{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura\ntej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała\ni równa 20 °C. Temperatura 𝑇 tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością\n𝑇(𝑡) = (𝑇𝑝-𝑇𝑧) ⋅𝑘-𝑡+ 𝑇𝑧 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑇 - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,\n𝑡 - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,\n𝑇𝑝 - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,\n𝑇𝑧 - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,\n𝑘 - stała charakterystyczna dla danej cieczy.\nPo 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65 °C.\nOblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach\nCelsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nW chwili początkowej (t=0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80°C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 20°C. Temperatura T tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością T(t) = (T_p-T_z) ⋅ k^{-t} + T_z dla t≥0 gdzie: T - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, t - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, T_p - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, T_z - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, k - stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65°C. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności.","answer":"T(15) ≈ 59 °C","answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia temperatury kawy po 15 minutach oraz poprawny wynik\nzaokrąglony do jedności: 59 °C.\n1 pkt - obliczenie 𝑘-10: 45\n60 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków zadania 𝑇(10) = 65, więc 65 = (80 -20) ⋅𝑘-10 + 20 i stąd\n𝑘-10 = 45\n60 = 3\n4 . Zatem\n𝑇(15) = (80 -20) ⋅𝑘-15 + 20 = 60 ⋅(𝑘-10)1,5 + 20 =\n= 60 ⋅(3\n4)\n1,5\n+ 20 = 60 ⋅3\n4 ⋅√3\n2 + 20 = 45√3\n2\n+ 20 ≈59\nTemperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa 59 °C.\nSposób II\nZ warunków zadania 𝑇(10) = 65, więc 65 = (80 -20) ⋅𝑘-10 + 20 i stąd 𝑘-10 = 3\n4 .\nPrzyjmujemy teraz 𝑇𝑝= 65, 𝑇𝑧= 20 i obliczamy 𝑇(5):\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑇(5) = (65 -20) ⋅𝑘-5 + 20 = 45 ⋅(𝑘-10)0,5 + 20 =\n= 45 ⋅√3\n4 + 20 = 45√3\n2\n+ 20 ≈59\nTemperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa 59 °C.","solution":"Odpowiedź: T(15) ≈ 59 °C\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo wiemy?\n\nWzór modelu stygnięcia (prawo Newtona):\n\n$$T(t) = (T_p - T_z) \\cdot k^{-t} + T_z = 60 \\cdot k^{-t} + 20$$\n\nZ warunku $T(10) = 65$:\n\n$$65 = 60 \\cdot k^{-10} + 20 \\quad\\Rightarrow\\quad k^{-10} = \\frac{45}{60} = \\frac{3}{4}$$\n\nTo jedyna informacja, jakiej potrzebujemy o $k$. Nie obliczamy samego $k$ — pracujemy bezpośrednio z $k^{-10}$.\n\nZapisz $T(15)$ używając wykładnika $-15$.\n\n$$T(15) = 60 \\cdot k^{-15} + 20$$\n\nZauważ, że $k^{-15} = k^{-10} \\cdot k^{-5}$, oraz $k^{-5} = \\sqrt{k^{-10}}$ (bo $(k^{-5})^2 = k^{-10}$, a $k^{-5} > 0$).\n\n$$k^{-15} = k^{-10} \\cdot \\sqrt{k^{-10}} = (k^{-10})^{1{,}5}$$\n\nPodstaw $k^{-10} = \\tfrac{3}{4}$:\n\n$$T(15) = 60 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{1{,}5} + 20$$\n\nRozłóż $\\left(\\tfrac{3}{4}\\right)^{1{,}5} = \\tfrac{3}{4} \\cdot \\sqrt{\\tfrac{3}{4}} = \\tfrac{3}{4} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$:\n\n$$T(15) = 60 \\cdot \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 20 = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20$$\n\nOblicz przybliżenie. $\\sqrt{3} \\approx 1{,}732$:\n\n$$\\frac{45 \\cdot 1{,}732}{2} + 20 \\approx \\frac{77{,}94}{2} + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97$$\n\nPo zaokrągleniu do jedności: $T(15) \\approx 59$ °C.\n\nSposób alternatywny — start z $t = 10$\n\nMożna potraktować chwilę $t = 10$ jako „nowy start\" z $T_p' = 65$ i policzyć $T(5)$ od tego momentu:\n\n$$T(10 + 5) = (65 - 20) \\cdot k^{-5} + 20 = 45 \\cdot \\sqrt{\\tfrac{3}{4}} + 20 = 45 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 20 \\approx 59 \\text{ °C}$$\n\nTen sam wynik, mniej algebry.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie $k^{-10} = \\tfrac{45}{60} = \\tfrac{3}{4}$.\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik zaokrąglony: $T(15) \\approx 59$ °C.\n\nKlucz — kiedy używać prawa Newtona\n\nKażde zadanie typu „stygnięcie / nagrzewanie / spadek aktywności radioaktywnej / zanikanie leku w krwi\" sprowadza się do tego samego schematu wykładniczego $T(t) = A \\cdot k^{-t} + B$. Trik to wyciągnięcie $k^{-T}$ (gdzie $T$ to znany moment) i wyrażenie szukanej wartości jako jego potęgi. Nigdy nie musisz wyciągać samego $k$ — pracuj z $k^{-T}$ jako blokiem.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie T(5) zamiast T(15) — bo treść mówi \"po kolejnych 5 minutach\". To T(10 + 5) = T(15), nie T(5). Drugi błąd: zostawienie wyniku z √3 zamiast zaokrąglić do jedności.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcja wykładnicza, model praktyczny, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura
tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała
i równa 20 °C. Temperatura 𝑇 tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
𝑇(𝑡) = (𝑇𝑝-𝑇𝑧) ⋅𝑘-𝑡+ 𝑇𝑧 dla 𝑡≥0
gdzie:
𝑇 - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
𝑡 - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
𝑇𝑝 - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
𝑇𝑧 - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
𝑘 - stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65 °C.
Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach
Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
1.
0-1-2

