{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nW schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki\nwydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.\nPodstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).\nDo wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.\nSchematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry).\nLinią przerywaną zaznaczono siatkę.\nOblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych\ntrzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na\nkażdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.\n31.\n0-1-\n2-3-4\n𝑦\n𝑦\n𝑦\n𝑥\nwybieg 1.\nwybieg 2.\nwybieg 3.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nW schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o {wspólnych} ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. [rysunek] Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.","answer":"x=4 , 5 m, y=3 m","answer_text":"Zadanie 31. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania dla sposobów I-V\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\n3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑥\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑥= 4,5 m\nALBO\n2\n5\nliczba\nparzysta\nliczba\nnieparzysta\n3\n5\n2\n5\nliczba\nparzysta\nliczba\nnieparzysta\n3\n5\n2\n5\nliczba\nparzysta\nliczba\nnieparzysta\n3\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑦\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑦= 3 m,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑥\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑥= 4,5 m,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑦\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑦= 3 m.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej\nzmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥), 𝑃(𝑥) = 𝑥(18 -2𝑥), 𝑃(𝑦) = 3 (9 -3\n2 𝑦) 𝑦\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta w zależności od jednej\nzmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 𝑥(6 -2\n3 𝑥), 𝑃(𝑦) = (9 -3\n2 𝑦) 𝑦.\n1 pkt - zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą\ndługością siatki, np. 4𝑥+ 6𝑦= 36.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑃= 𝑘𝑥𝑦, gdzie 𝑘> 0 i 𝑘≠1, i 𝑘≠3, ale nie zapisze, że dla\nprzyjętej wartości współczynnika 𝑘 pole 𝑃 osiąga wartość największą wtedy i tylko\nwtedy, gdy największą wartość osiąga iloczyn 𝑥𝑦, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty (za zapisanie warunku początkowego, za obliczenie wymiaru 𝑥 oraz obliczenie\nwymiaru 𝑦 adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).\n2. Jeżeli zdający zapisze błędną zależność między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą\ndługością siatki, ale jest ona postaci 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 36, gdzie 𝑎, 𝑏∈{2, 3, 4, 5, 6}, i rozwiąże\nzadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (za konsekwentne: wyznaczenie wzoru funkcji pola, obliczenie wymiaru 𝑥\noraz obliczenie wymiaru 𝑦, adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).\n3. Jeżeli zdający zapisze poprawnie warunek początkowy 4𝑥+ 6𝑦= 36, a następnie sumę\npól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej\ni otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres\nfunkcji 𝑃, która leży poza właściwą dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie warunku początkowego i wzoru na sumę pól\nlub pole jednego prostokąta).\nJeżeli natomiast zdający zapisze błędny warunek początkowy, ale taki jak wymieniony\nw uwadze 2., a następnie konsekwentnie do tego warunku wyznaczy sumę pól trzech\nprostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej i otrzyma\nwartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która\nleży poza dziedziną odpowiadającą wyznaczonej przez zdającego funkcji 𝑃, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za wyznaczenie wzoru funkcji 𝑃).\n4. Jeżeli zdający zapisze sumę pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako\nfunkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących symetrycznie względem\npierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie odwoła się do własności wykresu funkcji\nkwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający nie zapisze sumy pól trzech prostokątów (lub jednego prostokąta) jako\nfunkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza wartości pola dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦\ni na tej podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n6. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃, korzystając z rachunku\nróżniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\nZasady oceniania dla sposobu VI\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\n3 pkt - zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat\noraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\noraz obliczenie 𝑥= 4,5 m\nALBO\n- zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat\noraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\noraz obliczenie 𝑦= 3 m.