{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \\(108\\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \\(\\frac{1}{3}\\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \\(\\alpha\\) (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \\(\\alpha\\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-A-2405/z36.png\n\n. Oblicz cosinus kąta 𝛼 oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 𝛼 | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{3}, \\quad P_c = 162\\]\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów z warunków, potem geometria\n\n**Krok 1: Wyznaczenie krawędzi podstawy i wysokości**\n\nOznaczmy krawędź podstawy \\(a\\) i wysokość \\(h\\). Z danego stosunku:\n\\[\\frac{a}{h} = \\frac{1}{4} \\implies h = 4a\\]\n\nObjętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (podstawa to kwadrat):\n\\[V = a^2 \\cdot h = a^2 \\cdot 4a = 4a^3 = 108\\]\n\\[a^3 = 27 \\implies \\boxed{a = 3}\\]\n\\[\\boxed{h = 4 \\cdot 3 = 12}\\]\n\n**Krok 2: Cosinus kąta \\(\\alpha\\)**\n\nPrzekątna graniastosłupa biegnie od wierzchołka podstawy dolnej do **przeciwległego** wierzchołka podstawy górnej.\n\nJej rzut na płaszczyznę podstawy to **przekątna kwadratu** o boku \\(a = 3\\):\n\\[d_{\\text{podstawy}} = a\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}\\]\n\nDługość całej przekątnej przestrzennej:\n\\[d = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^2 + h^2} = \\sqrt{2a^2 + h^2} = \\sqrt{2 \\cdot 9 + 144} = \\sqrt{18 + 144} = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną a podstawą, więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{d_{\\text{podstawy}}}{d} = \\frac{3\\sqrt{2}}{9\\sqrt{2}} = \\frac{3}{9} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Pole powierzchni całkowitej**\n\nDwie podstawy (kwadraty):\n\\[P_{\\text{podstawy}} = 2 \\cdot a^2 = 2 \\cdot 9 = 18\\]\n\nCztery prostokątne ściany boczne:\n\\[P_{\\text{boczna}} = 4 \\cdot a \\cdot h = 4 \\cdot 3 \\cdot 12 = 144\\]\n\nŁącznie:\n\\[\\boxed{P_c = 18 + 144 = 162}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez tangens, potem cos z jedynki\n\n**Wyznaczenie wymiarów identyczne jak w Sposobie 1** (\\(a = 3\\), \\(h = 12\\)).\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży w prostokącie zawierającym przekątną przestrzenną:\n- Przyprostokątna pozioma: \\(d_{\\text{podstawy}} = 3\\sqrt{2}\\)\n- Przyprostokątna pionowa: \\(h = 12\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d_{\\text{podstawy}}} = \\frac{12}{3\\sqrt{2}} = \\frac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nKorzystam z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = 8 \\implies \\sin^2\\alpha = 8\\cos^2\\alpha\\]\n\\[8\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies 9\\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{9} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{3}\\]\n\n(Wynik zgodny z Metodą 1. ✓)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość i pole graniastosłupa:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = O_b \\cdot h, \\quad P_c = P_b + 2P_p\\]\nUżyliśmy do obliczenia wymiarów oraz pola powierzchni całkowitej.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 2 do przejścia od tangensa do cosinusa.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = (a\\sqrt{2})^2 + h^2 = 2a^2 + h^2\\]\nUżyte do wyznaczenia długości przekątnej przestrzennej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna graniastosłupa to przekątna **przestrzenna** (łączy wierzchołki różnych podstaw, po skosie przez bryłę) - nie myl jej z przekątną ściany bocznej ani przekątną podstawy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną a jej **rzutem na podstawę** (czyli przekątną kwadratu \\(3\\sqrt{2}\\)), nie między przekątną a krawędzią boczną. Łatwo pomylić - w trójkącie prostokątnym przyprostokątna pozioma to \\(3\\sqrt{2}\\), a nie \\(3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(\\frac{a}{h} = \\frac{1}{4}\\) oznacza \\(h = 4a\\), **nie** \\(a = 4h\\). Sprawdź zawsze co jest w liczniku, co w mianowniku!\n\n**Odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\), \\(P_c = 162\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nOznaczmy: \\(a\\) - długość krawędzi podstawy (\\(a > 0\\)), \\(H\\) - wysokość graniastosłupa (\\(H > 0\\)).\n\n**Krok 1 - relacja \\(a\\) i \\(H\\).**\n\\(\\dfrac{a}{H} = \\dfrac{1}{4} \\Rightarrow H = 4a\\).\n\n**Krok 2 - objętość.**\n\\[V = P_p\\cdot H = a^2\\cdot 4a = 4a^3 = 108\\]\n\\[a^3 = 27 \\Rightarrow a = 3.\\]\nStąd \\(H = 4\\cdot 3 = 12\\).\n\n**Krok 3 - pole powierzchni całkowitej.**\n\\[P_c = 2P_p + P_b = 2a^2 + 4aH = 2\\cdot 9 + 4\\cdot 3\\cdot 12 = 18 + 144 = 162.\\]\n\n**Krok 4 - cosinus kąta \\(\\alpha\\).**\nPrzekątna graniastosłupa \\(d\\) - łączy przeciwległe wierzchołki górnej i dolnej podstawy. Jej rzut na podstawę to przekątna kwadratu podstawy: \\(a\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}\\).\nDługość \\(d\\) (twierdzenie Pitagorasa):\n\\[d^2 = H^2 + (a\\sqrt{2})^2 = 144 + 18 = 162 \\Rightarrow d = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}.\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{d} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{9\\sqrt{2}} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tangens i tożsamość\n\\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{a\\sqrt{2}} = \\dfrac{4a}{a\\sqrt{2}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\).\n\\(\\sin\\alpha = 2\\sqrt{2}\\cos\\alpha\\).\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 8\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 9\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Skala podobieństwa\nGraniastosłup \\(G_1\\) podobny z \\(a_1 = 1\\), \\(H_1 = 4\\): \\(V_1 = 4\\), \\(P_{c1} = 18\\). \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{2}}{3\\sqrt{2}} = \\tfrac{1}{3}\\) (niezależne od skali).\nSkala: \\(k^3 = V/V_1 = 27 \\Rightarrow k = 3\\). Zatem \\(P_c = P_{c1}\\cdot k^2 = 18\\cdot 9 = 162\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\), \\(P_c = 162\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \\(108\\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \\(\\frac{1}{3}\\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \\(\\alpha\\) (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \\(\\alpha\\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

