Zadanie 6. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
1 -3
2 𝑥< 2
3 -𝑥
jest przedział
A. (-∞, -2
3)
B. (-∞, 2
3)
C. (-2
3 , +∞)
D. (2
3 , +∞)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 - 3/2x < 2/3 - x jest przedział A. (-∞,-2/3) B. (-∞,2/3) C. (-2/3,+∞) & D. (2/3,+∞)
Zadanie 6. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną
niewiadomą.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
D
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nCo trzeba zrobić?
\nRozwiązać nierówność:
\n$$1 - \\frac{3}{2}x < \\frac{2}{3} - x$$
\n— czyli znaleźć zbiór wszystkich $x$, dla których ta nierówność jest prawdziwa, i wskazać odpowiadający mu przedział.
\nPrzenieś wszystkie wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą. Najwygodniej: $x$-y zostawiamy po prawej, liczby po lewej. Dodajemy $x$ do obu stron i odejmujemy $\\tfrac{2}{3}$ z obu stron:
\n$$1 - \\frac{2}{3} < -x + \\frac{3}{2}x$$
\nUprość każdą stronę.
\nLewa: $1 - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{3}{3} - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}$.
\nPrawa: $-x + \\dfrac{3}{2}x = \\dfrac{-2x + 3x}{2} = \\dfrac{x}{2}$.
\nOtrzymujemy:
\n$$\\frac{1}{3} < \\frac{x}{2}$$
\nPomnoż obie strony przez $2$ (dodatnia liczba — kierunek nierówności bez zmian):
\n$$\\frac{2}{3} < x$$
\nTo jest dokładnie warunek, że $x$ jest większe od $\\dfrac{2}{3}$.
\nZapisz zbiór rozwiązań w postaci przedziału.
\n$$x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\ +\\infty\\right)$$
\nSposób alternatywny — mnożenie na samym początku
\nCzasem łatwiej pozbyć się ułamków od razu. Pomnóż obie strony przez $6$ (NWW mianowników 2 i 3):
\n$$6 - 9x < 4 - 6x$$
\nPrzenieś $-6x$ na lewą, $6$ na prawą:
\n$$-9x + 6x < 4 - 6$$
\n$$-3x < -2$$
\nPodziel obie strony przez $-3$ — uwaga, dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak:
\n$$x > \\frac{2}{3}$$
\nTen sam wynik. Ta wersja jest szybsza, ale ma w sobie pułapkę zmiany znaku — w stresie egzaminacyjnym łatwo o niej zapomnieć i wybrać błędną odpowiedź B.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to przeoczenie zmiany kierunku znaku przy dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Tu tego unikamy — przenosimy x na jedną stronę, liczby na drugą — ale i tak łatwo pomylić znak przy przeniesieniu wyrazu z drugiej strony.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Kluczowa obserwacja: szukamy liczb mających dokładnie 5 cyfr (3 nieparzyste + 2 parzyste), bez powtórzeń. Cyfry nieparzyste to \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - jest ich 5. Cyfry parzyste to \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) - jest ich też 5.
\nKrok 1 - Liczymy WSZYSTKIE ustawienia (bez ograniczenia na pierwszą cyfrę):
\n\\[\\text{Wybór 3 cyfr nieparzystych z 5: } \\binom{5}{3} = 10\\]
\n\\[\\text{Wybór 2 cyfr parzystych z 5: } \\binom{5}{2} = 10\\]
\n\\[\\text{Ustawienia wybranych 5 cyfr: } 5! = 120\\]
\n\\[L_1 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 5! = 10 \\cdot 10 \\cdot 120 = 12\\,000\\]
\nKrok 2 - Odejmujemy ustawienia zaczynające się od zera (nie są to liczby naturalne):
\nJeśli \\(0\\) stoi na pierwszym miejscu, to wśród 2 wybranych cyfr parzystych musi być \\(0\\). Wtedy:
\n\\[L_2 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot 4! = 10 \\cdot 4 \\cdot 24 = 960\\]
\nWynik:
\n\\[L_1 - L_2 = 12\\,000 - 960 = \\mathbf{11\\,040}\\]
\nRozważamy dwa rozłączne przypadki w zależności od tego, czy wśród 2 cyfr parzystych jest cyfra \\(0\\).
\nPrzypadek A: 0 nie należy do wybranych cyfr
\nObie cyfry parzyste pochodzą z \\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\):
\n\\[\\binom{4}{2} \\cdot \\binom{5}{3} \\cdot 5! = 6 \\cdot 10 \\cdot 120 = 7\\,200\\]
\n(Wszystkie ustawienia są poprawne - żadna z cyfr nie jest zerem, więc każde ustawienie daje prawidłową liczbę naturalną.)
\nPrzypadek B: 0 należy do wybranych cyfr
\nWybieramy 0 oraz jeszcze 1 cyfrę parzystą z \\(\\{2,4,6,8\\}\\): \\(\\binom{4}{1} = 4\\) sposoby.
Wybieramy 3 cyfry nieparzyste: \\(\\binom{5}{3} = 10\\) sposobów.
