{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log√3 9 jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 9\nLiczba log_√3 9 jest równa A. 2 B. 3 C. 4 D. 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo znaczy ten zapis?\n\nWyrażenie\n\n$$\\log_{\\sqrt{3}} 9$$\n\nczytamy: „do której potęgi trzeba podnieść $\\sqrt{3}$, żeby otrzymać $9$\". Innymi słowy — szukamy takiej liczby $x$, że:\n\n$$(\\sqrt{3})^x = 9$$\n\nSprowadź obie strony do potęg trójki.\n\nPierwiastek kwadratowy z trzech to po prostu $3$ podniesione do potęgi $\\tfrac{1}{2}$:\n\n$$\\sqrt{3} = 3^{1/2}$$\n\nA dziewiątka to $3^2$:\n\n$$9 = 3^2$$\n\nZastąp w równaniu i zastosuj wzór $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$.\n\n$$\\left(3^{1/2}\\right)^{x} = 3^{2}$$\n\n$$3^{x/2} = 3^{2}$$\n\nPorównaj wykładniki. Jeśli potęgi o tej samej podstawie są równe, to ich wykładniki też muszą być równe:\n\n$$\\frac{x}{2} = 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 4$$\n\nSposób alternatywny (jeszcze szybszy)\n\nWzór na zmianę podstawy logarytmu mówi, że dla dowolnego $k > 0$:\n\n$$\\log_{a^k} (b) = \\frac{1}{k} \\cdot \\log_a b$$\n\nTutaj $\\sqrt{3} = 3^{1/2}$, więc $k = 1/2$, $a = 3$, $b = 9$:\n\n$$\\log_{\\sqrt{3}} 9 = \\frac{1}{1/2} \\cdot \\log_3 9 = 2 \\cdot 2 = 4$$\n\nJeśli zapamiętałeś ten wzór — robisz całe zadanie w głowie w 5 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to czytanie log_√3 9 jako log 9 / √3 (zwykły iloraz) zamiast jako „logarytm o podstawie √3 z liczby 9\". Drugi błąd: zapomnienie, że √3 = 3^(1/2), przez co nie da się dobrać wykładnika.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log√3 9 jest równa
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9
Liczba log_√3 9 jest równa A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
I.1) wykonuje działania ([…]
logarytmowanie) w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: C

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co znaczy ten zapis?

\n

Wyrażenie

\n

$$\\log_{\\sqrt{3}} 9$$

\n

czytamy: „do której potęgi trzeba podnieść $\\sqrt{3}$, żeby otrzymać $9$". Innymi słowy — szukamy takiej liczby $x$, że:

\n

$$(\\sqrt{3})^x = 9$$

\n

Sprowadź obie strony do potęg trójki.

\n

Pierwiastek kwadratowy z trzech to po prostu $3$ podniesione do potęgi $\\tfrac{1}{2}$:

\n

$$\\sqrt{3} = 3^{1/2}$$

\n

A dziewiątka to $3^2$:

\n

$$9 = 3^2$$

\n

Zastąp w równaniu i zastosuj wzór $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$.

\n

$$\\left(3^{1/2}\\right)^{x} = 3^{2}$$

\n

$$3^{x/2} = 3^{2}$$

\n

Porównaj wykładniki. Jeśli potęgi o tej samej podstawie są równe, to ich wykładniki też muszą być równe:

\n

$$\\frac{x}{2} = 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 4$$

\n

Sposób alternatywny (jeszcze szybszy)

\n

Wzór na zmianę podstawy logarytmu mówi, że dla dowolnego $k > 0$:

\n

$$\\log_{a^k} (b) = \\frac{1}{k} \\cdot \\log_a b$$

\n

Tutaj $\\sqrt{3} = 3^{1/2}$, więc $k = 1/2$, $a = 3$, $b = 9$:

\n

$$\\log_{\\sqrt{3}} 9 = \\frac{1}{1/2} \\cdot \\log_3 9 = 2 \\cdot 2 = 4$$

\n

Jeśli zapamiętałeś ten wzór — robisz całe zadanie w głowie w 5 sekund.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to czytanie log_√3 9 jako log 9 / √3 (zwykły iloraz) zamiast jako „logarytm o podstawie √3 z liczby 9". Drugi błąd: zapomnienie, że √3 = 3^(1/2), przez co nie da się dobrać wykładnika.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a = \\dfrac{7}{2}\\), \\(b = -5\\)

\n

Równanie stycznej: \\(y = \\dfrac{7}{2}x - 5\\)

\n

Sposób 1 - Reguła ilorazu (bez upraszczania)

\n

Krok 1: Wyznacz współrzędne punktu P.

