{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Ciąg arytmetyczny \\((a_{n})\\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \\((-1)\\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \\((-165)\\). Oblicz różnicę tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: różnica ciągu \\(r = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z definicji ciągu arytmetycznego\n\n**Co wiemy?** Mamy dwa warunki - jeden dla wyrazu, drugi dla sumy. Zapiszmy je jako układ równań.\n\n**Krok 1: Warunek dla trzeciego wyrazu.**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\\[a_3 = a_1 + 2r = -1 \\tag{I}\\]\n\n**Krok 2: Warunek dla sumy piętnastu wyrazów.**\n\nWzór na sumę: \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\), więc dla \\(n = 15\\):\n\\[S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = 15(a_1 + 7r) = -165\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(15\\):\n\\[a_1 + 7r = -11 \\tag{II}\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy układ.**\n\nOdejmujemy równanie (I) od (II):\n\\[(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1)\\]\n\\[5r = -10\\]\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wykorzystanie wzoru na sumę przez wyraz środkowy\n\nW ciągu arytmetycznym suma \\(n\\) wyrazów równa się \\(n\\) razy wyraz środkowy. Dla \\(n = 15\\) wyrazem środkowym jest \\(a_8\\):\n\\[S_{15} = 15 \\cdot a_8 = -165\\]\n\\[a_8 = -11\\]\n\nTeraz mamy \\(a_3\\) i \\(a_8\\). Różnica numerów wyrazów: \\(8 - 3 = 5\\), różnica wartości:\n\\[a_8 = a_3 + 5r\\]\n\\[-11 = -1 + 5r\\]\n\\[5r = -10\\]\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - unikamy układu dwóch równań!\n\n**Weryfikacja (dla pewności):**\n\nZ \\(r = -2\\) i \\(a_3 = -1\\):\n\\[a_1 = a_3 - 2r = -1 - 2\\cdot(-2) = 3\\]\n\n\\[S_{15} = \\frac{15(2 \\cdot 3 + 14 \\cdot (-2))}{2} = \\frac{15(6 - 28)}{2} = \\frac{15 \\cdot (-22)}{2} = -165 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do zapisania warunku \\(a_3 = -1\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go do zapisania warunku \\(S_{15} = -165\\).\n\nWłasność wyrazu środkowego (wynika ze wzoru na sumę):\n\\[S_n = n \\cdot a_{\\frac{n+1}{2}} \\quad \\text{(dla nieparzystego } n\\text{)}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wyraz środkowy \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\) działa tylko gdy liczba wyrazów jest **nieparzysta** - wtedy istnieje jeden wyraz dokładnie w środku. Dla parzystej liczby wyrazów (np. \\(S_{16}\\)) nie ma jednego wyrazu środkowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu równań łatwo o błąd znaku: \\(-11 - (-1) = -11 + 1 = -10\\), nie \\(-12\\). Różnica \\(r = -2\\), nie \\(-\\frac{12}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **różnicy** \\(r\\), nie pierwszego wyrazu \\(a_1\\). Nie kończ na wyznaczeniu \\(a_1 = 3\\) - zadanie prosi o \\(r\\)!\n\n**Odpowiedź: \\(r = -2\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\n\\(a_3 = a_1 + 2r = -1\\).\n\\(S_{15} = \\dfrac{2a_1 + 14r}{2}\\cdot 15 = -165\\), czyli \\(a_1 + 7r = -11\\).\n\nOdejmujemy: \\((a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1) \\Rightarrow 5r = -10 \\Rightarrow r = -2.\\)\n\n### Sposób 2 - Przez \\(a_8\\)\nSuma 15 wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_{15} = 15\\cdot a_8\\) (wyraz środkowy).\n\\(15a_8 = -165 \\Rightarrow a_8 = -11\\).\nDalej: \\(a_8 = a_3 + 5r \\Rightarrow -11 = -1 + 5r \\Rightarrow r = -2\\).\n\n### Sposób 3 - Przez \\(a_1 + a_{15}\\)\n\\(S_{15} = \\dfrac{a_1 + a_{15}}{2}\\cdot 15 = -165\\), więc \\(a_1 + a_{15} = -22\\).\n\\(a_1 + a_{15} = 2a_3 + 10r = -2 + 10r = -22 \\Rightarrow r = -2\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(r = -2\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Ciąg arytmetyczny \\((a_{n})\\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \\((-1)\\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \\((-165)\\). Oblicz różnicę tego ciągu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: różnica ciągu \\(r = -2\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z definicji ciągu arytmetycznego

\n

Co wiemy? Mamy dwa warunki - jeden dla wyrazu, drugi dla sumy. Zapiszmy je jako układ równań.