\n2 pkt - zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat\noraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\n1 pkt - zapisanie związku między wymiarami prostokąta, np. 4𝑥+ 6𝑦= 36.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2\n3 𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 6 -2\n3 𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑦= 6 -2\n3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -\n18\n2 ⋅(-2) = 4,5 ∈(0, 9)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa\n𝑦= 6 -2\n3 ⋅4,5 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nSposób II\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑥: 𝑥= 9 -3\n2 𝑦.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑦. W tym celu\npodstawiamy 𝑥= 9 -3\n2 𝑦 i otrzymujemy\n𝑃(𝑦) = 3 (9 -3\n2 𝑦) 𝑦= -9\n2 𝑦(𝑦-6)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑥= 9 -3\n2 𝑦> 0 oraz 𝑦> 0\nZatem\n𝑦< 6 oraz 𝑦> 0\nZmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału (0, 6).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza\nwspółrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną pierwiastków równania:\n-9\n2 𝑦(𝑦-6) = 0\nZatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑝= 0 + 6\n2\n= 3 ∈(0, 6)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑥= 9 -3\n2 ⋅3 = 4,5\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Niech 𝑧 oznacza łączną szerokość trzech\nwybiegów. Wtedy 𝑧= 3𝑦.\nDługość siatki użytej do wykonanie ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania -\nmożna zapisać równaniem\n4𝑥+ 2𝑧= 36\nStąd wyznaczamy 𝑧: 𝑧= 18 -2𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑧> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 𝑧.\nZatem\n𝑃= 𝑥𝑧\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑧= 18 -2𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 𝑥(18 -2𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑧 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑧= 18 -2𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -\n18\n2 ⋅(-2) = 4,5 ∈(0, 9)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑧= 18 -2 ∙4,5 = 18 -9 = 9\n𝑦= 𝑧\n3 = 9\n3 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nSposób IV\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2\n3 𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 6 -2\n3 𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥) = 2𝑥(9 -𝑥)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑦= 6 -2\n3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nZ nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich\n𝑥 i (9 -𝑥) otrzymujemy\n√𝑥(9 -𝑥) ≤𝑥+ 9 -𝑥\n2\n√𝑥(9 -𝑥) ≤4,5\nStąd\n𝑥(9 -𝑥) ≤20,25\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 9 -𝑥, czyli dla 𝑥= 4,5.\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑦= 6 -2\n3 ⋅4,5 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób V\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2\n3 𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 6 -2\n3 𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑦= 6 -2\n3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑥) = -4𝑥+ 18 dla 𝑥∈(0, 9)\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 0\n-4𝑥+ 18 = 0\n𝑥= 4,5 ∈(0, 9)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 4\n1\n2)\n𝑃′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4\n1\n2 , 9)\nZatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4\n1\n2] oraz malejąca w przedziale [4 1\n2 ,9).\nStąd dla 𝑥= 4,5 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑦= 6 -2\n3 ⋅4,5 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nSposób VI\nRozważmy prostokąt o bokach długości 2𝑥 oraz 3𝑦 (jak na rysunku poniżej).\nObwód tego prostokąta jest równy długości siatki użytej do wykonania ogrodzenia wybiegów.\nZatem obwód tego prostokąta jest równy 4𝑥+ 6𝑦= 36.\nZe wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.\nZatem pole rozważanego prostokąta będzie największe, gdy 2𝑥= 3𝑦.\nRozwiązujemy układ równań\n{4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\ni otrzymujemy\n{𝑥= 4,5\n𝑦= 3\nPole tego prostokąta jest największe, gdy 𝑥= 4,5 oraz 𝑦= 3.\nPole tego prostokąta jest dwa razy większe od sumy pól podstaw trzech wybiegów.\nStąd suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\n𝑦\n𝑦\n𝑦\n𝑥\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin główny 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛+ 1)2\nALBO\n- zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛+ 2)2 ,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (𝑛+ 1)2 do postaci 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛+ 1 ,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (𝑛+ 2)2 do postaci 𝑛2 + 2𝑛+ 2𝑛+ 4 .