{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie\n𝑥+1\n(𝑥+2)(𝑥-3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązania.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (-1).\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania: (-2) oraz 3.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania: (-1), (-2) oraz 3.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie x+1/(x+2)(x+3) w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (-1). C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (-1) oraz 3. D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (-1), (-2) oraz 3.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba zrobić?\n\nRozwiązać równanie wymierne:\n\n$$\\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0$$\n\nCzyli ustalić, dla których $x \\in \\mathbb{R}$ ułamek po lewej stronie jest równy zero — oraz policzyć, ile takich rozwiązań jest.\n\nWyznacz dziedzinę. Ułamek ma sens tylko wtedy, gdy mianownik jest różny od zera. Mianownikiem jest iloczyn $(x+2)(x-3)$. Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:\n\n$$x + 2 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad x - 3 = 0$$\n\n$$x = -2 \\quad\\text{lub}\\quad x = 3$$\n\nTe dwie liczby nie należą do dziedziny równania. Dziedzina to:\n\n$$D = \\mathbb{R} \\setminus \\{-2,\\ 3\\}$$\n\nZastosuj zasadę: ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik różny od zera).\n\nMianownik mamy już ograniczony przez dziedzinę. Wystarczy więc rozwiązać:\n\n$$x + 1 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x = -1$$\n\nSprawdź, czy znalezione rozwiązanie należy do dziedziny.\n\nCzy $-1$ należy do $\\mathbb{R} \\setminus \\{-2, 3\\}$? Tak — $-1$ nie jest ani $-2$, ani $3$, więc jest w dziedzinie.\n\nZlicz rozwiązania. Jedno: $x = -1$.\n\nAlgorytm na każde równanie wymierne\n\nDla równania postaci $\\dfrac{V(x)}{W(x)} = 0$:\n\n1. Wyznacz dziedzinę: $W(x) \\neq 0$.\n2. Rozwiąż $V(x) = 0$.\n3. Odrzuć te rozwiązania, które nie należą do dziedziny.\n\nJeśli pominiesz krok 3, możesz przyjąć rozwiązanie z dziedziną zera w mianowniku i stracić punkt na otwartym zadaniu albo wybrać D zamiast B na zamkniętym.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to wybór D — uznanie miejsc zerowych mianownika za rozwiązania równania. (−2) i 3 nie należą nawet do dziedziny — przy nich równanie nie ma sensu (dzielenie przez zero).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"równania wymierne, dziedzina, Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
𝑥+1
(𝑥+2)(𝑥-3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (-1).
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (-2) oraz 3.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (-1), (-2) oraz 3.

\n

MMAP-P0_100
Równanie x+1/(x+2)(x+3) w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (-1). C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (-1) oraz 3. D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (-1), (-2) oraz 3.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.6) rozwiązuje równania wymierne postaci
𝑉(𝑥)
𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)
są zapisane w postaci iloczynowej.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: B

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co trzeba zrobić?

\n

Rozwiązać równanie wymierne:

\n

$$\\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0$$

\n

Czyli ustalić, dla których $x \\in \\mathbb{R}$ ułamek po lewej stronie jest równy zero — oraz policzyć, ile takich rozwiązań jest.

\n

Wyznacz dziedzinę. Ułamek ma sens tylko wtedy, gdy mianownik jest różny od zera. Mianownikiem jest iloczyn $(x+2)(x-3)$. Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:

\n

$$x + 2 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad x - 3 = 0$$

\n

$$x = -2 \\quad\\text{lub}\\quad x = 3$$

\n

Te dwie liczby nie należą do dziedziny równania. Dziedzina to:

\n

$$D = \\mathbb{R} \\setminus \\{-2,\\ 3\\}$$

\n

Zastosuj zasadę: ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik różny od zera).

\n

Mianownik mamy już ograniczony przez dziedzinę. Wystarczy więc rozwiązać:

\n

$$x + 1 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x = -1$$

\n

Sprawdź, czy znalezione rozwiązanie należy do dziedziny.

\n

Czy $-1$ należy do $\\mathbb{R} \\setminus \\{-2, 3\\}$? Tak — $-1$ nie jest ani $-2$, ani $3$, więc jest w dziedzinie.

\n

Zlicz rozwiązania. Jedno: $x = -1$.