Teraz ustawiamy 5 cyfr, ale pierwsza cyfra nie może być zerem:
\\[\\text{Wszystkich ustawień: } 5! = 120\\]
\\[\\text{Ustawień z 0 na początku: } 4! = 24\\]
\\[\\text{Dopuszczalnych ustawień: } 120 - 24 = 96\\]
\\[4 \\cdot 10 \\cdot 96 = 3\\,840\\]
\nWynik:
\n\\[7\\,200 + 3\\,840 = \\mathbf{11\\,040} \\checkmark\\]
\nOba sposoby dają ten sam wynik - poprawność zweryfikowana.
\nDział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)
\nSymbol Newtona (kombinacja):
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!\\,(n-k)!}\\]
Użyliśmy go trzykrotnie:
\nDział 13 (Kombinatoryka, s. 28)
\nPermutacje \\(n\\) różnych elementów: \\(n!\\)
\n\\[5! = 120, \\qquad 4! = 24\\]
\nUżyliśmy \\(5!\\) do policzenia wszystkich ustawień 5 różnych cyfr oraz \\(4!\\) do ustawień, gdy pierwsza pozycja jest zajęta przez \\(0\\).
\n⚠️ Uwaga: Cyfra \\(0\\) jest parzysta - łatwo o niej zapomnieć i liczyć tylko \\(\\{2,4,6,8\\}\\) jako cyfry parzyste. Wtedy \\(\\binom{4}{2} = 6\\) zamiast \\(\\binom{5}{2} = 10\\) i wynik wychodzi za mały.\n
⚠️ Uwaga: Liczba naturalna nie może zaczynać się od zera - liczba \\(04\\,317\\) to tak naprawdę \\(4317\\), czterocyfrowa, a nie pięciocyfrowa. Właśnie dlatego musimy odjąć przypadki z \\(0\\) na pierwszym miejscu (lub rozdzielić na dwa przypadki w Sposobie 2).\n
⚠️ Uwaga: Gdy odejmujemy ustawienia z \\(0\\) na czele, nie liczymy \\(L_2 = \\binom{5}{2} \\cdot \\binom{5}{3} \\cdot 4!\\) - to byłby błąd! Skoro \\(0\\) już musi być wybrany, drugi wybór parzysty to tylko \\(\\binom{4}{1}\\) (spośród pozostałych parzystych), a nie \\(\\binom{5}{2}\\).\n
Poprawna odpowiedź: \\(11\\,040\\)
\nCyfry nieparzyste: \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\) (5 cyfr). Cyfry parzyste: \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) (5 cyfr).
\\(L_{1}\\) = liczba wszystkich ciągów 5-elementowych (dopuszczamy \\(0\\) na początku):
\\[L_{1}=\\binom{5}{3}\\cdot\\binom{5}{2}\\cdot 5!=10\\cdot 10\\cdot 120=12\\,000.\\]
\\(L_{2}\\) = liczba ciągów zaczynających się od \\(0\\). Wtedy pierwsza cyfra ustalona; pozostałe 4 cyfry: 3 nieparzyste z 5 i 1 parzysta z \\(\\{2,4,6,8\\}\\):
\\[L_{2}=\\binom{5}{3}\\cdot\\binom{4}{1}\\cdot 4!=10\\cdot 4\\cdot 24=960.\\]
\\[L_{1}-L_{2}=12\\,000-960=11\\,040.\\]
(a) Pierwszy wyraz parzysty \\(\\neq 0\\): 4 wybory (2,4,6,8). Pozostałe 4 miejsca: wybieramy jedną parzystą z 4 pozostałych oraz 3 nieparzyste z 5 i ustawiamy:
\\(P=4\\cdot\\binom{4}{1}\\cdot\\binom{5}{3}\\cdot 4!=4\\cdot 4\\cdot 10\\cdot 24=3\\,840\\).
(b) Pierwszy wyraz nieparzysty: 5 wyborów. Pozostałe 4 miejsca: 2 parzyste z 5 i 2 nieparzyste z 4:
\\(N=5\\cdot\\binom{5}{2}\\cdot\\binom{4}{2}\\cdot 4!=5\\cdot 10\\cdot 6\\cdot 24=7\\,200\\).
\\(P+N=11\\,040\\).
Trik: Najczęstszy błąd: zapomnienie, że \\(0\\) nie może być pierwszą cyfrą. Wybór „wszystko minus z zerem na początku" jest najszybszy.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, ponieważ możemy doprowadzić tę nierówność do postaci
$\\displaystyle \\small -\\frac{1}{2}x<-\\frac13$, czyli
$\\displaystyle \\small x>\\frac23$
1-(3)/(2)x<(2)/(3)-x.
\nPrzenosimy wyrazy z x na lewą stronę, a liczby na prawą:
\n-(3)/(2)x+x<(2)/(3)-1.
\n-(1)/(2)x<-(1)/(3).
\nMnożymy obie strony przez -2 . Ponieważ mnożymy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności:
\nx>(2)/(3).
\nZbiorem rozwiązań jest
\n((2)/(3),+∞ ).
"}]}