{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest pięcioelementowy zbiór 𝐾= {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby z tego\nzbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru 𝐾 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa\nrazy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma\nwylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest pięcioelementowy zbiór K={5,6,7,8,9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy {ze zwracaniem} kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.","answer":"P(A) = 13/25","answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 13\n25 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n25 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 13\n25 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{5, 6, 7, 8, 9}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ∙5 = 25.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 obliczamy,\nkorzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania. Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą\nparzystą, gdy sumujemy dwie liczby parzyste lub dwie liczby nieparzyste. Stąd moc zbioru 𝐴\njest równa 3 ∙3 + 2 ∙2 = 13.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 13\n25 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,\nktórych suma jest liczbą parzystą).\n5\n6\n7\n8\n9\n5\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n6\n𝐴\n𝐴\n7\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n8\n𝐴\n𝐴\n9\n𝐴\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 25.\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest parzysta, jest 13.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 13\n25 .\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 2\n5 ⋅2\n5 + 3\n5 ⋅3\n5 = 13\n25","solution":"Odpowiedź: P(A) = 13/25\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo losujemy?\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru pięcioelementowego $K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}$. Każde losowanie jest niezależne — wynik pierwszego nie wpływa na drugie.\n\nKażda para $(x, y)$, gdzie $x, y \\in K$, jest zdarzeniem elementarnym. Wszystkie pary są równo prawdopodobne.\n\nWyznacz $|\\Omega|$ — moc zbioru zdarzeń elementarnych.\n\nZ reguły mnożenia: $5$ możliwości w pierwszym losowaniu × $5$ w drugim:\n\n$$|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$$\n\nOkreśl, kiedy suma dwóch liczb jest parzysta.\n\nSuma $x + y$ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n- obie liczby są parzyste, ALBO\n- obie liczby są nieparzyste\n\n(parzysta + parzysta = parzysta; nieparzysta + nieparzysta = parzysta; parzysta + nieparzysta = nieparzysta)\n\nZlicz parzyste i nieparzyste elementy w zbiorze $K$.\n\n- Parzyste: $\\{6, 8\\}$ → 2 elementy\n- Nieparzyste: $\\{5, 7, 9\\}$ → 3 elementy\n\nZlicz pary sprzyjające zdarzeniu $A$ (z reguły mnożenia + reguły dodawania):\n\n- Obie parzyste: $2 \\cdot 2 = 4$ par\n- Obie nieparzyste: $3 \\cdot 3 = 9$ par\n\n$$|A| = 4 + 9 = 13$$\n\nOblicz prawdopodobieństwo.\n\n$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{13}{25}$$\n\nSposób alternatywny — drzewo stochastyczne\n\nZ $K$ mamy: $P(\\text{parzysta}) = \\tfrac{2}{5}$, $P(\\text{nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}$.\n\nSuma parzysta = (parzysta, parzysta) lub (nieparzysta, nieparzysta):\n\n$$P(A) = \\tfrac{2}{5} \\cdot \\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5} \\cdot \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4}{25} + \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{13}{25}$$\n\nPunktacja\n\n- 1 pkt — wypisanie $|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$ ALBO podanie $|A| = 13$ ALBO sporządzenie tabelki 5×5 ze zdarzeniami sprzyjającymi, ALBO zapisanie samego końcowego $P(A) = \\tfrac{13}{25}$ bez metody.\n- 2 pkt — pełna metoda + poprawny wynik $\\tfrac{13}{25}$.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli rozważasz losowanie BEZ ZWRACANIA — dostajesz 0 punktów (zmieniasz problem). Drugi błąd: zapisanie tylko liczby 13 lub 25 bez wskazania znaczenia (też 0 punktów).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobieństwo, model klasyczny, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Dany jest pięcioelementowy zbiór 𝐾= {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby z tego<br>zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru 𝐾 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa<br>razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma<br>wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.<br>30.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest pięcioelementowy zbiór K={5,6,7,8,9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy {ze zwracaniem} kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XII.1) oblicza prawdopodobieństwo<br>w modelu klasycznym.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴<br>i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 13<br>25 .