\n

Algorytm na każde równanie wymierne

\n

Dla równania postaci $\\dfrac{V(x)}{W(x)} = 0$:

\n
  1. Wyznacz dziedzinę: $W(x) \\neq 0$.
  2. Rozwiąż $V(x) = 0$.
  3. Odrzuć te rozwiązania, które nie należą do dziedziny.
\n

Jeśli pominiesz krok 3, możesz przyjąć rozwiązanie z dziedziną zera w mianowniku i stracić punkt na otwartym zadaniu albo wybrać D zamiast B na zamkniętym.

\n

Typowy błąd: Najgorszy błąd to wybór D — uznanie miejsc zerowych mianownika za rozwiązania równania. (−2) i 3 nie należą nawet do dziedziny — przy nich równanie nie ma sensu (dzielenie przez zero).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 5\\), \\(y = 20\\), \\(z = 80\\)

\n

Sposób 1 - Przez różnicę ciągu arytmetycznego

\n

Oznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego \\((a_n)\\) jako \\(r\\).

\n

Skoro \\(x, y, z\\) są odpowiednio 1., 2. i 6. wyrazem ciągu arytmetycznego:
\\[a_1 = x, \\quad a_2 = x + r, \\quad a_6 = x + 5r\\]

\n

czyli:
\\[y = x + r, \\qquad z = x + 5r\\]

\n

Warunek sumy:
\\[x + y + z = 105\\]
\\[x + (x+r) + (x+5r) = 105\\]
\\[3x + 6r = 105\\]
\\[\\boxed{x + 2r = 35, \\quad \\text{czyli } x = 35 - 2r}\\]

\n

Stąd wyznaczamy \\(y\\) i \\(z\\) w zależności od \\(r\\):
\\[y = (35 - 2r) + r = 35 - r\\]
\\[z = (35 - 2r) + 5r = 35 + 3r\\]

\n

Warunek ciągu geometrycznego - środkowy wyraz jest średnią geometryczną skrajnych:
\\[y^2 = x \\cdot z\\]
\\[(35 - r)^2 = (35 - 2r)(35 + 3r)\\]

\n

Rozwijamy obie strony:
\\[1225 - 70r + r^2 = 1225 + 105r - 70r - 6r^2\\]
\\[1225 - 70r + r^2 = 1225 + 35r - 6r^2\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[r^2 + 6r^2 - 70r - 35r = 0\\]
\\[7r^2 - 105r = 0\\]
\\[7r(r - 15) = 0\\]

\n

Zatem \\(r = 0\\) lub \\(r = 15\\).

\n

Odrzucamy \\(r = 0\\), bo ciąg byłby stały (\\(x = y = z = 35\\)), a warunek mówi, że jest rosnący.

\n

Dla \\(r = 15\\):
\\[x = 35 - 2 \\cdot 15 = \\mathbf{5}\\]
\\[y = 35 - 15 = \\mathbf{20}\\]
\\[z = 35 + 3 \\cdot 15 = \\mathbf{80}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(5 + 20 + 80 = 105\\) ✓, iloraz geometryczny \\(\\frac{20}{5} = \\frac{80}{20} = 4\\) ✓, ciąg rosnący ✓

\n

Sposób 2 - Przez iloraz ciągu geometrycznego

\n

Niech iloraz ciągu geometrycznego \\((x, y, z)\\) wynosi \\(q > 0\\). Wtedy:
\\[y = xq, \\qquad z = xq^2\\]

\n

Warunek sumy:
\\[x + xq + xq^2 = 105\\]
\\[x(1 + q + q^2) = 105 \\quad (1)\\]

\n

Warunek arytmetyczny - \\(x, y, z\\) to 1., 2. i 6. wyraz ciągu arytmetycznego z różnicą \\(r\\):

\n

Z \\(y = a_2\\): różnica \\(r = y - x = xq - x = x(q-1)\\)

\n

Z \\(z = a_6\\): \\(z = x + 5r\\), czyli:
\\[xq^2 = x + 5 \\cdot x(q-1)\\]
\\[xq^2 = x(1 + 5q - 5)\\]

\n

Dzielimy przez \\(x \\neq 0\\):
\\[q^2 = 5q - 4\\]
\\[q^2 - 5q + 4 = 0\\]
\\[(q-1)(q-4) = 0\\]

\n

Zatem \\(q = 1\\) lub \\(q = 4\\).

\n

Odrzucamy \\(q = 1\\) - ciąg stały, nie rosnący.

