{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia\n(2𝑎+ 𝑏)2 -(2𝑎-𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia\nA. 8𝑎2\nB. 8𝑎𝑏\nC. -8𝑎𝑏\nD. 2𝑏2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a+b)²-(2a-b)² jest równa wartości wyrażenia A. 8a² B. 8ab C. -8ab D. 2b²","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nTrik na 10 sekund\n\nTu działa uniwersalny wzór:\n\n$$(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4XY$$\n\nTo po prostu wzór $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ zastosowany do $(X+Y)$ i $(X-Y)$ — odejmowanie daje $2Y$, dodawanie daje $2X$, iloczyn to $4XY$.\n\nW naszym zadaniu $X = 2a$ oraz $Y = b$, więc:\n\n$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = 4 \\cdot (2a) \\cdot b = 8ab$$\n\nKoniec. Odpowiedź B.\n\nPełne rozwinięcie (gdy nie pamiętasz wzoru)\n\nRozwiń pierwszy kwadrat:\n\n$$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 \\cdot (2a) \\cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$$\n\nRozwiń drugi kwadrat:\n\n$$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \\cdot (2a) \\cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$$\n\nOdejmij stronami:\n\n$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = (4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2)$$\n\nRozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):\n\n$$= 4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 = 8ab$$\n\nWyrazy $4a^2$ i $b^2$ znoszą się parami, zostają dwa razy $+4ab$.\n\nCo warto zapamiętać\n\nTrzy najczęściej testowane wzory na maturze:\n\n- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$\n- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$\n- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$\n\nWszystkie trzy są w \"Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, którą dostajesz na egzaminie. Ale jeśli musisz je przerzucać pod presją czasu — tracisz ~30 sekund. Warto je mieć w pamięci.\n\nTypowy błąd: Najszybsza droga to wzór (X+Y)² − (X−Y)² = 4XY. Kto rozwija pełne kwadraty, łatwo pomyli znaki przy podwójnym iloczynie 2·(2a)·b — wtedy traci czas i często gubi minus.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia
(2𝑎+ 𝑏)2 -(2𝑎-𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia
A. 8𝑎2
B. 8𝑎𝑏
C. -8𝑎𝑏
D. 2𝑏2

\n

MMAP-P0_100
Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a+b)²-(2a-b)² jest równa wartości wyrażenia A. 8a² B. 8ab C. -8ab D. 2b²

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia
na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: B

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Trik na 10 sekund

\n

Tu działa uniwersalny wzór:

\n

$$(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4XY$$

\n

To po prostu wzór $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ zastosowany do $(X+Y)$ i $(X-Y)$ — odejmowanie daje $2Y$, dodawanie daje $2X$, iloczyn to $4XY$.

\n

W naszym zadaniu $X = 2a$ oraz $Y = b$, więc:

\n

$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = 4 \\cdot (2a) \\cdot b = 8ab$$

\n

Koniec. Odpowiedź B.

\n

Pełne rozwinięcie (gdy nie pamiętasz wzoru)

\n

Rozwiń pierwszy kwadrat:

\n

$$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 \\cdot (2a) \\cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$$

\n

Rozwiń drugi kwadrat:

\n

$$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \\cdot (2a) \\cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$$

\n

Odejmij stronami:

\n

$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = (4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2)$$

\n

Rozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):

\n

$$= 4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 = 8ab$$

\n

Wyrazy $4a^2$ i $b^2$ znoszą się parami, zostają dwa razy $+4ab$.

\n

Co warto zapamiętać

\n

Trzy najczęściej testowane wzory na maturze:

\n\n

Wszystkie trzy są w "Wybranych wzorach matematycznych" CKE, którą dostajesz na egzaminie. Ale jeśli musisz je przerzucać pod presją czasu — tracisz ~30 sekund. Warto je mieć w pamięci.

\n

Typowy błąd: Najszybsza droga to wzór (X+Y)² − (X−Y)² = 4XY. Kto rozwija pełne kwadraty, łatwo pomyli znaki przy podwójnym iloczynie 2·(2a)·b — wtedy traci czas i często gubi minus.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód

\n

To zadanie otwarte - należy przeprowadzić łańcuch przekształceń prowadzący do podanej tożsamości.

