{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWielomian 𝑊 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = 3𝑥 i 𝐺(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥+ 3.\nP\nF\nLiczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑊(𝑥) = 0.\nP\nF\nDany jest wielomian W(x)=3x^3+6x²+9x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wielomian W jest iloczynem wielomianów F(x)=3x i G(x)=x²+2x+3. P F Liczba (-1) jest rozwiązaniem równania W(x)=0. P F","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.2) […] mnoży wielomiany jednej i wielu\nzmiennych.\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […],\nktóre dają się doprowadzić do postaci\niloczynowej metodą wyłączania wspólnego\nczynnika przed nawias […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPF\nFP","solution":"Odpowiedź: PF — pierwsze stwierdzenie PRAWDA, drugie FAŁSZ.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStwierdzenie (1) — czy $W(x) = F(x) \\cdot G(x)$?\n\nWymnóż $F(x) \\cdot G(x) = 3x \\cdot (x^2 + 2x + 3)$ rozdzielając mnożenie:\n\n$$3x \\cdot x^2 + 3x \\cdot 2x + 3x \\cdot 3 = 3x^3 + 6x^2 + 9x$$\n\nTo dokładnie $W(x)$. Stwierdzenie PRAWDA.\n\nAlternatywnie — wystarczyło zauważyć, że we wszystkich wyrazach $W(x)$ jest wspólny czynnik $3x$:\n\n$$W(x) = 3x \\cdot (x^2 + 2x + 3)$$\n\nStwierdzenie (2) — czy $W(-1) = 0$?\n\nPodstaw $x = -1$ do oryginalnego wielomianu:\n\n$$W(-1) = 3 \\cdot (-1)^3 + 6 \\cdot (-1)^2 + 9 \\cdot (-1) = -3 + 6 - 9 = -6$$\n\n$W(-1) = -6 \\neq 0$. Stwierdzenie FAŁSZ.\n\nTypowy błąd: Pomyłka znaku przy wymnażaniu 3x · (x² + 2x + 3) = 3x³ + 6x² + 9x. Druga pułapka: podstawienie x = −1 i zła arytmetyka znaków potęg.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wielomiany, rozkład na czynniki","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Wielomian 𝑊 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = 3𝑥 i 𝐺(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥+ 3.
P
F
Liczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑊(𝑥) = 0.
P
F
Dany jest wielomian W(x)=3x^3+6x²+9x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wielomian W jest iloczynem wielomianów F(x)=3x i G(x)=x²+2x+3. P F Liczba (-1) jest rozwiązaniem równania W(x)=0. P F

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
II.2) […] mnoży wielomiany jednej i wielu
zmiennych.
III.5) rozwiązuje równania wielomianowe
postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […],
które dają się doprowadzić do postaci
iloczynowej metodą wyłączania wspólnego
czynnika przed nawias […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
PF
FP

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: PF — pierwsze stwierdzenie PRAWDA, drugie FAŁSZ.

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Stwierdzenie (1) — czy $W(x) = F(x) \\cdot G(x)$?

\n

Wymnóż $F(x) \\cdot G(x) = 3x \\cdot (x^2 + 2x + 3)$ rozdzielając mnożenie:

\n

$$3x \\cdot x^2 + 3x \\cdot 2x + 3x \\cdot 3 = 3x^3 + 6x^2 + 9x$$

\n

To dokładnie $W(x)$. Stwierdzenie PRAWDA.

\n

Alternatywnie — wystarczyło zauważyć, że we wszystkich wyrazach $W(x)$ jest wspólny czynnik $3x$:

\n

$$W(x) = 3x \\cdot (x^2 + 2x + 3)$$

\n

Stwierdzenie (2) — czy $W(-1) = 0$?

\n

Podstaw $x = -1$ do oryginalnego wielomianu:

\n

$$W(-1) = 3 \\cdot (-1)^3 + 6 \\cdot (-1)^2 + 9 \\cdot (-1) = -3 + 6 - 9 = -6$$

\n

$W(-1) = -6 \\neq 0$. Stwierdzenie FAŁSZ.

\n

Typowy błąd: Pomyłka znaku przy wymnażaniu 3x · (x² + 2x + 3) = 3x³ + 6x² + 9x. Druga pułapka: podstawienie x = −1 i zła arytmetyka znaków potęg.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód

\n

To zadanie otwarte - wykazujemy, że \\(|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \\cdot |BC|\\).

\n

Sposób 1 - Twierdzenie sinusów + twierdzenie cosinusów

\n

Oznaczenia. Niech \\(a = |BC|\\), \\(b = |AC|\\), \\(c = |AB|\\) oraz \\(\\alpha = |\\angle BAC|\\). Wówczas \\(|\\angle ABC| = 2\\alpha\\) z treści zadania.

\n

Krok 1: Wyznacz \\(\\cos\\alpha\\) z twierdzenia sinusów.