<br>1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych<br>zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających<br>zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub<br>sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego<br>ALBO</p>\n<ul><li>wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych</li></ul>\n<p>sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:</li></ul>\n<p>|𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie</li></ul>\n<p>sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej<br>jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1</li></ul>\n<p>25 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 13</li></ul>\n<p>25 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych</li></ol>\n<p>liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.</li></ol>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie<br>𝑥, 𝑦∈{5, 6, 7, 8, 9}.<br>Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.<br>Moc zbioru Ω jest równa 5 ∙5 = 25.<br>Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 obliczamy,<br>korzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania. Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą<br>parzystą, gdy sumujemy dwie liczby parzyste lub dwie liczby nieparzyste. Stąd moc zbioru 𝐴<br>jest równa 3 ∙3 + 2 ∙2 = 13.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 13<br>25 .<br>Sposób II<br>W tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,<br>których suma jest liczbą parzystą).<br>5<br>6<br>7<br>8<br>9<br>5<br>𝐴<br>𝐴<br>𝐴<br>6<br>𝐴<br>𝐴<br>7<br>𝐴<br>𝐴<br>𝐴<br>8<br>𝐴<br>𝐴<br>9<br>𝐴<br>𝐴<br>𝐴<br>Moc zbioru Ω jest równa 25.<br>Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest parzysta, jest 13.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 13<br>25 .<br>Sposób III (drzewo stochastyczne)<br>Rysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe<br>𝑃(𝐴) = 2<br>5 ⋅2<br>5 + 3<br>5 ⋅3<br>5 = 13<br>25</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: P(A) = 13/25</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Co losujemy?</p>\n<p>Losujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru pięcioelementowego $K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}$. Każde losowanie jest niezależne — wynik pierwszego nie wpływa na drugie.</p>\n<p>Każda para $(x, y)$, gdzie $x, y \\in K$, jest zdarzeniem elementarnym. Wszystkie pary są równo prawdopodobne.</p>\n<p>Wyznacz $|\\Omega|$ — moc zbioru zdarzeń elementarnych.</p>\n<p>Z reguły mnożenia: $5$ możliwości w pierwszym losowaniu × $5$ w drugim:</p>\n<p>$$|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$$</p>\n<p>Określ, kiedy suma dwóch liczb jest parzysta.</p>\n<p>Suma $x + y$ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:</p>\n<ul><li>obie liczby są parzyste, ALBO</li><li>obie liczby są nieparzyste</li></ul>\n<p>(parzysta + parzysta = parzysta; nieparzysta + nieparzysta = parzysta; parzysta + nieparzysta = nieparzysta)</p>\n<p>Zlicz parzyste i nieparzyste elementy w zbiorze $K$.</p>\n<ul><li>Parzyste: $\\{6, 8\\}$ → 2 elementy</li><li>Nieparzyste: $\\{5, 7, 9\\}$ → 3 elementy</li></ul>\n<p>Zlicz pary sprzyjające zdarzeniu $A$ (z reguły mnożenia + reguły dodawania):</p>\n<ul><li>Obie parzyste: $2 \\cdot 2 = 4$ par</li><li>Obie nieparzyste: $3 \\cdot 3 = 9$ par</li></ul>\n<p>$$|A| = 4 + 9 = 13$$</p>\n<p>Oblicz prawdopodobieństwo.</p>\n<p>$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{13}{25}$$</p>\n<p>Sposób alternatywny — drzewo stochastyczne</p>\n<p>Z $K$ mamy: $P(\\text{parzysta}) = \\tfrac{2}{5}$, $P(\\text{nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}$.</p>\n<p>Suma parzysta = (parzysta, parzysta) lub (nieparzysta, nieparzysta):</p>\n<p>$$P(A) = \\tfrac{2}{5} \\cdot \\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5} \\cdot \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4}{25} + \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{13}{25}$$</p>\n<p>Punktacja</p>\n<ul><li>1 pkt — wypisanie $|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$ ALBO podanie $|A| = 13$ ALBO sporządzenie tabelki 5×5 ze zdarzeniami sprzyjającymi, ALBO zapisanie samego końcowego $P(A) = \\tfrac{13}{25}$ bez metody.</li><li>2 pkt — pełna metoda + poprawny wynik $\\tfrac{13}{25}$.</li></ul>\n<p>Typowy błąd: CKE wprost: jeśli rozważasz losowanie BEZ ZWRACANIA — dostajesz 0 punktów (zmieniasz problem). Drugi błąd: zapisanie tylko liczby 13 lub 25 bez wskazania znaczenia (też 0 punktów).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zliczanie przypadków sprzyjających</h4>\n<p><strong>Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych</strong></p>\n<p>Losujemy ze zwracaniem dwa razy, każdy wynik to para \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Kolejność ma znaczenie.</p>\n<p>\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Kiedy suma jest parzysta?