\n

Krok 1: Warunek dla trzeciego wyrazu.

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:
\\[a_3 = a_1 + 2r = -1 \\tag{I}\\]

\n

Krok 2: Warunek dla sumy piętnastu wyrazów.

\n

Wzór na sumę: \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\), więc dla \\(n = 15\\):
\\[S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = 15(a_1 + 7r) = -165\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(15\\):
\\[a_1 + 7r = -11 \\tag{II}\\]

\n

Krok 3: Rozwiązujemy układ.

\n

Odejmujemy równanie (I) od (II):
\\[(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1)\\]
\\[5r = -10\\]
\\[\\boxed{r = -2}\\]

\n

Sposób 2 - Wykorzystanie wzoru na sumę przez wyraz środkowy

\n

W ciągu arytmetycznym suma \\(n\\) wyrazów równa się \\(n\\) razy wyraz środkowy. Dla \\(n = 15\\) wyrazem środkowym jest \\(a_8\\):
\\[S_{15} = 15 \\cdot a_8 = -165\\]
\\[a_8 = -11\\]

\n

Teraz mamy \\(a_3\\) i \\(a_8\\). Różnica numerów wyrazów: \\(8 - 3 = 5\\), różnica wartości:
\\[a_8 = a_3 + 5r\\]
\\[-11 = -1 + 5r\\]
\\[5r = -10\\]
\\[\\boxed{r = -2}\\]

\n

Ten sposób jest szybszy - unikamy układu dwóch równań!

\n

Weryfikacja (dla pewności):

\n

Z \\(r = -2\\) i \\(a_3 = -1\\):
\\[a_1 = a_3 - 2r = -1 - 2\\cdot(-2) = 3\\]

\n

\\[S_{15} = \\frac{15(2 \\cdot 3 + 14 \\cdot (-2))}{2} = \\frac{15(6 - 28)}{2} = \\frac{15 \\cdot (-22)}{2} = -165 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do zapisania warunku \\(a_3 = -1\\).

\n

Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy go do zapisania warunku \\(S_{15} = -165\\).

\n

Własność wyrazu środkowego (wynika ze wzoru na sumę):
\\[S_n = n \\cdot a_{\\frac{n+1}{2}} \\quad \\text{(dla nieparzystego } n\\text{)}\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 - \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór na wyraz środkowy \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\) działa tylko gdy liczba wyrazów jest nieparzysta - wtedy istnieje jeden wyraz dokładnie w środku. Dla parzystej liczby wyrazów (np. \\(S_{16}\\)) nie ma jednego wyrazu środkowego.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu równań łatwo o błąd znaku: \\(-11 - (-1) = -11 + 1 = -10\\), nie \\(-12\\). Różnica \\(r = -2\\), nie \\(-\\frac{12}{5}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie dotyczy różnicy \\(r\\), nie pierwszego wyrazu \\(a_1\\). Nie kończ na wyznaczeniu \\(a_1 = 3\\) - zadanie prosi o \\(r\\)!
\n

Odpowiedź: \\(r = -2\\)

\n
Sposób 1 - Układ równań
\n

\\(a_3 = a_1 + 2r = -1\\).
\\(S_{15} = \\dfrac{2a_1 + 14r}{2}\\cdot 15 = -165\\), czyli \\(a_1 + 7r = -11\\).

\n

Odejmujemy: \\((a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1) \\Rightarrow 5r = -10 \\Rightarrow r = -2.\\)

\n
Sposób 2 - Przez \\(a_8\\)
\n

Suma 15 wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_{15} = 15\\cdot a_8\\) (wyraz środkowy).
\\(15a_8 = -165 \\Rightarrow a_8 = -11\\).
Dalej: \\(a_8 = a_3 + 5r \\Rightarrow -11 = -1 + 5r \\Rightarrow r = -2\\).

\n
Sposób 3 - Przez \\(a_1 + a_{15}\\)
\n

\\(S_{15} = \\dfrac{a_1 + a_{15}}{2}\\cdot 15 = -165\\), więc \\(a_1 + a_{15} = -22\\).
\\(a_1 + a_{15} = 2a_3 + 10r = -2 + 10r = -22 \\Rightarrow r = -2\\).

\n

Odpowiedź: \\(r = -2\\).

"}]}