\nZadanie 9.\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 do postaci\n𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) lub 𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 -3)\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 14.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 17.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest\nróżnica ciągu arytmetycznego, np.: -1 = 𝑎1 + 2𝑟, -165 =\n2𝑎1+14𝑟\n2\n⋅15 .\nZadanie 24.\n1 pkt - poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶\nALBO\n- poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4).\nZadanie 26.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 12\n25), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie 𝑥= 4,5 oraz 𝑦= 3.","solution":"Odpowiedź: x = 4,5 m oraz y = 3 m (suma pól = 40,5 m²)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nRozumienie problemu\n\nTrzy identyczne prostokątne wybiegi stoją obok siebie, dzieląc ściany wewnętrzne. Patrząc na rysunek:\n\n- góra i dół całej konstrukcji — dwa odcinki długości $3y$ (cała szerokość)\n- boki zewnętrzne (lewa i prawa) — dwa odcinki długości $x$\n- ściany wewnętrzne (między wybiegami) — dwa odcinki długości $x$ każdy\n\nŁącznie siatki: $2 \\cdot 3y + 2x + 2x = 6y + 4x$.\n\nZapisz równanie wiążące $x$ i $y$.\n\n$$6y + 4x = 36$$\n\nPodziel obie strony przez $2$:\n\n$$3y + 2x = 18 \\quad\\Rightarrow\\quad y = \\frac{18 - 2x}{3} = 6 - \\frac{2x}{3}$$\n\nDziedzina: $x > 0$ oraz $y > 0$. Z $y > 0$: $6 - \\tfrac{2x}{3} > 0 \\Rightarrow x < 9$. Zatem $x \\in (0, 9)$.\n\nWyraź sumę pól trzech wybiegów jako funkcję $x$.\n\nKażdy wybieg ma wymiar $x \\times y$, więc pole jednego to $x \\cdot y$. Suma pól trzech:\n\n$$S(x) = 3 \\cdot x \\cdot y = 3x \\cdot \\left(6 - \\frac{2x}{3}\\right) = 18x - 2x^2$$\n\nTo jest funkcja kwadratowa $S(x) = -2x^2 + 18x$ z ujemnym współczynnikiem przy $x^2$ — parabola otwierająca się w dół, więc maksimum jest w wierzchołku.\n\nWspółrzędna $x$ wierzchołka: $x_w = -\\dfrac{b}{2a}$, gdzie $a = -2$, $b = 18$:\n\n$$x_w = -\\frac{18}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{18}{-4} = \\frac{18}{4} = 4{,}5$$\n\nSprawdź, czy $x_w$ jest w dziedzinie. $x_w = 4{,}5 \\in (0, 9)$ ✓.\n\nOblicz odpowiadające $y$.\n\n$$y = 6 - \\frac{2 \\cdot 4{,}5}{3} = 6 - 3 = 3$$\n\n(Opcjonalnie) — oblicz maksymalną sumę pól.\n\n$$S(4{,}5) = 18 \\cdot 4{,}5 - 2 \\cdot (4{,}5)^2 = 81 - 40{,}5 = 40{,}5 \\text{ m}^2$$\n\nKlucz — typ zadania optymalizacyjnego\n\nTo klasyczny schemat: „coś\" jest ograniczone (suma materiału, obwód) → wyraź jedną zmienną przez drugą → zapisz wielkość do maksymalizacji jako funkcję jednej zmiennej → znajdź wierzchołek paraboli.\n\nProcedura:\n\n1. Wyłap wiązanie (constraint) — jakie równanie zachodzi między zmiennymi?\n2. Wyraź jedną zmienną ($y$ przez $x$ albo odwrotnie).\n3. Zapisz funkcję celu (sumę pól, objętość, długość itp.) używając tylko jednej zmiennej.\n4. Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne są dodatnie?\n5. Znajdź wierzchołek paraboli ($x_w = -\\tfrac{b}{2a}$) i sprawdź, czy jest w dziedzinie.\n6. Oblicz drugą zmienną i (opcjonalnie) wartość maksymalną.\n\nPunktacja CKE: 4 pkt to zwykle pełne rozwiązanie z wymiarami plus maksimum. 3 pkt — funkcja + argument maksimum. 2 pkt — sama funkcja $S(x)$ bez maksimum. 1 pkt — tylko wiązanie $3y + 2x = 18$ bez funkcji celu.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie równania $3y + 2x = 18$ (albo $6y + 4x = 36$).\n- 2 pkt — dodatkowo zapisanie funkcji $S(x) = -2x^2 + 18x$ (albo równoważnej).\n- 3 pkt — dodatkowo obliczenie $x = 4{,}5$.\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie z $x = 4{,}5$ i $y = 3$.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to złe policzenie łącznej długości siatki — z rysunku widać, że potrzeba: dwóch ścian długości 3y (góra i dół) PLUS czterech ścian długości x (dwie zewnętrzne pionowe + dwie wewnętrzne między wybiegami). Czyli 2·(3y) + 4·x = 36, nie 2·(3y) + 2·x = 36.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"optymalizacja, funkcja kwadratowa","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-4)
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki
wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.
Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).
Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry).
Linią przerywaną zaznaczono siatkę.
Oblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych
trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na
każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
31.
0-1-
2-3-4
𝑦
𝑦
𝑦
𝑥
wybieg 1.
wybieg 2.
wybieg 3.