\n

/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-A-2405/z36.png

\n

. Oblicz cosinus kąta 𝛼 oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 𝛼 | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{3}, \\quad P_c = 162\\]

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów z warunków, potem geometria

\n

Krok 1: Wyznaczenie krawędzi podstawy i wysokości

\n

Oznaczmy krawędź podstawy \\(a\\) i wysokość \\(h\\). Z danego stosunku:
\\[\\frac{a}{h} = \\frac{1}{4} \\implies h = 4a\\]

\n

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (podstawa to kwadrat):
\\[V = a^2 \\cdot h = a^2 \\cdot 4a = 4a^3 = 108\\]
\\[a^3 = 27 \\implies \\boxed{a = 3}\\]
\\[\\boxed{h = 4 \\cdot 3 = 12}\\]

\n

Krok 2: Cosinus kąta \\(\\alpha\\)

\n

Przekątna graniastosłupa biegnie od wierzchołka podstawy dolnej do przeciwległego wierzchołka podstawy górnej.

\n

Jej rzut na płaszczyznę podstawy to przekątna kwadratu o boku \\(a = 3\\):
\\[d_{\\text{podstawy}} = a\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}\\]

\n

Długość całej przekątnej przestrzennej:
\\[d = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^2 + h^2} = \\sqrt{2a^2 + h^2} = \\sqrt{2 \\cdot 9 + 144} = \\sqrt{18 + 144} = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}\\]

\n

Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną a podstawą, więc:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{d_{\\text{podstawy}}}{d} = \\frac{3\\sqrt{2}}{9\\sqrt{2}} = \\frac{3}{9} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]

\n

Krok 3: Pole powierzchni całkowitej

\n

Dwie podstawy (kwadraty):
\\[P_{\\text{podstawy}} = 2 \\cdot a^2 = 2 \\cdot 9 = 18\\]

\n

Cztery prostokątne ściany boczne:
\\[P_{\\text{boczna}} = 4 \\cdot a \\cdot h = 4 \\cdot 3 \\cdot 12 = 144\\]

\n

Łącznie:
\\[\\boxed{P_c = 18 + 144 = 162}\\]

\n

Sposób 2 - Przez tangens, potem cos z jedynki

\n

Wyznaczenie wymiarów identyczne jak w Sposobie 1 (\\(a = 3\\), \\(h = 12\\)).