\n

Z twierdzenia sinusów (bok stoi naprzeciw swojego kąta - \\(b\\) naprzeciw \\(\\angle ABC = 2\\alpha\\), \\(a\\) naprzeciw \\(\\angle BAC = \\alpha\\)):

\n

\\[\\frac{b}{\\sin 2\\alpha} = \\frac{a}{\\sin\\alpha}\\]

\n

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):

\n

\\[\\frac{b}{2\\sin\\alpha\\cos\\alpha} = \\frac{a}{\\sin\\alpha}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):

\n

\\[\\frac{b}{2\\cos\\alpha} = a \\implies \\cos\\alpha = \\frac{b}{2a}\\]

\n

Krok 2: Zastosuj twierdzenie cosinusów dla boku \\(a\\).

\n

Bok \\(a = |BC|\\) leży naprzeciw kąta \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(A\\):

\n

\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]

\n

Podstawiamy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{b}{2a}\\):

\n

\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \\cdot \\frac{b}{2a} = b^2 + c^2 - \\frac{b^2 c}{a}\\]

\n

Krok 3: Przekształć algebraicznie.

\n

Mnożymy obie strony przez \\(a\\):

\n

\\[a^3 = ab^2 + ac^2 - b^2c\\]

\n

Przenosimy wyrazy z \\(a\\) na lewą stronę:

\n

\\[a^3 - ac^2 = ab^2 - b^2c\\]

\n

\\[a(a^2 - c^2) = b^2(a - c)\\]

\n

Rozkładamy różnicę kwadratów:

\n

\\[a(a-c)(a+c) = b^2(a-c)\\]

\n

Krok 4: Podziel przez \\((a - c)\\).

\n

Ponieważ trójkąt nie jest równoramienny i \\(a = |BC|\\), \\(c = |AB|\\) - musimy sprawdzić, czy \\(a \\neq c\\). Gdyby \\(|BC| = |AB|\\), trójkąt byłby równoramienny z kątami przy podstawie równymi \\(\\alpha = 2\\alpha\\), co daje \\(\\alpha = 0\\) - sprzeczność. Zatem \\(a \\neq c\\) i dzielenie jest dozwolone:

\n

\\[a(a+c) = b^2\\]

\n

\\[\\boxed{b^2 = a^2 + ac}\\]

\n

W oryginalnych oznaczeniach:

\n

\\[|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \\cdot |BC| \\qquad \\square\\]

\n

Sposób 2 - Geometryczny (podobieństwo trójkątów)

\n

Idea: Konstruujemy punkt \\(D\\) na odcinku \\(AC\\) tak, by powstał pomocniczy trójkąt podobny do \\(ABC\\).

\n

Krok 1: Wyznaczenie \\(D\\) przez dwusieczną kąta \\(\\angle ABC\\).

\n

Niech \\(D\\) leży na odcinku \\(AC\\) i niech \\(BD\\) dzieli kąt \\(\\angle ABC\\) na dwie równe części, czyli:

\n

\\[|\\angle ABD| = |\\angle DBC| = \\frac{2\\alpha}{2} = \\alpha\\]

\n

Krok 2: Trójkąt \\(ABD\\) jest równoramienny.

\n

W trójkącie \\(ABD\\) mamy:

\n\n

Zatem \\(|\\angle ADB| = 180° - 2\\alpha\\), a trójkąt \\(ABD\\) jest równoramienny: \\(|BD| = |AD|\\).

\n

Krok 3: Trójkąty \\(BDC\\) i \\(ABC\\) są podobne.

\n

Kąt \\(\\angle BDC\\) jest kątem przyległym do \\(\\angle ADB\\):
\\[|\\angle BDC| = 180° - (180° - 2\\alpha) = 2\\alpha\\]

\n

W trójkącie \\(BDC\\) mamy:

\n\n

W trójkącie \\(ABC\\) mamy:

\n\n

Trójkąty \\(BDC \\sim ABC\\) (AA - dwa równe kąty). Odpowiadające sobie boki:

\n

\\[\\frac{|BC|}{|AC|} = \\frac{|DC|}{|BC|} = \\frac{|BD|}{|AB|}\\]

\n

Krok 4: Wyznacz \\(|DC|\\) i \\(|BD|\\).

\n

Z proporcji \\(\\dfrac{|BC|}{|AC|} = \\dfrac{|DC|}{|BC|}\\):

\n

\\[|DC| = \\frac{|BC|^2}{|AC|}\\]

\n

Z proporcji \\(\\dfrac{|BC|}{|AC|} = \\dfrac{|BD|}{|AB|}\\):

\n

\\[|BD| = \\frac{|AB| \\cdot |BC|}{|AC|}\\]

\n

Krok 5: Skorzystaj z równoramienności \\(ABD\\): \\(|BD| = |AD|\\).