</strong></p>\n<p>Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:</p>\n<ul><li>obie liczby są <strong>parzyste</strong>, lub</li><li>obie liczby są <strong>nieparzyste</strong></li></ul>\n<p>(parzysta + nieparzysta = nieparzysta - to nas <strong>nie</strong> interesuje)</p>\n<p><strong>Krok 3: Podział zbioru K</strong></p>\n<ul><li>Liczby parzyste w \\(K\\): \\(\\{6, 8\\}\\) → są <strong>2</strong></li><li>Liczby nieparzyste w \\(K\\): \\(\\{5, 7, 9\\}\\) → są <strong>3</strong></li></ul>\n<p><strong>Krok 4: Zliczanie przypadków sprzyjających</strong></p>\n<p>Zdarzenie „obie parzyste&quot;:<br>\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ pary}\\]</p>\n<p>Zdarzenie „obie nieparzyste&quot;:<br>\\[3 \\cdot 3 = 9 \\text{ par}\\]</p>\n<p>Łącznie przypadków sprzyjających:<br>\\[|A| = 4 + 9 = 13\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Prawdopodobieństwo</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{P(A) = \\frac{13}{25}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Rachunek prawdopodobieństwa (zdarzenia składowe)</h4>\n<p><strong>Definiujemy zdarzenia:</strong></p>\n<ul><li>\\(P\\) - pierwsza wylosowana liczba jest parzysta: \\(P(P) = \\frac{2}{5}\\)</li><li>\\(N\\) - pierwsza wylosowana liczba jest nieparzysta: \\(P(N) = \\frac{3}{5}\\)</li></ul>\n<p>Suma jest parzysta to: (obie parzyste) <strong>lub</strong> (obie nieparzyste). Zdarzenia te są rozłączne, więc:</p>\n<p>\\[P(A) = P(\\text{obie parzyste}) + P(\\text{obie nieparzyste})\\]</p>\n<p>Losowania są niezależne (losowanie ze zwracaniem), więc:</p>\n<p>\\[P(\\text{obie parzyste}) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}\\]</p>\n<p>\\[P(\\text{obie nieparzyste}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{4}{25} + \\frac{9}{25} = \\frac{13}{25}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>metoda klasyczna i rachunek prawdopodobieństwa dają ten sam rezultat</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong></p>\n<p>Prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyte w Sposobie 1 - liczymy liczbę przypadków sprzyjających i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników.</p>\n<p>Niezależność zdarzeń (wynika z własności prawdopodobieństwa warunkowego):<br>\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]<br>Użyte w Sposobie 2 - bo losujemy <strong>ze zwracaniem</strong>, więc drugie losowanie nie zależy od pierwszego.</p>\n<p>Addytywność dla zdarzeń rozłącznych:<br>\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 przy dodawaniu prawdopodobieństw dwóch rozłącznych przypadków.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Suma dwóch liczb jest parzysta <strong>tylko gdy obie są tej samej parzystości</strong> - nie wystarczy, że jedna jest parzysta. Częsty błąd to liczenie par „przynajmniej jedna parzysta&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Losowanie <strong>ze zwracaniem</strong> jest kluczowe - w każdym losowaniu mamy te same 5 liczb do wyboru. Gdyby było <strong>bez zwracania</strong>, przestrzeń zdarzeń miałaby \\(5 \\cdot 4 = 20\\) par i wyniki byłyby inne.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Para \\((6, 8)\\) i para \\((8, 6)\\) to <strong>dwa różne</strong> wyniki, bo liczymy kolejność losowania. Przestrzeń ma 25 elementów (nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(P(A)=\\dfrac{13}{25}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja</h5>\n<p>\\(|\\Omega|=5\\cdot 5=25\\) (ze zwracaniem). Suma jest parzysta ⇔ oba losowania parzyste lub oba nieparzyste.</p>\n<ul><li>Parzyste w \\(K\\): \\(\\{6,8\\}\\) → 2 liczby. Par parzystych: \\(2\\cdot 2=4\\).</li><li>Nieparzyste: \\(\\{5,7,9\\}\\) → 3 liczby. Par nieparzystych: \\(3\\cdot 3=9\\).</li><li>\\(|A|=4+9=13\\).</li></ul>\n<p>\\[P(A)=\\tfrac{13}{25}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo stochastyczne</h5>\n<p>\\(P(\\text{parzysta})=\\tfrac{2}{5}\\), \\(P(\\text{nieparzysta})=\\tfrac{3}{5}\\).<br>\\[P(A) = \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4+9}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego uważać</h5>\n<ul><li><strong>Bez zwracania</strong> to inne \\(\\Omega\\) (\\(5\\cdot 4=20\\)) → 0 pkt, jeżeli błędnie.</li><li>Podanie tylko \\(13\\) lub tylko \\(25\\) bez interpretacji → 0 pkt.</li><li>\\(P(A) = \\tfrac{13}{25}\\) jest równoważnie \\(0{,}52\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> suma parzysta ⇔ liczby są tej samej parzystości (zasada: P+P, N+N).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość.</p>\n<p>Liczby nieparzyste to 5,7,9 , a parzyste to 6,8 .</p>\n<p>Wszystkie uporządkowane zdarzenia sprzyjające są następujące:</p>\n<p>(5,5),(5,7),(5,9),</p>\n<p>(7,5),(7,7),(7,9),</p>\n<p>(9,5),(9,7),(9,9),</p>\n<p>(6,6),(6,8),(8,6),(8,8).</p>\n<p>Jest ich 13 .</p>\n<p>Wszystkich uporządkowanych wyników jest</p>\n<p>5·5=25.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>P(A)=(13)/(25).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\\\dfrac{13}{25}$</p>"}]}