\n

Kąt \\(\\alpha\\) leży w prostokącie zawierającym przekątną przestrzenną:

\n\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d_{\\text{podstawy}}} = \\frac{12}{3\\sqrt{2}} = \\frac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\]

\n

Korzystam z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = 8 \\implies \\sin^2\\alpha = 8\\cos^2\\alpha\\]
\\[8\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies 9\\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{9} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{3}\\]

\n

(Wynik zgodny z Metodą 1. ✓)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość i pole graniastosłupa:
\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = O_b \\cdot h, \\quad P_c = P_b + 2P_p\\]
Użyliśmy do obliczenia wymiarów oraz pola powierzchni całkowitej.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyta w Sposobie 2 do przejścia od tangensa do cosinusa.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[d^2 = (a\\sqrt{2})^2 + h^2 = 2a^2 + h^2\\]
Użyte do wyznaczenia długości przekątnej przestrzennej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna graniastosłupa to przekątna przestrzenna (łączy wierzchołki różnych podstaw, po skosie przez bryłę) - nie myl jej z przekątną ściany bocznej ani przekątną podstawy!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną a jej rzutem na podstawę (czyli przekątną kwadratu \\(3\\sqrt{2}\\)), nie między przekątną a krawędzią boczną. Łatwo pomylić - w trójkącie prostokątnym przyprostokątna pozioma to \\(3\\sqrt{2}\\), a nie \\(3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Stosunek \\(\\frac{a}{h} = \\frac{1}{4}\\) oznacza \\(h = 4a\\), nie \\(a = 4h\\). Sprawdź zawsze co jest w liczniku, co w mianowniku!
\n

Odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\), \\(P_c = 162\\)

\n
Sposób 1 - Krok po kroku
\n

Oznaczmy: \\(a\\) - długość krawędzi podstawy (\\(a > 0\\)), \\(H\\) - wysokość graniastosłupa (\\(H > 0\\)).

\n

Krok 1 - relacja \\(a\\) i \\(H\\).
\\(\\dfrac{a}{H} = \\dfrac{1}{4} \\Rightarrow H = 4a\\).

\n

Krok 2 - objętość.
\\[V = P_p\\cdot H = a^2\\cdot 4a = 4a^3 = 108\\]
\\[a^3 = 27 \\Rightarrow a = 3.\\]
Stąd \\(H = 4\\cdot 3 = 12\\).

\n

Krok 3 - pole powierzchni całkowitej.
\\[P_c = 2P_p + P_b = 2a^2 + 4aH = 2\\cdot 9 + 4\\cdot 3\\cdot 12 = 18 + 144 = 162.\\]

\n

Krok 4 - cosinus kąta \\(\\alpha\\).
Przekątna graniastosłupa \\(d\\) - łączy przeciwległe wierzchołki górnej i dolnej podstawy. Jej rzut na podstawę to przekątna kwadratu podstawy: \\(a\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}\\).
Długość \\(d\\) (twierdzenie Pitagorasa):
\\[d^2 = H^2 + (a\\sqrt{2})^2 = 144 + 18 = 162 \\Rightarrow d = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}.\\]

\n

\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{d} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{9\\sqrt{2}} = \\dfrac{1}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Przez tangens i tożsamość
\n

\\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{a\\sqrt{2}} = \\dfrac{4a}{a\\sqrt{2}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\).
\\(\\sin\\alpha = 2\\sqrt{2}\\cos\\alpha\\).
\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 8\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 9\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{3}\\).

\n
Sposób 3 - Skala podobieństwa
\n

Graniastosłup \\(G_1\\) podobny z \\(a_1 = 1\\), \\(H_1 = 4\\): \\(V_1 = 4\\), \\(P_{c1} = 18\\). \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{2}}{3\\sqrt{2}} = \\tfrac{1}{3}\\) (niezależne od skali).
Skala: \\(k^3 = V/V_1 = 27 \\Rightarrow k = 3\\). Zatem \\(P_c = P_{c1}\\cdot k^2 = 18\\cdot 9 = 162\\).

\n

Odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\), \\(P_c = 162\\).

"}]}