{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \\(f(x) = x^{2} + bx + c\\) jest prosta o równaniu \\(x = -2\\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \\(f\\) jest liczba \\(1\\). Oblicz współczynniki \\(b\\) oraz \\(c\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)\n\n## Sposób 1 - oś symetrii + podstawienie miejsca zerowego\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z osi symetrii.**\n\nOś symetrii funkcji \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) ma równanie:\n\\[x = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nTu \\(a = 1\\), więc:\n\\[-\\frac{b}{2 \\cdot 1} = -2\\]\n\\[-\\frac{b}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad b = 4\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z warunku miejsca zerowego.**\n\nSkoro \\(x = 1\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(1) = 0\\):\n\\[1^2 + 4 \\cdot 1 + c = 0\\]\n\\[1 + 4 + c = 0\\]\n\\[c = -5\\]\n\n**Wynik: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)**, czyli \\(f(x) = x^2 + 4x - 5\\).\n\n## Sposób 2 - wzory Viète'a (symetria miejsc zerowych)\n\n**Krok 1: Znajdź drugie miejsce zerowe.**\n\nOba miejsca zerowe są symetryczne względem osi \\(x = -2\\).\nJedno zero to \\(x_1 = 1\\). Środek odcinka \\([x_1, x_2]\\) musi leżeć na osi symetrii:\n\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad \\frac{1 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad x_2 = -5\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj wzory Viète'a** dla \\(f(x) = x^2 + bx + c\\) (czyli \\(a = 1\\)):\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -b \\quad \\Longrightarrow \\quad 1 + (-5) = -b \\quad \\Longrightarrow \\quad b = 4\\]\n\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = c \\quad \\Longrightarrow \\quad 1 \\cdot (-5) = c \\quad \\Longrightarrow \\quad c = -5\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(f(x) = x^2 + 4x - 5\\)\n- Oś symetrii: \\(x = -\\frac{4}{2} = -2\\) ✓\n- \\(f(1) = 1 + 4 - 5 = 0\\) ✓\n- \\(f(-5) = 25 - 20 - 5 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii i wzory Viète'a:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} \\quad \\text{(współrzędna osi symetrii / wierzchołka)}\\]\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nOś symetrii użyta w Kroku 1 Sposobu 1 do wyznaczenia \\(b\\). Wzory Viète'a użyte w całym Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \\(x = -\\frac{b}{2a}\\). Bardzo częsty błąd: zapomnienie znaku minus i przyjęcie \\(\\frac{b}{2a} = -2\\), co daje \\(b = -4\\) (zły znak!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(a = 1\\) (współczynnik przy \\(x^2\\)), to ze wzorów Viète'a \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{1} = c\\) - wprost. Nie trzeba żadnego dzielenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(b = 4\\) nie zapomnij podstawić tej wartości przy liczeniu \\(c\\) z \\(f(1) = 0\\). Błąd: podstawienie \\(b\\) z osi symetrii jako zero do wzoru na \\(c\\), zamiast podstawienia \\(x = 1\\) do funkcji.\n\n**Odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetria pierwiastków\nOś symetrii paraboli: \\(x = -2\\). Pierwiastki są symetryczne względem osi, więc jeśli \\(x_1 = 1\\):\n\\[\\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\Rightarrow x_2 = -5.\\]\n\nWzór funkcji w postaci iloczynowej: \\(f(x) = (x-1)(x+5) = x^2 + 4x - 5\\).\nZatem \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Vieta / postać kanoniczna\nPierwsza współrzędna wierzchołka: \\(p = -\\tfrac{b}{2a} = -\\tfrac{b}{2}\\).\n\\(-\\tfrac{b}{2} = -2 \\Rightarrow b = 4.\\)\nPunkt \\((1, 0)\\) leży na wykresie: \\(0 = 1 + 4 + c \\Rightarrow c = -5\\).\n\n### Sposób 3 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = (x + 2)^2 + q\\). Podstawiając \\((1, 0)\\): \\(0 = 9 + q \\Rightarrow q = -9\\).\n\\(f(x) = (x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5\\). Stąd \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \\(f(x) = x^{2} + bx + c\\) jest prosta o równaniu \\(x = -2\\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \\(f\\) jest liczba \\(1\\). Oblicz współczynniki \\(b\\) oraz \\(c\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)

\n

Sposób 1 - oś symetrii + podstawienie miejsca zerowego

\n

Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z osi symetrii.