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-P0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o {wspólnych} ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. [rysunek] Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
w sytuacjach dających się opisać funkcją
kwadratową.
Zasady oceniania dla sposobów I-V
4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥= 4,5 m
ALBO
2
5
liczba
parzysta
liczba
nieparzysta
3
5
2
5
liczba
parzysta
liczba
nieparzysta
3
5
2
5
liczba
parzysta
liczba
nieparzysta
3
5
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦= 3 m,
ALBO

\n\n

oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥= 4,5 m,
ALBO

\n\n

oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦= 3 m.
2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2
3 𝑥), 𝑃(𝑥) = 𝑥(18 -2𝑥), 𝑃(𝑦) = 3 (9 -3
2 𝑦) 𝑦
ALBO

\n\n

zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 𝑥(6 -2
3 𝑥), 𝑃(𝑦) = (9 -3
2 𝑦) 𝑦.
1 pkt - zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, np. 4𝑥+ 6𝑦= 36.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑃= 𝑘𝑥𝑦, gdzie 𝑘> 0 i 𝑘≠1, i 𝑘≠3, ale nie zapisze, że dla
\n

przyjętej wartości współczynnika 𝑘 pole 𝑃 osiąga wartość największą wtedy i tylko
wtedy, gdy największą wartość osiąga iloczyn 𝑥𝑦, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty (za zapisanie warunku początkowego, za obliczenie wymiaru 𝑥 oraz obliczenie
wymiaru 𝑦 adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze błędną zależność między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
\n

długością siatki, ale jest ona postaci 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 36, gdzie 𝑎, 𝑏∈{2, 3, 4, 5, 6}, i rozwiąże
zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie (za konsekwentne: wyznaczenie wzoru funkcji pola, obliczenie wymiaru 𝑥
oraz obliczenie wymiaru 𝑦, adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze poprawnie warunek początkowy 4𝑥+ 6𝑦= 36, a następnie sumę
\n

pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej
i otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres
funkcji 𝑃, która leży poza właściwą dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie warunku początkowego i wzoru na sumę pól
lub pole jednego prostokąta).
Jeżeli natomiast zdający zapisze błędny warunek początkowy, ale taki jak wymieniony
w uwadze 2., a następnie konsekwentnie do tego warunku wyznaczy sumę pól trzech
prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej i otrzyma
wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która
leży poza dziedziną odpowiadającą wyznaczonej przez zdającego funkcji 𝑃, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za wyznaczenie wzoru funkcji 𝑃).

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze sumę pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako
\n

funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej
współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących symetrycznie względem
pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie odwoła się do własności wykresu funkcji
kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze sumy pól trzech prostokątów (lub jednego prostokąta) jako
\n

funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza wartości pola dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦
i na tej podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃, korzystając z rachunku
\n

różniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie.
Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:

\n\n

LUB

\n\n

lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,
LUB

\n\n

lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.
Zasady oceniania dla sposobu VI
4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
3 pkt - zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
oraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36
2𝑥= 3𝑦
oraz obliczenie 𝑥= 4,5 m
ALBO

