{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest równoległobok \\(ABCD\\), w którym \\(A = (-2, 6)\\) oraz \\(B = (10, 2)\\). Przekątne \\(AC\\) oraz \\(BD\\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \\(P = (6, 7)\\). Oblicz długość boku \\(BC\\) tego równoległoboku.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka C ze środka przekątnej\n\n**Kluczowa właściwość równoległoboku:** przekątne bisekują się wzajemnie, czyli punkt przecięcia jest środkiem obu przekątnych.\n\nSkoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\), to:\n\\[P = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nWyznaczamy \\(C = (x_C, y_C)\\):\n\\[\\frac{-2 + x_C}{2} = 6 \\implies x_C = 14\\]\n\\[\\frac{6 + y_C}{2} = 7 \\implies y_C = 8\\]\n\nZatem **\\(C = (14, 8)\\)**.\n\nTeraz liczymy długość boku \\(BC\\), mając \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52}\\]\n\\[\\boxed{|BC| = 2\\sqrt{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie D i sprawdzenie \\(|AD| = |BC|\\)\n\nSkoro \\(P\\) jest też środkiem przekątnej \\(BD\\):\n\\[\\frac{10 + x_D}{2} = 6 \\implies x_D = 2, \\qquad \\frac{2 + y_D}{2} = 7 \\implies y_D = 12\\]\n\nZatem **\\(D = (2, 12)\\)**.\n\nW równoległoboku \\(BC \\parallel AD\\) i \\(|BC| = |AD|\\), więc sprawdzamy:\n\\[|AD| = \\sqrt{(2 - (-2))^2 + (12 - 6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)** ✓\n\nMożemy też sprawdzić, że \\(\\overrightarrow{BC} = [4, 6]\\) i \\(\\overrightarrow{AD} = [4, 6]\\) - wektory równe, czyli \\(BC \\parallel AD\\) i tej samej długości. Figura jest rzeczywiście równoległobokiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do obliczenia \\(|BC|\\) oraz weryfikacji \\(|AD|\\).\n\n**Dział 11 - środek odcinka:**\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy, żeby wyznaczyć współrzędne \\(C\\) (i \\(D\\)) z faktu, że \\(P\\) jest środkiem przekątnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wyznaczaj \\(|BC|\\) jako odległości \\(B\\) od \\(P\\)! \\(P\\) jest środkiem **przekątnej**, nie boku. Łatwo się pomylić i policzyć \\(|BP|\\) zamiast \\(|BC|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\) - uprość pierwiastek do końca, bo \\(\\sqrt{52}\\) nie jest postacią uproszczoną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność „przekątne równoległoboku bisekują się\" jest kluczowa - bez niej zadanie jest nie do rozwiązania. Upewnij się, że nie mylisz jej z prostokątem (gdzie przekątne są równej długości) lub rombem (gdzie się przecinają prostopadle).\n\n**Odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\) (czyli \\(\\sqrt{52}\\))**\n\n### Sposób 1 - Znalezienie \\(C\\)\nPrzekątne równoległoboku przecinają się w połowie. \\(P\\) jest środkiem \\(AC\\):\n\\[P = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2}, \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right) = (6, 7).\\]\n\\(\\dfrac{-2 + x_C}{2} = 6 \\Rightarrow x_C = 14\\).\n\\(\\dfrac{6 + y_C}{2} = 7 \\Rightarrow y_C = 8\\).\nZatem \\(C = (14, 8)\\).\n\nDługość \\(|BC|\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez \\(D\\)\n\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\): \\(D = (2, 12)\\). W równoległoboku \\(|BC| = |AD|\\):\n\\(|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{16+36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\).\n\n### Sposób 3 - Przez środek \\(S\\) boku \\(AB\\)\n\\(S = (4, 4)\\). Wektor \\(\\vec{PS} = (-2, -3)\\), \\(|BC| = 2|PS| = 2\\sqrt{4+9} = 2\\sqrt{13}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest równoległobok \\(ABCD\\), w którym \\(A = (-2, 6)\\) oraz \\(B = (10, 2)\\). Przekątne \\(AC\\) oraz \\(BD\\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \\(P = (6, 7)\\). Oblicz długość boku \\(BC\\) tego równoległoboku.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka C ze środka przekątnej

\n

Kluczowa właściwość równoległoboku: przekątne bisekują się wzajemnie, czyli punkt przecięcia jest środkiem obu przekątnych.

