkie (tu mniej niż \\(36\\%\\) tłuszczu) i nie pomyl \\(p\\) z \\(q\\) - to częsty błąd.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisu wyrażenia, które mamy zbadać:
\n

$$S(n) = n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$$

\n
  1. Rozwijamy każde z kwadratów w tym wyrażeniu:
\n

$$S(n) = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$$

\n
  1. Teraz łączymy wszystkie wyrazy:
\n

$$S(n) = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$$
$$S(n) = 3n^2 + 6n + 5$$

\n
  1. Podzielimy to wyrażenie przez 3, aby znaleźć resztę z dzielenia:
\n

$$S(n) = 3(n^2 + 2n) + 5$$

\n
  1. Zauważamy, że wyrażenie $3(n^2 + 2n)$ jest podzielne przez 3, natomiast 5 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2:
\n

$$5 \\text{ mod } 3 = 2$$

\n
  1. Możemy więc stwierdzić, że:
\n

$$S(n) \\text{ mod } 3 = 2$$

\n
  1. Zatem dla każdej liczby naturalnej $n \\text{ od } 1 $ w górę suma $S(n)$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
\n

Odpowiedź: $2$

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Rozwijamy kwadraty, korzystając ze wzoru (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 :

\n

(n+1)^2=n^2+2n+1,

\n

(n+2)^2=n^2+4n+4.

\n

Zatem

\n

n^2+(n+1)^2+(n+2)^2
=n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4).

\n

=3n^2+6n+5
=3(n^2+2n+1)+2
=3(n+1)^2+2.

\n

Liczba 3(n+1)^2 jest podzielna przez 3 , więc cała liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 .

"}]}