\n\n

oraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36
2𝑥= 3𝑦
oraz obliczenie 𝑦= 3 m.
2 pkt - zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
oraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36
2𝑥= 3𝑦
1 pkt - zapisanie związku między wymiarami prostokąta, np. 4𝑥+ 6𝑦= 36.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem
4𝑥+ 6𝑦= 36
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2
3 𝑥.
Z warunków zadania wynika, że
𝑥> 0 i 𝑦> 0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃= 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑦= 6 -2
3 𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2
3 𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑦= 6 -2
3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0
Zatem
𝑥< 9 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
𝑝= -
18
2 ⋅(-2) = 4,5 ∈(0, 9)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa
𝑦= 6 -2
3 ⋅4,5 = 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
Sposób II
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem
4𝑥+ 6𝑦= 36
Stąd wyznaczamy 𝑥: 𝑥= 9 -3
2 𝑦.
Z warunków zadania wynika, że
𝑥> 0 i 𝑦> 0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃= 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑦. W tym celu
podstawiamy 𝑥= 9 -3
2 𝑦 i otrzymujemy
𝑃(𝑦) = 3 (9 -3
2 𝑦) 𝑦= -9
2 𝑦(𝑦-6)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑥= 9 -3
2 𝑦> 0 oraz 𝑦> 0
Zatem
𝑦< 6 oraz 𝑦> 0
Zmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału (0, 6).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza
współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną pierwiastków równania:
-9
2 𝑦(𝑦-6) = 0
Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa
𝑝= 0 + 6
2
= 3 ∈(0, 6)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑥= 9 -3
2 ⋅3 = 4,5
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Niech 𝑧 oznacza łączną szerokość trzech
wybiegów. Wtedy 𝑧= 3𝑦.
Długość siatki użytej do wykonanie ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania -
można zapisać równaniem
4𝑥+ 2𝑧= 36
Stąd wyznaczamy 𝑧: 𝑧= 18 -2𝑥.
Z warunków zadania wynika, że
𝑥> 0 i 𝑧> 0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 𝑧.
Zatem
𝑃= 𝑥𝑧
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑧= 18 -2𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 𝑥(18 -2𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑧 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑧= 18 -2𝑥> 0 oraz 𝑥> 0
Zatem
𝑥< 9 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
𝑝= -
18
2 ⋅(-2) = 4,5 ∈(0, 9)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑧= 18 -2 ∙4,5 = 18 -9 = 9
𝑦= 𝑧
3 = 9
3 = 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
Sposób IV
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem
4𝑥+ 6𝑦= 36
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2
3 𝑥.
Z warunków zadania wynika, że
𝑥> 0 i 𝑦> 0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃= 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑦= 6 -2
3 𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2
3 𝑥) = 2𝑥(9 -𝑥)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑦= 6 -2
3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0
Zatem
𝑥< 9 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich
𝑥 i (9 -𝑥) otrzymujemy
√𝑥(9 -𝑥) ≤𝑥+ 9 -𝑥
2
√𝑥(9 -𝑥) ≤4,5
Stąd
𝑥(9 -𝑥) ≤20,25
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 9 -𝑥, czyli dla 𝑥= 4,5.
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑦= 6 -2
3 ⋅4,5 = 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób V
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem
4𝑥+ 6𝑦= 36
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2
3 𝑥.
Z warunków zadania wynika, że
𝑥> 0 i 𝑦> 0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃= 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑦= 6 -2
3 𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2
3 𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑦= 6 -2
3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0
Zatem
𝑥< 9 oraz 𝑥> 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑥) = -4𝑥+ 18 dla 𝑥∈(0, 9)
Obliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑃:
𝑃′(𝑥) = 0
-4𝑥+ 18 = 0
𝑥= 4,5 ∈(0, 9)
Badamy znak pochodnej:
𝑃′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 4
1
2)
𝑃′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4
1
2 , 9)
Zatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4
1
2] oraz malejąca w przedziale [4 1
2 ,9).
Stąd dla 𝑥= 4,5 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑦= 6 -2
3 ⋅4,5 = 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
Sposób VI
Rozważmy prostokąt o bokach długości 2𝑥 oraz 3𝑦 (jak na rysunku poniżej).
Obwód tego prostokąta jest równy długości siatki użytej do wykonania ogrodzenia wybiegów.
Zatem obwód tego prostokąta jest równy 4𝑥+ 6𝑦= 36.
Ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.
Zatem pole rozważanego prostokąta będzie największe, gdy 2𝑥= 3𝑦.
Rozwiązujemy układ równań
{4𝑥+ 6𝑦= 36
2𝑥= 3𝑦
i otrzymujemy
{𝑥= 4,5
𝑦= 3
Pole tego prostokąta jest największe, gdy 𝑥= 4,5 oraz 𝑦= 3.
Pole tego prostokąta jest dwa razy większe od sumy pól podstaw trzech wybiegów.
Stąd suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.
𝑦
𝑦
𝑦
𝑥
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2024.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n

błędnego przepisania
przestawienia cyfr
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
przestawienia położenia przecinka
przestawienia położenia znaku liczby.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
\n

oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
\n

lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
\n

geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 3.
1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛+ 1)2
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