\n

Oś symetrii funkcji \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) ma równanie:
\\[x = -\\frac{b}{2a}\\]

\n

Tu \\(a = 1\\), więc:
\\[-\\frac{b}{2 \\cdot 1} = -2\\]
\\[-\\frac{b}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad b = 4\\]

\n

Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z warunku miejsca zerowego.

\n

Skoro \\(x = 1\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(1) = 0\\):
\\[1^2 + 4 \\cdot 1 + c = 0\\]
\\[1 + 4 + c = 0\\]
\\[c = -5\\]

\n

Wynik: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\), czyli \\(f(x) = x^2 + 4x - 5\\).

\n

Sposób 2 - wzory Viète'a (symetria miejsc zerowych)

\n

Krok 1: Znajdź drugie miejsce zerowe.

\n

Oba miejsca zerowe są symetryczne względem osi \\(x = -2\\).
Jedno zero to \\(x_1 = 1\\). Środek odcinka \\([x_1, x_2]\\) musi leżeć na osi symetrii:
\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad \\frac{1 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad x_2 = -5\\]

\n

Krok 2: Zastosuj wzory Viète'a dla \\(f(x) = x^2 + bx + c\\) (czyli \\(a = 1\\)):

\n

\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -b \\quad \\Longrightarrow \\quad 1 + (-5) = -b \\quad \\Longrightarrow \\quad b = 4\\]

\n

\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = c \\quad \\Longrightarrow \\quad 1 \\cdot (-5) = c \\quad \\Longrightarrow \\quad c = -5\\]

\n

Weryfikacja: \\(f(x) = x^2 + 4x - 5\\)

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na oś symetrii i wzory Viète'a:

\n

\\[p = -\\frac{b}{2a} \\quad \\text{(współrzędna osi symetrii / wierzchołka)}\\]

\n

\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]

\n

Oś symetrii użyta w Kroku 1 Sposobu 1 do wyznaczenia \\(b\\). Wzory Viète'a użyte w całym Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór na oś symetrii to \\(x = -\\frac{b}{2a}\\). Bardzo częsty błąd: zapomnienie znaku minus i przyjęcie \\(\\frac{b}{2a} = -2\\), co daje \\(b = -4\\) (zły znak!).
\n
⚠️ Uwaga: Skoro \\(a = 1\\) (współczynnik przy \\(x^2\\)), to ze wzorów Viète'a \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{1} = c\\) - wprost. Nie trzeba żadnego dzielenia.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(b = 4\\) nie zapomnij podstawić tej wartości przy liczeniu \\(c\\) z \\(f(1) = 0\\). Błąd: podstawienie \\(b\\) z osi symetrii jako zero do wzoru na \\(c\\), zamiast podstawienia \\(x = 1\\) do funkcji.
\n

Odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)

\n
Sposób 1 - Symetria pierwiastków
\n

Oś symetrii paraboli: \\(x = -2\\). Pierwiastki są symetryczne względem osi, więc jeśli \\(x_1 = 1\\):
\\[\\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\Rightarrow x_2 = -5.\\]

\n

Wzór funkcji w postaci iloczynowej: \\(f(x) = (x-1)(x+5) = x^2 + 4x - 5\\).
Zatem \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).

\n
Sposób 2 - Wzór Vieta / postać kanoniczna
\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka: \\(p = -\\tfrac{b}{2a} = -\\tfrac{b}{2}\\).
\\(-\\tfrac{b}{2} = -2 \\Rightarrow b = 4.\\)
Punkt \\((1, 0)\\) leży na wykresie: \\(0 = 1 + 4 + c \\Rightarrow c = -5\\).

\n
Sposób 3 - Postać kanoniczna
\n

\\(f(x) = (x + 2)^2 + q\\). Podstawiając \\((1, 0)\\): \\(0 = 9 + q \\Rightarrow q = -9\\).
\\(f(x) = (x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5\\). Stąd \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).

\n

Odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).

"}]}