Zadanie 9. (0-3)
Rozwiąż równanie
𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟑𝒙+ 𝟔= 𝟎
Zapisz obliczenia.
9.
0-1-
2-3
MMAP-P0_100
\nMMAP-P0_100
Rozwiąż równanie x^3-2x²-3x+6 = 0
Zadanie 9. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
III.5) rozwiązuje równania wielomianowe
postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]
takich, które dają się doprowadzić do
postaci iloczynowej […] metodą
grupowania.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(-√3), √3, 2.
2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego
rozkładu, np.:
(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 i 𝑥= 2,
(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 i 𝑥= -√3 oraz 𝑥= √3
ALBO
równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:
(𝑥-2 = 0, 𝑥2 -3 = 0) oraz 𝑥= 2,
(𝑥-2 = 0, 𝑥2 -3 = 0) oraz (𝑥= -√3, 𝑥= √3),
ALBO
𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3),
ALBO
równań liniowych: (𝑥-2 = 0, 𝑥-√3 = 0, 𝑥+ √3 = 0),
ALBO
poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥= 2 i (𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6) ∶(𝑥-2) = 𝑥2 -3.
1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥2 -3)
ALBO
równań: (𝑥-2 = 0, 𝑥2 -3 = 0),
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) = 0 lub do postaci 𝑥2(𝑥-2) = 3(𝑥-2) oraz zapisanie
rozwiązania 𝑥= 2,
ALBO
sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
całe rozwiązanie.
\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to
otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
czynnik (𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥-2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥2 -3 = 0).
ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże
zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt
za rozwiązanie równania 𝑥-2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -3 = 0).
błąd i zapisze:
𝑥2(𝑥+ 2) -3(𝑥-2) = 0
lub
𝑥2(𝑥-2) + 3(𝑥-2) = 0
lub
𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥+ 2) = 0
lub
𝑥(𝑥2 + 3) -2(𝑥2 -3) = 0
lub
𝑥(𝑥2 -3) + 2(𝑥2 -3) = 0
lub
𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 + 3) = 0
a następnie:
5.1. zapisze równanie (𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 lub poprawną alternatywę
(𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥-2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -3 = 0).
5.2. zapisze równanie (𝑥-2)(𝑥2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥= 2, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
5.3. zapisze równanie (𝑥+ 2)(𝑥2 -3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥+ 2 = 0 lub 𝑥2 -3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥2 -3 = 0:
𝑥= -√3 oraz 𝑥= √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest
iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.
(𝑥-2)(𝑥+ 2)(𝑥2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2
oraz 5.3, np. (𝑥-2 = 0 lub 𝑥+ 2 = 0 lub 𝑥2 ± 3 = 0), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,
które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
(𝑥-2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥= √3 oraz 𝑥= -√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
(𝑥-2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥= √3 oraz 𝑥= -√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0
𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) = 0
(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0
(𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3) = 0
𝑥-2 = 0 lub 𝑥-√3 = 0 lub 𝑥+ √3 = 0
𝑥= 2 lub 𝑥= √3 lub 𝑥= -√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (-√3), √3, 2.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0
𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 -3) = 0
(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3) = 0
𝑥-2 = 0 lub 𝑥-√3 = 0 lub 𝑥+ √3 = 0
𝑥= 2 lub 𝑥= √3 lub 𝑥= -√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (-√3), √3, 2.
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian (𝑥-2) i otrzymujemy
(𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6): (𝑥-2) = 𝑥2 -3
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥2 -3) = (𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3).
Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):
(𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3) = 0
𝑥-2 = 0 lub 𝑥-√3 = 0 lub 𝑥+ √3 = 0
𝑥= 2 lub 𝑥= √3 lub 𝑥= -√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (-√3), √3, 2.
Odpowiedź: x = 2 lub x = √3 lub x = -√3
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nCo trzeba zrobić?
\nTrzeba rozwiązać równanie wielomianowe trzeciego stopnia:
\n$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$$
\nWielomian trzeciego stopnia ma maksymalnie trzy pierwiastki rzeczywiste. Trzeba je wszystkie znaleźć.
\nNajprostsza metoda to grupowanie wyrazów — pogrupowanie wyrazów po dwa i wyciągnięcie wspólnego czynnika tak, aby pojawił się ten sam dwumian w nawiasie.
\nZgrupuj wyrazy w pary. Zauważ, że pierwsze dwa wyrazy ($x^3$ i $-2x^2$) mają wspólne $x^2$, a ostatnie dwa ($-3x$ i $+6$) mają wspólny czynnik $-3$.
\n$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$$
\nWyciągnij wspólny czynnik z każdej pary.
\n$$x^2(x - 2) - 3(x - 2) = 0$$
\nTeraz w obu składnikach pojawił się ten sam dwumian $(x - 2)$ — to znak, że grupowanie zadziałało.
\nWyłącz $(x-2)$ jako wspólny czynnik.
\n$$(x - 2)(x^2 - 3) = 0$$
\nWielomian został rozłożony na iloczyn dwóch czynników — dwumianu liniowego i dwumianu kwadratowego. Tu już zarobiłeś 2 z 3 punktów.