Zadanie 9.
1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 do postaci
𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) lub 𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 -3)
ALBO

\n\n

Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 14.1.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 17.
1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest
różnica ciągu arytmetycznego, np.: -1 = 𝑎1 + 2𝑟, -165 =
2𝑎1+14𝑟
2
⋅15 .
Zadanie 24.
1 pkt - poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

Zadanie 26.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 30.
1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:

\n
  1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
\n

ze standardowych zasad oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
\n

zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze
wynik (np. 12
25), to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 31.
1 pkt - zapisanie 𝑥= 4,5 oraz 𝑦= 3.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: x = 4,5 m oraz y = 3 m (suma pól = 40,5 m²)

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Rozumienie problemu

\n

Trzy identyczne prostokątne wybiegi stoją obok siebie, dzieląc ściany wewnętrzne. Patrząc na rysunek:

\n\n

Łącznie siatki: $2 \\cdot 3y + 2x + 2x = 6y + 4x$.

\n

Zapisz równanie wiążące $x$ i $y$.

\n

$$6y + 4x = 36$$

\n

Podziel obie strony przez $2$:

\n

$$3y + 2x = 18 \\quad\\Rightarrow\\quad y = \\frac{18 - 2x}{3} = 6 - \\frac{2x}{3}$$

\n

Dziedzina: $x > 0$ oraz $y > 0$. Z $y > 0$: $6 - \\tfrac{2x}{3} > 0 \\Rightarrow x < 9$. Zatem $x \\in (0, 9)$.

\n

Wyraź sumę pól trzech wybiegów jako funkcję $x$.

\n

Każdy wybieg ma wymiar $x \\times y$, więc pole jednego to $x \\cdot y$. Suma pól trzech:

\n

$$S(x) = 3 \\cdot x \\cdot y = 3x \\cdot \\left(6 - \\frac{2x}{3}\\right) = 18x - 2x^2$$

\n

To jest funkcja kwadratowa $S(x) = -2x^2 + 18x$ z ujemnym współczynnikiem przy $x^2$ — parabola otwierająca się w dół, więc maksimum jest w wierzchołku.

\n

Współrzędna $x$ wierzchołka: $x_w = -\\dfrac{b}{2a}$, gdzie $a = -2$, $b = 18$:

\n

$$x_w = -\\frac{18}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{18}{-4} = \\frac{18}{4} = 4{,}5$$

\n

Sprawdź, czy $x_w$ jest w dziedzinie. $x_w = 4{,}5 \\in (0, 9)$ ✓.

\n

Oblicz odpowiadające $y$.

\n

$$y = 6 - \\frac{2 \\cdot 4{,}5}{3} = 6 - 3 = 3$$

\n

(Opcjonalnie) — oblicz maksymalną sumę pól.

\n

$$S(4{,}5) = 18 \\cdot 4{,}5 - 2 \\cdot (4{,}5)^2 = 81 - 40{,}5 = 40{,}5 \\text{ m}^2$$

\n

Klucz — typ zadania optymalizacyjnego

\n

To klasyczny schemat: „coś" jest ograniczone (suma materiału, obwód) → wyraź jedną zmienną przez drugą → zapisz wielkość do maksymalizacji jako funkcję jednej zmiennej → znajdź wierzchołek paraboli.