\n

Dla \\(q = 4\\) podstawiamy do \\((1)\\):
\\[x(1 + 4 + 16) = 105\\]
\\[21x = 105\\]
\\[x = 5\\]

\n

Stąd:
\\[y = 5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}, \\qquad z = 5 \\cdot 16 = \\mathbf{80}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go, by wyrazić \\(y = a_2\\) i \\(z = a_6\\) przez \\(x\\) i \\(r\\).

\n

Własność ciągu geometrycznego - środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiednich:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
W naszym przypadku \\(y^2 = x \\cdot z\\) - to kluczowy warunek łączący oba ciągi.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek, że ciąg jest rosnący, jest kluczowy - eliminuje rozwiązanie \\(r = 0\\) (Sposób 1) i \\(q = 1\\) (Sposób 2). Bez tego warunki zadanie miałoby dwa rozwiązania!
\n
⚠️ Uwaga: Wyrazy \\(x, y, z\\) to nie trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego - to 1., 2. i 6. wyraz. Łatwo popełnić błąd pisząc \\(z = x + 2r\\) zamiast \\(z = x + 5r\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwinięciu \\((35-r)^2 = (35-2r)(35+3r)\\) łatwo o błąd znakowy. Pamiętaj: \\((35-2r)(35+3r) = 35^2 + 105r - 70r - 6r^2 = 1225 + 35r - 6r^2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x=5\\), \\(y=20\\), \\(z=80\\)

\n
Sposób 1 - Przez różnicę \\(r\\) ciągu arytmetycznego
\n

Niech \\(r\\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego \\((a_{n})\\). Wtedy \\(y=a_{2}=x+r\\), \\(z=a_{6}=x+5r\\).
Suma: \\(x+(x+r)+(x+5r)=105\\Rightarrow 3x+6r=105\\Rightarrow x=35-2r\\).
Zatem \\(y=35-r\\), \\(z=35+3r\\).
Z warunku ciągu geometrycznego \\(y^{2}=xz\\):
\\[(35-r)^{2}=(35-2r)(35+3r).\\]
\\[35^{2}-70r+r^{2}=35^{2}+35r-6r^{2}.\\]
\\[7r^{2}-105r=0\\Rightarrow r(r-15)=0\\Rightarrow r=0\\ \\text{lub}\\ r=15.\\]
Dla \\(r=0\\) mamy \\(x=y=z\\) (ciąg stały - nie jest rosnący). Dla \\(r=15\\): \\(x=5\\), \\(y=20\\), \\(z=80\\).
Sprawdzenie: \\(5+20+80=105\\), \\(20^{2}=400=5\\cdot 80\\) - zgodność. \\(a_{n}=5+15(n-1)\\Rightarrow a_{1}=5=x,\\ a_{2}=20=y,\\ a_{6}=80=z\\).

\n
Sposób 2 - Przez iloraz \\(q\\) ciągu geometrycznego
\n

Niech \\(q\\) będzie ilorazem. Wtedy \\(y=xq\\), \\(z=xq^{2}\\).
Własność arytmetyczności: \\(4(y-x)=z-y\\) (bo od \\(a_{2}\\) do \\(a_{6}\\) są 4 różnice).
\\[4(xq-x)=xq^{2}-xq\\Rightarrow 4x(q-1)=xq(q-1).\\]
Ciąg rosnący, więc \\(x\\neq 0\\) i \\(q\\neq 1\\): dzielimy przez \\(x(q-1)\\), otrzymując \\(q=4\\).
Suma: \\(x+4x+16x=21x=105\\), czyli \\(x=5\\), \\(y=20\\), \\(z=80\\).

\n
Uwagi o punktacji (0-4)
\n\n

Trik: Wybór metody (przez \\(r\\) czy przez \\(q\\)) zależy od tego, co wygodniej - w obu przypadkach kluczowa równość to „ten sam wyraz ciągu geometrycznego = ten sam wyraz arytmetycznego".

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby równanie $\\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0$ miało rozwiązanie, wystarczy, że $x + 1 = 0$, co daje $x = -1$. Żaden z czynników w mianowniku nie uniemożliwia tego rozwiązania.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero:

\n

(x+2)(x-3)≠0.

\n

x≠-2, x≠3.

\n

Ułamek algebraiczny jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera:

\n

x+1=0.

\n

x=-1.

\n

Liczba -1 należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.

"}]}