\n

Skoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\), to:
\\[P = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]

\n

Wyznaczamy \\(C = (x_C, y_C)\\):
\\[\\frac{-2 + x_C}{2} = 6 \\implies x_C = 14\\]
\\[\\frac{6 + y_C}{2} = 7 \\implies y_C = 8\\]

\n

Zatem \\(C = (14, 8)\\).

\n

Teraz liczymy długość boku \\(BC\\), mając \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):
\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]
\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52}\\]
\\[\\boxed{|BC| = 2\\sqrt{13}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie D i sprawdzenie \\(|AD| = |BC|\\)

\n

Skoro \\(P\\) jest też środkiem przekątnej \\(BD\\):
\\[\\frac{10 + x_D}{2} = 6 \\implies x_D = 2, \\qquad \\frac{2 + y_D}{2} = 7 \\implies y_D = 12\\]

\n

Zatem \\(D = (2, 12)\\).

\n

W równoległoboku \\(BC \\parallel AD\\) i \\(|BC| = |AD|\\), więc sprawdzamy:
\\[|AD| = \\sqrt{(2 - (-2))^2 + (12 - 6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\) ✓

\n

Możemy też sprawdzić, że \\(\\overrightarrow{BC} = [4, 6]\\) i \\(\\overrightarrow{AD} = [4, 6]\\) - wektory równe, czyli \\(BC \\parallel AD\\) i tej samej długości. Figura jest rzeczywiście równoległobokiem.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy go do obliczenia \\(|BC|\\) oraz weryfikacji \\(|AD|\\).

\n

Dział 11 - środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy, żeby wyznaczyć współrzędne \\(C\\) (i \\(D\\)) z faktu, że \\(P\\) jest środkiem przekątnej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wyznaczaj \\(|BC|\\) jako odległości \\(B\\) od \\(P\\)! \\(P\\) jest środkiem przekątnej, nie boku. Łatwo się pomylić i policzyć \\(|BP|\\) zamiast \\(|BC|\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\) - uprość pierwiastek do końca, bo \\(\\sqrt{52}\\) nie jest postacią uproszczoną.
\n
⚠️ Uwaga: Własność „przekątne równoległoboku bisekują się" jest kluczowa - bez niej zadanie jest nie do rozwiązania. Upewnij się, że nie mylisz jej z prostokątem (gdzie przekątne są równej długości) lub rombem (gdzie się przecinają prostopadle).
\n

Odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\) (czyli \\(\\sqrt{52}\\))

\n
Sposób 1 - Znalezienie \\(C\\)
\n

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. \\(P\\) jest środkiem \\(AC\\):
\\[P = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2}, \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right) = (6, 7).\\]
\\(\\dfrac{-2 + x_C}{2} = 6 \\Rightarrow x_C = 14\\).
\\(\\dfrac{6 + y_C}{2} = 7 \\Rightarrow y_C = 8\\).
Zatem \\(C = (14, 8)\\).

\n

Długość \\(|BC|\\):
\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}.\\]

\n
Sposób 2 - Przez \\(D\\)
\n

\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\): \\(D = (2, 12)\\). W równoległoboku \\(|BC| = |AD|\\):
\\(|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{16+36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\).

\n
Sposób 3 - Przez środek \\(S\\) boku \\(AB\\)
\n

\\(S = (4, 4)\\). Wektor \\(\\vec{PS} = (-2, -3)\\), \\(|BC| = 2|PS| = 2\\sqrt{4+9} = 2\\sqrt{13}\\).

\n

Odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\).

"}]}