\n

Procedura:

\n
  1. Wyłap wiązanie (constraint) — jakie równanie zachodzi między zmiennymi?
  2. Wyraź jedną zmienną ($y$ przez $x$ albo odwrotnie).
  3. Zapisz funkcję celu (sumę pól, objętość, długość itp.) używając tylko jednej zmiennej.
  4. Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne są dodatnie?
  5. Znajdź wierzchołek paraboli ($x_w = -\\tfrac{b}{2a}$) i sprawdź, czy jest w dziedzinie.
  6. Oblicz drugą zmienną i (opcjonalnie) wartość maksymalną.
\n

Punktacja CKE: 4 pkt to zwykle pełne rozwiązanie z wymiarami plus maksimum. 3 pkt — funkcja + argument maksimum. 2 pkt — sama funkcja $S(x)$ bez maksimum. 1 pkt — tylko wiązanie $3y + 2x = 18$ bez funkcji celu.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Typowy błąd: Najgorszy błąd to złe policzenie łącznej długości siatki — z rysunku widać, że potrzeba: dwóch ścian długości 3y (góra i dół) PLUS czterech ścian długości x (dwie zewnętrzne pionowe + dwie wewnętrzne między wybiegami). Czyli 2·(3y) + 4·x = 36, nie 2·(3y) + 2·x = 36.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5 \\text{ m},\\quad y = 3 \\text{ m}\\)

\n

Suma pól podstaw trzech wybiegów wynosi maksymalnie \\(40{,}5 \\text{ m}^2\\).

\n

Sposób 1 - Pochodna funkcji pola

\n

Krok 1: Wyznacz długość ogrodzenia (warunek więzów)

\n

Patrząc na rysunek: trzy prostokąty ustawione obok siebie mają łączną szerokość \\(3y\\) i wysokość \\(x\\). Ogrodzenie składa się z:

\n\n

Łączna długość siatki:
\\[2 \\cdot 3y + 2x + 2x = 6y + 4x = 36\\]

\n

Upraszczamy przez 2:
\\[2x + 3y = 18\\]

\n

Krok 2: Wyraź \\(y\\) przez \\(x\\)

\n

\\[3y = 18 - 2x \\implies y = \\frac{18 - 2x}{3} = 6 - \\frac{2x}{3}\\]

\n

Dziedzina: \\(x > 0\\) oraz \\(y > 0\\), czyli \\(6 - \\frac{2x}{3} > 0 \\implies x < 9\\). Zatem \\(x \\in (0, 9)\\).

\n

Krok 3: Zapisz pole jako funkcję jednej zmiennej

\n

Suma pól trzech wybiegów:
\\[S = 3 \\cdot x \\cdot y = 3x \\cdot \\left(6 - \\frac{2x}{3}\\right) = 18x - 2x^2\\]

\n

Krok 4: Wyznacz maksimum za pomocą pochodnej

\n

\\[S(x) = -2x^2 + 18x\\]
\\[S'(x) = -4x + 18\\]

\n

Przyrównujemy do zera:
\\[S'(x) = 0 \\implies -4x + 18 = 0 \\implies x = \\frac{18}{4} = 4{,}5\\]

\n

Sprawdzamy, że to maksimum: \\(S''(x) = -4 < 0\\) - parabola skierowana ramionami w dół, więc punkt krytyczny jest maksimum.

\n

Krok 5: Wyznacz \\(y\\)

\n

\\[y = 6 - \\frac{2 \\cdot 4{,}5}{3} = 6 - \\frac{9}{3} = 6 - 3 = 3\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{x = 4{,}5 \\text{ m},\\quad y = 3 \\text{ m}}\\)

\n

Maksymalna suma pól: \\(S = 3 \\cdot 4{,}5 \\cdot 3 = 40{,}5 \\text{ m}^2\\)

\n

Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu (bez pochodnej)

\n

Z warunku więzów mamy \\(2x + 3y = 18\\), czyli \\(6xy\\) możemy ograniczyć korzystając z pełnego kwadratu.

\n

Przekształcamy funkcję \\(S\\) do postaci kanonicznej:

\n

\\[S(x) = -2x^2 + 18x = -2\\left(x^2 - 9x\\right)\\]

\n

Uzupełniamy do kwadratu:
\\[S(x) = -2\\left(x^2 - 9x + \\frac{81}{4} - \\frac{81}{4}\\right) = -2\\left(x - \\frac{9}{2}\\right)^2 + 2 \\cdot \\frac{81}{4}\\]

\n

\\[S(x) = -2\\left(x - 4{,}5\\right)^2 + 40{,}5\\]

\n

Ponieważ \\(-2(x-4{,}5)^2 \\leq 0\\), funkcja osiąga wartość największą gdy:
\\[x - 4{,}5 = 0 \\implies x = 4{,}5\\]

\n

i wtedy \\(S_{\\max} = 40{,}5 \\text{ m}^2\\).