\n

Zauważamy, że \\(|AD| = |AC| - |DC|\\), więc:

\n

\\[\\frac{|AB| \\cdot |BC|}{|AC|} = |AC| - \\frac{|BC|^2}{|AC|}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(|AC|\\):

\n

\\[|AB| \\cdot |BC| = |AC|^2 - |BC|^2\\]

\n

\\[\\boxed{|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \\cdot |BC|} \\qquad \\square\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - twierdzenie sinusów:
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) z relacji \\(\\angle ABC = 2 \\cdot \\angle BAC\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - sinus podwojonego kąta:
\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]
Kluczowy wzór pozwalający uprościć \\(\\sin 2\\alpha\\) i wyznaczyć \\(\\cos\\alpha\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie cosinusów:
\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do zapisania zależności między bokami a kątem \\(\\alpha\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 przy faktoryzacji wyrażenia \\(a(a^2 - c^2)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij uzasadnić, że \\(a \\neq c\\), zanim podzielisz przez \\((a-c)\\)! Bez tego kroku dowód jest niekompletny. Trzeba pokazać, że gdyby \\(|BC| = |AB|\\), dochodzimy do sprzeczności.
\n
⚠️ Uwaga: Przy twierdzeniu sinusów pilnuj, który bok leży naprzeciw którego kąta. Bok \\(b = |AC|\\) leży naprzeciw kąta \\(\\angle ABC\\), a bok \\(a = |BC|\\) - naprzeciw kąta \\(\\angle BAC\\). Pomylenie tego odwraca ułamek i prowadzi do błędnego \\(\\cos\\alpha\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 kąt \\(\\angle BDC\\) to kąt suplementarny do \\(\\angle ADB\\) (leżą na prostej \\(AC\\)), więc \\(\\angle BDC = 180° - \\angle ADB = 2\\alpha\\). Nie mylić z samym \\(\\angle ADB = 180° - 2\\alpha\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: dowód geometryczny tożsamości \\(b^{2}=a^{2}+ac\\)

\n
Sposób 1 - Twierdzenie sinusów + cosinusów
\n

Oznaczmy \\(a=|BC|\\), \\(b=|CA|\\), \\(c=|AB|\\), \\(\\alpha=|\\angle CAB|\\), więc \\(|\\angle ABC|=2\\alpha\\).
Twierdzenie sinusów: \\(\\dfrac{b}{\\sin 2\\alpha}=\\dfrac{a}{\\sin\\alpha}\\). Ze wzoru \\(\\sin 2\\alpha=2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):
\\[\\dfrac{b}{2\\sin\\alpha\\cos\\alpha}=\\dfrac{a}{\\sin\\alpha}\\Rightarrow \\cos\\alpha=\\dfrac{b}{2a}.\\]
Twierdzenie cosinusów: \\(a^{2}=c^{2}+b^{2}-2bc\\cos\\alpha=c^{2}+b^{2}-\\dfrac{b^{2}c}{a}\\).
\\[a^{2}-c^{2}=b^{2}-\\dfrac{b^{2}c}{a}=b^{2}\\cdot\\dfrac{a-c}{a}\\Rightarrow (a-c)(a+c)\\cdot a=b^{2}(a-c).\\]
Trójkąt nie jest równoramienny, więc \\(a\\neq c\\). Dzielimy przez \\(a-c\\): \\(b^{2}=a(a+c)=a^{2}+ac\\). CKD

\n
Sposób 2 - Trójkąty podobne (przez dwusieczną)
\n

Niech \\(D\\) będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta \\(\\angle ABC\\) z bokiem \\(AC\\). Wtedy \\(|\\angle ABD|=|\\angle DBC|=\\alpha\\). W trójkącie \\(CBD\\): \\(|\\angle BCD|=180^{\\circ}-3\\alpha\\), \\(|\\angle BDC|=2\\alpha\\). Zatem trójkąty \\(CAB\\) i \\(CBD\\) są podobne (kkk - oba mają kąty \\(\\alpha\\), \\(2\\alpha\\), \\(180^{\\circ}-3\\alpha\\)). Stąd \\(\\dfrac{|CD|}{a}=\\dfrac{a}{b}\\), czyli \\(|CD|=\\dfrac{a^{2}}{b}\\).
Z twierdzenia o dwusiecznej: \\(\\dfrac{|AD|}{|CD|}=\\dfrac{c}{a}\\). Ponieważ \\(|AD|=b-|CD|\\), otrzymujemy \\(\\dfrac{b-|CD|}{|CD|}=\\dfrac{c}{a}\\), stąd \\(|CD|=\\dfrac{ab}{c+a}\\). Porównując oba wzory: \\(\\dfrac{a^{2}}{b}=\\dfrac{ab}{c+a}\\), czyli \\(b^{2}=a(a+c)=a^{2}+ac\\). CKD

\n
Uwagi o punktacji (0-4)
\n\n

Trik: Kąt \\(\\angle ABC=2\\alpha\\) sugeruje dwa klasyczne tricki - albo wzory z podwojonym kątem (sinusy/cosinusy), albo dwusieczna dzieląca go na dwa kąty \\(\\alpha\\), co generuje podobne trójkąty.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Pierwsze stwierdzenie:

\n

3x(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x=W(x),

\n

więc jest prawdziwe.

\n

Drugie stwierdzenie:

\n

W(-1)=-3+6-9=-6≠0,

\n

więc jest fałszywe.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

PF

"}]}