\n

Sposób 1 - zmiana podstawy na 4

\n

Kluczowy pomysł: zamieniamy podstawę na 4, bo zarówno \\(\\log_5 4 = a\\), jak i \\(\\log_4 3 = b\\) „mówią" o czwórkach.

\n

Krok 1 - zamiana podstawy logarytmu:

\n

\\[\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_4 80}{\\log_4 12}\\]

\n

Krok 2 - rozkład licznika:

\n

\\(80 = 16 \\cdot 5 = 4^2 \\cdot 5\\), więc:

\n

\\[\\log_4 80 = \\log_4 (4^2 \\cdot 5) = \\log_4 4^2 + \\log_4 5 = 2 + \\log_4 5\\]

\n

Potrzebujemy teraz \\(\\log_4 5\\). Korzystamy z odwrotności:

\n

\\[\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4} = \\frac{1}{a}\\]

\n

Zatem:

\n

\\[\\log_4 80 = 2 + \\frac{1}{a} = \\frac{2a + 1}{a}\\]

\n

Krok 3 - rozkład mianownika:

\n

\\(12 = 4 \\cdot 3\\), więc:

\n

\\[\\log_4 12 = \\log_4 (4 \\cdot 3) = \\log_4 4 + \\log_4 3 = 1 + b\\]

\n

Krok 4 - złożenie:

\n

\\[\\log_{12} 80 = \\frac{\\dfrac{2a+1}{a}}{1+b} = \\frac{2a+1}{a(1+b)}\\]

\n

CKD.

\n

Sposób 2 - zmiana podstawy na 5

\n

Kluczowy pomysł: zamieniamy podstawę na 5, bo \\(\\log_5 4 = a\\) bezpośrednio pojawia się w liczniku.

\n

Krok 1 - zamiana podstawy:

\n

\\[\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_5 80}{\\log_5 12}\\]

\n

Krok 2 - licznik:

\n

\\(80 = 5 \\cdot 16 = 5 \\cdot 4^2\\):

\n

\\[\\log_5 80 = \\log_5 5 + \\log_5 4^2 = 1 + 2\\log_5 4 = 1 + 2a = 2a + 1\\]

\n

Krok 3 - mianownik:

\n

\\(12 = 4 \\cdot 3\\):

\n

\\[\\log_5 12 = \\log_5 4 + \\log_5 3 = a + \\log_5 3\\]

\n

Musimy wyrazić \\(\\log_5 3\\) przez \\(a\\) i \\(b\\). Z definicji \\(\\log_4 3 = b\\) wynika, że \\(3 = 4^b\\), więc:

\n

\\[\\log_5 3 = \\log_5 4^b = b \\cdot \\log_5 4 = ab\\]

\n

Zatem:

\n

\\[\\log_5 12 = a + ab = a(1 + b)\\]

\n

Krok 4 - złożenie:

\n

\\[\\log_{12} 80 = \\frac{2a + 1}{a(1 + b)}\\]

\n

CKD.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):

\n

Zmiana podstawy:
\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]
Użyta w obu sposobach do przepisania \\(\\log_{12} 80\\) na inną podstawę.

\n

Odwrotność logarytmu:
\\[\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]
Użyta w Sposobie 1: \\(\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4} = \\frac{1}{a}\\).

\n

Logarytm iloczynu:
\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]
Użyta przy rozkładzie \\(\\log_4 80 = \\log_4 4^2 + \\log_4 5\\) oraz \\(\\log_4 12 = \\log_4 4 + \\log_4 3\\).