\n

Stąd \\(y = 6 - \\frac{2 \\cdot 4{,}5}{3} = 3\\).

\n

Wynik identyczny: \\(x = 4{,}5 \\text{ m},\\quad y = 3 \\text{ m}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)

\n

Pochodna trójmianu kwadratowego:
\\[(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\\]

\n

Użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia punktu krytycznego funkcji \\(S(x) = -2x^2 + 18x\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]

\n

Użyliśmy jej w Sposobie 2 - uzupełnienie do kwadratu to dokładnie przejście do postaci kanonicznej. Dla \\(a = -2 < 0\\) wierzchołek jest maksimum.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to niepoprawne policzenie długości ogrodzenia. Uczniowie zapominają o 2 ścianach wewnętrznych (podziałach), licząc tylko zewnętrzny obwód \\(2x + 6y\\) zamiast \\(4x + 6y\\). To prowadzi do innego warunku więzów i błędnych wymiarów.
\n
⚠️ Uwaga: Pole to suma pól trzech wybiegów, czyli \\(S = 3xy\\), nie samo \\(xy\\). Choć przy szukaniu maksimum czynnik 3 nie zmienia położenia ekstremum, to przy wyznaczaniu wartości maksymalnej trzeba go uwzględnić.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj sprawdzić dziedzinę! Po wyznaczeniu \\(x = 4{,}5\\) upewnij się, że \\(y = 3 > 0\\) - warunki fizyczne (długości dodatnie) muszą być spełnione.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x=4{,}5\\) m, \\(y=3\\) m

\n
Sposób 1 - Funkcja kwadratowa z warunkiem na długość siatki
\n

Konstrukcja: 3 wybiegi w rzędzie. Długość siatki = \\(2\\cdot(3y) + 4\\cdot x = 6y+4x=36\\). Stąd \\(y = \\tfrac{36-4x}{6} = 6 - \\tfrac{2x}{3}\\).
Suma pól: \\(P(x)=3xy = 3x\\left(6-\\tfrac{2x}{3}\\right) = 18x - 2x^2\\).
Funkcja kwadratowa z \\(a=-2<0\\); maksimum w wierzchołku:
\\[x=-\\tfrac{18}{2\\cdot(-2)} = \\tfrac{18}{4} = 4{,}5.\\]
Stąd \\(y = 6 - \\tfrac{2\\cdot 4{,}5}{3} = 6-3 = 3\\).
\\(P_{\\max} = 3\\cdot 4{,}5\\cdot 3 = 40{,}5\\ \\text{m}^2\\).

\n
Sposób 2 - Alternatywny rozkład siatki
\n

Rzut z góry: 3 wybiegi \\(x\\times y\\) obok siebie (długi bok \\(3y\\)). Siatka tworzy:

\n\n

Suma: \\(6y+4x=36\\). Dalej tak jak wyżej.

\n
Dlaczego uważać
\n\n

Trik: Dla \\(P(x)=ax^2+bx\\) z \\(a<0\\) max w \\(x=-\\tfrac{b}{2a}\\).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z rysunku wynika, że na ogrodzenie zużyto:

\n

4x+6y=36.

\n

Stąd:

\n

y=6-(2)/(3)x.

\n

Suma pól trzech wybiegów:

\n

P=3xy.

\n

Po podstawieniu:

\n

P(x)=3x (6-(2)/(3)x )=18x-2x^2.

\n

Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna x wierzchołka:

\n

x_w=-(18)/(2·(-2))=(18)/(4)=4 , 5.

\n

y=6-(2)/(3)·4 , 5=6-3=3.

\n

Największe pole otrzymamy dla:

\n

x=4 , 5 m, y=3 m.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 4{,}5\\\\text{ m}$ oraz $y = 3\\\\text{ m}$

"}]}