\n

Punkt \\(P\\) leży na wykresie \\(f\\), a jego pierwsza współrzędna to \\(x = 2\\). Obliczamy:
\\[f(2) = \\frac{2^3 - 3 \\cdot 2 + 2}{2} = \\frac{8 - 6 + 2}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]

\n

Zatem \\(P = (2, 2)\\).

\n

Krok 2: Oblicz pochodną \\(f'(x)\\) - reguła ilorazu.

\n

Mamy \\(f(x) = \\dfrac{u(x)}{v(x)}\\), gdzie \\(u(x) = x^3 - 3x + 2\\) i \\(v(x) = x\\).

\n

\\[u'(x) = 3x^2 - 3, \\qquad v'(x) = 1\\]

\n

\\[f'(x) = \\frac{u'(x) \\cdot v(x) - u(x) \\cdot v'(x)}{[v(x)]^2} = \\frac{(3x^2 - 3) \\cdot x - (x^3 - 3x + 2) \\cdot 1}{x^2}\\]

\n

Rozwijamy licznik:
\\[= \\frac{3x^3 - 3x - x^3 + 3x - 2}{x^2} = \\frac{2x^3 - 2}{x^2}\\]

\n

Krok 3: Oblicz współczynnik kierunkowy \\(a = f'(2)\\).

\n

\\[a = f'(2) = \\frac{2 \\cdot 2^3 - 2}{2^2} = \\frac{16 - 2}{4} = \\frac{14}{4} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Krok 4: Wyznacz \\(b\\) z warunku, że styczna przechodzi przez \\(P = (2, 2)\\).

\n

Styczna to \\(y = ax + b\\), podstawiamy \\(x = 2\\), \\(y = 2\\), \\(a = \\frac{7}{2}\\):
\\[2 = \\frac{7}{2} \\cdot 2 + b\\]
\\[2 = 7 + b\\]
\\[b = 2 - 7 = -5\\]

\n

Wynik:
\\[\\boxed{a = \\frac{7}{2}, \\quad b = -5}\\]

\n

Równanie stycznej: \\(y = \\dfrac{7}{2}x - 5\\)

\n

Sposób 2 - Uproszczenie funkcji przed różniczkowaniem

\n

Zamiast stosować regułę ilorazu od razu, uprościmy \\(f(x)\\) dzieląc każdy składnik licznika przez \\(x\\):

\n

\\[f(x) = \\frac{x^3 - 3x + 2}{x} = \\frac{x^3}{x} - \\frac{3x}{x} + \\frac{2}{x} = x^2 - 3 + 2x^{-1}\\]

\n

Teraz różniczkujemy wyraz po wyrazie (reguła potęgi):
\\[f'(x) = 2x - 0 + 2 \\cdot (-1) \\cdot x^{-2} = 2x - \\frac{2}{x^2}\\]

\n

Obliczamy \\(f'(2)\\):
\\[f'(2) = 2 \\cdot 2 - \\frac{2}{2^2} = 4 - \\frac{2}{4} = 4 - \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}\\]

\n

Dalej identycznie jak w Sposobie 1: \\(P = (2, 2)\\), podstawiamy do \\(y = ax + b\\):
\\[2 = \\frac{7}{2} \\cdot 2 + b \\implies b = -5\\]

\n
✅ Oba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak! Sposób 2 jest szybszy, bo unikamy reguły ilorazu.
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - reguła ilorazu:
\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]
Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(f'(x)\\).

\n

Dział 16 (s. 32-33) - pochodna potęgi:
\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]
Użyta w obu sposobach (\\((x^2)' = 2x\\), \\((x^{-1})' = -x^{-2}\\)).