\n

Logarytm potęgi:
\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Użyta przy \\(\\log_5 4^2 = 2\\log_5 4\\) oraz \\(\\log_5 4^b = b\\log_5 4\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie można dodawać logarytmów różnych podstaw - \\(\\log_5 4 + \\log_4 3 \\neq \\log_5 3\\). To jeden z najczęstszych błędów. Wzór \\(\\log_a(xy) = \\log_a x + \\log_a y\\) wymaga tej samej podstawy.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\) działa tylko wtedy, gdy zamieniamy miejscami podstawę i argument (nie cokolwiek). Np. \\(\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4}\\) - tu zamieniamy 4 i 5 miejscami.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 kluczowy trick to zamiana \\(\\log_5 3\\) za pomocą \\(b\\): skoro \\(\\log_4 3 = b\\), to \\(3 = 4^b\\), a stąd \\(\\log_5 3 = b \\cdot \\log_5 4 = ab\\). Uczniowie często nie zauważają tego przejścia i utykają.
\n

Poprawna odpowiedź: dowód przez zamianę podstawy logarytmu

\n
Sposób 1 - Przekształcenie \\(\\log_{12}80\\)
\n

Zamiana podstawy z \\(12\\) na \\(4\\):
\\[\\log_{12}80=\\dfrac{\\log_{4}80}{\\log_{4}12}=\\dfrac{\\log_{4}(16\\cdot 5)}{\\log_{4}(4\\cdot 3)}=\\dfrac{\\log_{4}16+\\log_{4}5}{\\log_{4}4+\\log_{4}3}=\\dfrac{2+\\log_{4}5}{1+b}.\\]
Z założenia \\(\\log_{5}4=a\\), więc \\(\\log_{4}5=\\dfrac{1}{a}\\) (zamiana podstawy). Zatem
\\[\\log_{12}80=\\dfrac{2+\\tfrac{1}{a}}{1+b}=\\dfrac{\\tfrac{2a+1}{a}}{1+b}=\\dfrac{2a+1}{a\\cdot(1+b)}.\\] CKD

\n
Sposób 2 - Przekształcenie prawej strony
\n

\\(\\dfrac{2a+1}{a(1+b)}=\\dfrac{2\\log_{5}4+1}{\\log_{5}4\\cdot(1+\\log_{4}3)}=\\dfrac{\\log_{5}(4\\cdot 4\\cdot 5)}{\\log_{5}4\\cdot\\log_{4}(4\\cdot 3)}=\\dfrac{\\log_{5}80}{\\log_{5}4\\cdot\\log_{4}12}\\). Stosując \\(\\log_{5}4\\cdot\\log_{4}12=\\log_{5}12\\) (łańcuch zamian), otrzymujemy \\(\\dfrac{\\log_{5}80}{\\log_{5}12}=\\log_{12}80\\). CKD

\n
Uwagi o punktacji (0-3)
\n\n

Trik: Kluczowa obserwacja: \\(80=16\\cdot 5=4^{2}\\cdot 5\\) i \\(12=4\\cdot 3\\) - obie liczby ładnie rozkładają się w podstawie \\(4\\), więc zamiana bazy na \\(4\\) jest optymalna.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Możemy zacząć od zapisania wyrażenia, które chcemy uprościć:
\n

$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2$$

\n
  1. Użyjemy wzoru skróconego mnożenia, który mówi, że $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$. W naszym przypadku:
\n

$$x = 2a \\quad \\text{oraz} \\quad y = b$$

\n
  1. Zastosujmy wzór do naszego wyrażenia:
\n

$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = 4 \\cdot (2a) \\cdot b$$

\n
  1. Podstawiamy wartości:
\n

$$= 4 \\cdot 2a \\cdot b$$

\n
  1. Upraszczamy wyrażenie:
\n

$$= 8ab$$

\n
  1. Otóż otrzymujemy wynik, który możemy porównać z dostępnymi odpowiedziami.
\n

Zauważmy, że nasze wyrażenie $8ab$ znajduje się w opcji B.

\n
  1. Dlatego, poprawnie dokończamy zdanie:
\n

$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = 8ab$$

\n

Odpowiedź: B

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Rozwijamy oba kwadraty:

\n

(2a+b)^2=(2a)^2+2·2a· b+b^2
=4a^2+4ab+b^2,

\n

(2a-b)^2=(2a)^2-2·2a· b+b^2
=4a^2-4ab+b^2.

\n

Odejmujemy:

\n

(2a+b)^2-(2a-b)^2

\n

=(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)

\n

=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2
=8ab.

"}]}