\nZastosuj zasadę: iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.
\n$$x - 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 3 = 0$$
\nZ pierwszego: $x = 2$.
\nZ drugiego: $x^2 = 3$, czyli $x = \\sqrt{3}$ lub $x = -\\sqrt{3}$.
\nZapisz wszystkie rozwiązania.
\n$$x \\in \\left\\{ -\\sqrt{3},\\ \\sqrt{3},\\ 2 \\right\\}$$
\nJak zarobić wszystkie 3 punkty
\nPunktacja CKE:
\nNajczęstsze straty: zapomnienie o jednym rozwiązaniu lub błąd przy wyłączaniu wspólnego czynnika (myli się znak).
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron równania x²(x−2) = 3(x−2) przez (x−2) bez zastrzeżenia, że x ≠ 2. Gubisz wtedy rozwiązanie x = 2 i tracisz punkty.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"\\[P_{AGF} = \\frac{a^2}{12}, \\qquad P_{CEFG} = \\frac{a^2}{6}\\]
\nUstalamy układ współrzędnych:
\n\\[A = (0,0),\\quad B = (a,0),\\quad C = (a,a),\\quad D = (0,a),\\quad E = \\left(\\tfrac{a}{2}, a\\right)\\]
\n(E jest środkiem CD, więc ma współrzędną x równą \\(\\frac{a}{2}\\))
\nWyznaczamy punkty G i F:
\nProsta \\(BD\\) (od \\(B=(a,0)\\) do \\(D=(0,a)\\)):
\\[x + y = a\\]
Prosta \\(AC\\) (od \\(A=(0,0)\\) do \\(C=(a,a)\\)):
\\[y = x\\]
Punkt G = \\(AC \\cap BD\\):
\\[x + x = a \\implies x = \\frac{a}{2} \\implies G = \\left(\\frac{a}{2}, \\frac{a}{2}\\right)\\]
To jest środek odcinka AC. ✓
\nProsta \\(AE\\) (od \\(A=(0,0)\\) do \\(E=(\\frac{a}{2}, a)\\)):
\\[y = 2x\\]
Punkt F = \\(AE \\cap BD\\):
\\[x + 2x = a \\implies x = \\frac{a}{3} \\implies F = \\left(\\frac{a}{3}, \\frac{2a}{3}\\right)\\]
Kluczowe spostrzeżenie - F jest środkiem ciężkości trójkąta ACD:
\nRozpatrzmy trójkąt \\(ACD\\) o wierzchołkach \\(A=(0,0)\\), \\(C=(a,a)\\), \\(D=(0,a)\\).
\nZatem \\(F = AE \\cap BD\\) jest przecięciem dwóch środkowych trójkąta \\(ACD\\) - czyli \\(F\\) jest jego środkiem ciężkości.
\nObliczamy pola:
\nTrzy środkowe dzielą trójkąt na 6 równych trójkątów. Trójkąt \\(AGF\\) to jeden z nich (wierzchołek \\(A\\), środek boku \\(AC\\) czyli \\(G\\), środek ciężkości \\(F\\)).
\n\\[P(ACD) = \\frac{P(ABCD)}{2} = \\frac{a^2}{2}\\]
\n\\[\\boxed{P_{AGF} = \\frac{P(ACD)}{6} = \\frac{a^2}{2} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{a^2}{12}}\\]
\nPole trójkąta \\(ACE\\) (podstawa \\(CE = \\frac{a}{2}\\), wysokość \\(= a\\)):
\\[P(ACE) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a}{2} \\cdot a = \\frac{a^2}{4}\\]
\\[\\boxed{P_{CEFG} = P(ACE) - P_{AGF} = \\frac{a^2}{4} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{3a^2}{12} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{2a^2}{12} = \\frac{a^2}{6}}\\]
\nKorzystamy ze wzoru:
\\[P = \\frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\\]
Pole trójkąta AGF dla \\(A=(0,0)\\), \\(G=\\left(\\frac{a}{2},\\frac{a}{2}\\right)\\), \\(F=\\left(\\frac{a}{3},\\frac{2a}{3}\\right)\\):
\n\\[P_{AGF} = \\frac{1}{2}\\left|0 \\cdot \\left(\\frac{a}{2} - \\frac{2a}{3}\\right) + \\frac{a}{2} \\cdot \\left(\\frac{2a}{3} - 0\\right) + \\frac{a}{3} \\cdot \\left(0 - \\frac{a}{2}\\right)\\right|\\]
\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|0 + \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{2a}{3} - \\frac{a}{3} \\cdot \\frac{a}{2}\\right| = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{a^2}{3} - \\frac{a^2}{6}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a^2}{6} = \\frac{a^2}{12}\\checkmark\\]
\nPole czworokąta CEFG wzorem Gaussa (sznurkowym) dla \\(C=(a,a)\\), \\(E=\\left(\\frac{a}{2},a\\right)\\), \\(F=\\left(\\frac{a}{3},\\frac{2a}{3}\\right)\\), \\(G=\\left(\\frac{a}{2},\\frac{a}{2}\\right)\\):
\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|x_C(y_E - y_G) + x_E(y_F - y_C) + x_F(y_G - y_E) + x_G(y_C - y_F)\\right|\\]
\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|a\\cdot\\frac{a}{2} + \\frac{a}{2}\\cdot\\left(-\\frac{a}{3}\\right) + \\frac{a}{3}\\cdot\\left(-\\frac{a}{2}\\right) + \\frac{a}{2}\\cdot\\frac{a}{3}\\right|\\]
\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|\\frac{a^2}{2} - \\frac{a^2}{6} - \\frac{a^2}{6} + \\frac{a^2}{6}\\right| = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{3a^2 - a^2}{6}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a^2}{6} = \\frac{a^2}{6}\\checkmark\\]
\nDział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(P(ACE)\\) i \\(P(ACD)\\).
Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - pole trójkąta ze współrzędnych:
\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji \\(P_{AGF}\\).
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który wierzchołek jest E - E jest środkiem CD (górnego boku), nie BC! Błędne umiejscowienie E zmienia całkowicie układ punktów F i G.\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów zakłada intuicyjnie, że G to środek przekątnej BD - tak nie jest! G to punkt przecięcia BD z bokiem AC trójkąta ACE, i okazuje się, że G jest środkiem AC, ale nie środkiem BD.\n
⚠️ Uwaga: Przy wzorze sznurkowym (Gaussa) dla czworokąta ważna jest kolejność wierzchołków - muszą iść po obwodzie (zgodnie lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Przypadkowa kolejność daje błędny wynik.\n
Poprawna odpowiedź: \\(P_{AGF}=\\dfrac{1}{12}a^{2}\\), \\(P_{CEFG}=\\dfrac{1}{6}a^{2}\\)
\nW trójkącie \\(ACD\\) punkt \\(G\\) to środek \\(AC\\) (przekątne kwadratu dzielą się na połowy), a \\(E\\) to środek \\(CD\\). Zatem \\(DG\\) i \\(AE\\) to środkowe trójkąta \\(ACD\\), a ich przecięcie \\(F\\) to środek ciężkości. Wtedy \\(|DF|:|FG|=2:1\\), czyli \\(|FG|=\\dfrac{1}{3}|DG|\\).
Pole \\(P_{AGD}=\\dfrac{1}{2}P_{ACD}=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}a^{2}=\\dfrac{1}{4}a^{2}\\). Trójkąty \\(AGF\\) i \\(AGD\\) mają wspólny wierzchołek \\(A\\) i podstawy \\(FG\\), \\(DG\\) na tej samej prostej, więc
\\[P_{AGF}=\\dfrac{|FG|}{|DG|}\\cdot P_{AGD}=\\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{1}{4}a^{2}=\\dfrac{1}{12}a^{2}.\\]
Pole \\(P_{ACE}=\\dfrac{1}{2}\\cdot|EC|\\cdot|AD|=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{a}{2}\\cdot a=\\dfrac{1}{4}a^{2}\\). Zatem
\\[P_{CEFG}=P_{ACE}-P_{AGF}=\\dfrac{1}{4}a^{2}-\\dfrac{1}{12}a^{2}=\\dfrac{3-1}{12}a^{2}=\\dfrac{1}{6}a^{2}.\\]
Niech \\(A=(0,0)\\), \\(B=(a,0)\\), \\(C=(a,a)\\), \\(D=(0,a)\\). Wtedy \\(E=(\\tfrac{a}{2},a)\\), \\(G=(\\tfrac{a}{2},\\tfrac{a}{2})\\).
Prosta \\(AE\\): \\(y=2x\\). Prosta \\(BD\\): \\(y=-x+a\\). Przecięcie: \\(2x=-x+a\\Rightarrow x=\\tfrac{a}{3}\\), \\(y=\\tfrac{2a}{3}\\), czyli \\(F=(\\tfrac{a}{3},\\tfrac{2a}{3})\\).
Pole trójkąta \\(AGF\\) ze wzoru na wyznacznik: \\(P_{AGF}=\\dfrac{1}{2}\\left|\\dfrac{a}{2}\\cdot\\dfrac{2a}{3}-\\dfrac{a}{2}\\cdot\\dfrac{a}{3}\\right|=\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{a^{2}}{6}=\\dfrac{a^{2}}{12}\\).
\\(P_{ACE}=\\dfrac{1}{4}a^{2}\\), więc \\(P_{CEFG}=\\dfrac{1}{4}a^{2}-\\dfrac{1}{12}a^{2}=\\dfrac{1}{6}a^{2}\\).
Trik: Rozpoznanie, że \\(F\\) to środek ciężkości trójkąta \\(ACD\\), jest najszybszą drogą - klasyczny stosunek \\(2:1\\) daje wynik w jednej linijce.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"x^3-2x^2-3x+6=0.
\nGrupujemy wyrazy:
\nx^2(x-2)-3(x-2)=0,
\n(x-2)(x^2-3)=0.
\nStąd
\nx=2 lub x^2=3,
\nczyli
\nx∈\\ -√(3),√(3),2\\ .
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$-\\\\sqrt{3}, \\\\sqrt{3}, 2$
"}]}