\n

Dział 16 (s. 33) - równanie stycznej do wykresu \\(f\\) w punkcie \\((x_0, f(x_0))\\):
\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]
Użyte w Kroku 4 - to jest właśnie warunek na \\(b\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W regule ilorazu kolejność ma znaczenie! Często uczniowie piszą \\(u \\cdot v' - v \\cdot u'\\) zamiast \\(u' \\cdot v - u \\cdot v'\\) - to daje wynik z przeciwnym znakiem.
\n
⚠️ Uwaga: Oblicz \\(f(2)\\) - to współrzędna y punktu styku, nie wolno jej pominąć. Bez niej nie można wyznaczyć \\(b\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wartość \\(f'(2) = \\frac{7}{2}\\) to współczynnik kierunkowy stycznej (czyli \\(a\\)), a nie sama wartość \\(b\\). Mylenie \\(a\\) z \\(f(2)\\) to klasyczny błąd.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(a=\\dfrac{7}{2}\\), \\(b=-5\\)

\n
Sposób 1 - Pochodna ilorazu
\n

\\[f'(x)=\\dfrac{(3x^{2}-3)\\cdot x-(x^{3}-3x+2)\\cdot 1}{x^{2}}=\\dfrac{3x^{3}-3x-x^{3}+3x-2}{x^{2}}=\\dfrac{2x^{3}-2}{x^{2}}.\\]
\\(f'(2)=\\dfrac{16-2}{4}=\\dfrac{14}{4}=\\dfrac{7}{2}\\). Zatem \\(a=\\dfrac{7}{2}\\).
\\(f(2)=\\dfrac{8-6+2}{2}=2\\), więc punkt \\(P=(2,2)\\). Styczna \\(y=\\dfrac{7}{2}x+b\\) przechodzi przez \\(P\\): \\(2=\\dfrac{7}{2}\\cdot 2+b=7+b\\), stąd \\(b=-5\\).

\n
Sposób 2 - Uproszczenie wzoru i pochodna sumy
\n

\\(f(x)=x^{2}-3+\\dfrac{2}{x}=x^{2}-3+2x^{-1}\\). Wtedy \\(f'(x)=2x-2x^{-2}=2x-\\dfrac{2}{x^{2}}\\).
\\(f'(2)=4-\\dfrac{1}{2}=\\dfrac{7}{2}\\). Dalej jak wyżej.

\n
Uwagi o punktacji (0-3)
\n\n

Trik: Dla wyrażenia typu \\(\\dfrac{P(x)}{x}\\) lepiej najpierw uprościć (podzielić wielomian przez \\(x\\)), potem różniczkować sumę.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy obliczyć, czyli $\\log_{\\sqrt{3}} 9$.\\newline
  2. Przekształcamy podstawę logarytmu $\\sqrt{3}$ do formy wykładniczej. Zauważamy, że $\\sqrt{3} = 3^{1/2}$.\\newline
\n

Zatem możemy zapisać: $$\\log_{\\sqrt{3}} 9 = \\log_{3^{1/2}} 9.$$\\newline

\n
  1. Zgodnie z właściwością logarytmów, gdy zmieniamy podstawę, możemy skorzystać ze wzoru: $\\log_{a^b} c = \\frac{1}{b} \\log_a c$.\\newline
\n

W naszym przypadku mamy: \\newline
$$\\log_{3^{1/2}} 9 = \\frac{1}{1/2} \\log_3 9 = 2 \\log_3 9.$$\\newline

\n
  1. Teraz skupiamy się na obliczeniu $\\log_3 9$. Zauważamy, że $9$ możemy zapisać jako $3^2$.\\newline
\n

Zatem mamy: $$\\log_3 9 = \\log_3 (3^2).$$\\newline

\n
  1. Zastosujemy kolejną właściwość logarytmów: $\\log_a (a^b) = b$.\\newline
\n

W związku z tym: $$\\log_3 (3^2) = 2.$$\\newline

\n
  1. Podstawiamy wartość $\\log_3 9$ z powrotem do naszego równania: $$2 \\log_3 9 = 2 \\cdot 2 = 4.$$\\newline
  2. Ostatecznie uzyskujemy wynik: $$\\log_{\\sqrt{3}} 9 = 4.$$\\newline
\n

Odpowiedź: 4

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

log_√(3)9=x

\n

oznacza, że

\n

(√(3))^x=9.

\n

Zapisujemy obie strony jako potęgi liczby 3 :

\n

(3^(1)/(2) )^x=3^2.

\n

3^(x)/(2)=3^2.

\n

Porównujemy wykładniki:

\n

(x)/(2)=2,

\n

x=4.

"}]}