{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest pięcioelementowy zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \\(K\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{13}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Parzyste/nieparzyste składniki sumy\n\n**Kluczowa obserwacja:** suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy **obie są parzyste** lub **obie są nieparzyste**.\n\n**Krok 1. Sklasyfikuj liczby ze zbioru \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\):**\n\n- Liczby nieparzyste: \\(5, 7, 9\\) → **3 liczby**\n- Liczby parzyste: \\(6, 8\\) → **2 liczby**\n\n**Krok 2. Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie. Łączna liczba wyników:\n\\[\\left|\\Omega\\right| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Krok 3. Policz zdarzenia sprzyjające (suma parzysta).**\n\n*Przypadek 1: obie liczby parzyste*\n\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ wyniki}\\]\n\n*Przypadek 2: obie liczby nieparzyste*\n\\[3 \\cdot 3 = 9 \\text{ wyników}\\]\n\nŁącznie zdarzeń sprzyjających: \\(4 + 9 = 13\\)\n\n**Krok 4. Oblicz prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{13}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe (drzewko zdarzeń)\n\nNiech \\(P\\) = \"wylosowano liczbę parzystą\", \\(N\\) = \"wylosowano liczbę nieparzystą\".\n\n\\[P(P) = \\frac{2}{5}, \\quad P(N) = \\frac{3}{5}\\]\n\nSuma jest parzysta w dwóch rozłącznych przypadkach:\n\n\\[P(A) = P(N_1 \\cap N_2) + P(P_1 \\cap P_2)\\]\n\nPonieważ losowania są niezależne (zwracanie):\n\\[P(A) = P(N) \\cdot P(N) + P(P) \\cdot P(P) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} + \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - 13 zdarzeń sprzyjających na 25 równo prawdopodobnych wyników.\n\n**Dział 14 (s. 29)** - zdarzenia rozłączne i niezależne:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B) \\quad \\text{(gdy zdarzenia niezależne)}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - mnożenie prawdopodobieństw niezależnych losowań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Losowanie ze zwracaniem\" oznacza, że przy drugim losowaniu wciąż mamy 5 liczb do wyboru - nie 4. Gdyby było **bez zwracania**, wyniki byłyby inne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma jest parzysta tylko gdy **oba składniki mają tę samą parzystość** (oba parzyste LUB oba nieparzyste). Częsty błąd: liczenie tylko przypadku \"oba parzyste\" i pominięcie \"oba nieparzyste\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność losowania ma znaczenie (zapisujemy w kolejności losowania), więc para \\((5,7)\\) i \\((7,5)\\) to dwa różne wyniki. Przestrzeń \\(\\Omega\\) ma \\(5^2 = 25\\) elementów, nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\).\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia i dodawania\nZbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\): parzyste \\(\\{6, 8\\}\\) (2 liczby), nieparzyste \\(\\{5, 7, 9\\}\\) (3 liczby).\n\nZdarzenia elementarne: wszystkie pary \\((x, y)\\), \\(x, y \\in K\\). \\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).\n\nSuma parzysta ⇔ **obie** liczby parzyste lub **obie** nieparzyste:\n- Obie parzyste: \\(2\\cdot 2 = 4\\).\n- Obie nieparzyste: \\(3\\cdot 3 = 9\\).\nRazem: \\(|A| = 4 + 9 = 13\\).\n\n\\[P(A) = \\dfrac{13}{25}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\n\\(P(\\text{parz.}) = \\tfrac{2}{5}\\), \\(P(\\text{nieparz.}) = \\tfrac{3}{5}\\).\n\\[P(A) = \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4}{25} + \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela\nTabela \\(5\\times 5\\). Sumy parzyste: P+P lub N+N. W 25 polach 13 ma sumę parzystą.\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Dany jest pięcioelementowy zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \\(K\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{13}{25}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Parzyste/nieparzyste składniki sumy</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>obie są parzyste</strong> lub <strong>obie są nieparzyste</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1. Sklasyfikuj liczby ze zbioru \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\):</strong></p>\n<ul><li>Liczby nieparzyste: \\(5, 7, 9\\) → <strong>3 liczby</strong></li><li>Liczby parzyste: \\(6, 8\\) → <strong>2 liczby</strong></li></ul>\n<p><strong>Krok 2. Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych.</strong></p>\n<p>Losujemy ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie. Łączna liczba wyników:<br>\\[\\left|\\Omega\\right| = 5 \\cdot 5 = 25\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Policz zdarzenia sprzyjające (suma parzysta).</strong></p>\n<p><em>Przypadek 1: obie liczby parzyste</em><br>\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ wyniki}\\]</p>\n<p><em>Przypadek 2: obie liczby nieparzyste</em><br>\\[3 \\cdot 3 = 9 \\text{ wyników}\\]</p>\n<p>Łącznie zdarzeń sprzyjających: \\(4 + 9 = 13\\)</p>\n<p><strong>Krok 4. Oblicz prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[\\boxed{P(A) = \\frac{13}{25}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe (drzewko zdarzeń)</h4>\n<p>Niech \\(P\\) = &quot;wylosowano liczbę parzystą&quot;, \\(N\\) = &quot;wylosowano liczbę nieparzystą&quot;.</p>\n<p>\\[P(P) = \\frac{2}{5}, \\quad P(N) = \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p>Suma jest parzysta w dwóch rozłącznych przypadkach:</p>\n<p>\\[P(A) = P(N_1 \\cap N_2) + P(P_1 \\cap P_2)\\]</p>\n<p>Ponieważ losowania są niezależne (zwracanie):<br>\\[P(A) = P(N) \\cdot P(N) + P(P) \\cdot P(P) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} + \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny z Metodą 1.</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 - 13 zdarzeń sprzyjających na 25 równo prawdopodobnych wyników.</p>\n<p><strong>Dział 14 (s. 29)</strong> - zdarzenia rozłączne i niezależne:<br>\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]<br>\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B) \\quad \\text{(gdy zdarzenia niezależne)}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 - mnożenie prawdopodobieństw niezależnych losowań.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Losowanie ze zwracaniem&quot; oznacza, że przy drugim losowaniu wciąż mamy 5 liczb do wyboru - nie 4. Gdyby było <strong>bez zwracania</strong>, wyniki byłyby inne!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Suma jest parzysta tylko gdy <strong>oba składniki mają tę samą parzystość</strong> (oba parzyste LUB oba nieparzyste). Częsty błąd: liczenie tylko przypadku &quot;oba parzyste&quot; i pominięcie &quot;oba nieparzyste&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność losowania ma znaczenie (zapisujemy w kolejności losowania), więc para \\((5,7)\\) i \\((7,5)\\) to dwa różne wyniki. Przestrzeń \\(\\Omega\\) ma \\(5^2 = 25\\) elementów, nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\).</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła mnożenia i dodawania</h5>\n<p>Zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\): parzyste \\(\\{6, 8\\}\\) (2 liczby), nieparzyste \\(\\{5, 7, 9\\}\\) (3 liczby).</p>\n<p>Zdarzenia elementarne: wszystkie pary \\((x, y)\\), \\(x, y \\in K\\). \\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).</p>\n<p>Suma parzysta ⇔ <strong>obie</strong> liczby parzyste lub <strong>obie</strong> nieparzyste:</p>\n<ul><li>Obie parzyste: \\(2\\cdot 2 = 4\\).</li><li>Obie nieparzyste: \\(3\\cdot 3 = 9\\).</li></ul>\n<p>Razem: \\(|A| = 4 + 9 = 13\\).</p>\n<p>\\[P(A) = \\dfrac{13}{25}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo stochastyczne</h5>\n<p>\\(P(\\text{parz.}) = \\tfrac{2}{5}\\), \\(P(\\text{nieparz.}) = \\tfrac{3}{5}\\).<br>\\[P(A) = \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4}{25} + \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]</p>\n<h5>Sposób 3 - Tabela</h5>\n<p>Tabela \\(5\\times 5\\). Sumy parzyste: P+P lub N+N. W 25 polach 13 ma sumę parzystą.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\).</p>"}]}