\n

MMAP-R0_100
W chwili początkowej (t=0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80°C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 20°C. Temperatura T tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością T(t) = (T_p-T_z) ⋅ k^{-t} + T_z dla t≥0 gdzie: T - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, t - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, T_p - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, T_z - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, k - stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65°C. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 20241
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.13) posługuje się funkcjami wykładniczą
i logarytmiczną […] do opisu i interpretacji
zagadnień związanych z zastosowaniami
praktycznymi.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia temperatury kawy po 15 minutach oraz poprawny wynik
zaokrąglony do jedności: 59 °C.
1 pkt - obliczenie 𝑘-10: 45
60 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Z warunków zadania 𝑇(10) = 65, więc 65 = (80 -20) ⋅𝑘-10 + 20 i stąd
𝑘-10 = 45
60 = 3
4 . Zatem
𝑇(15) = (80 -20) ⋅𝑘-15 + 20 = 60 ⋅(𝑘-10)1,5 + 20 =
= 60 ⋅(3
4)
1,5

\n\n

4 ⋅√3
2 + 20 = 45√3
2

\n\n

Temperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa 59 °C.
Sposób II
Z warunków zadania 𝑇(10) = 65, więc 65 = (80 -20) ⋅𝑘-10 + 20 i stąd 𝑘-10 = 3
4 .
Przyjmujemy teraz 𝑇𝑝= 65, 𝑇𝑧= 20 i obliczamy 𝑇(5):
1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑇(5) = (65 -20) ⋅𝑘-5 + 20 = 45 ⋅(𝑘-10)0,5 + 20 =
= 45 ⋅√3
4 + 20 = 45√3
2

\n\n

Temperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa 59 °C.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: T(15) ≈ 59 °C

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Co wiemy?

\n

Wzór modelu stygnięcia (prawo Newtona):

\n

$$T(t) = (T_p - T_z) \\cdot k^{-t} + T_z = 60 \\cdot k^{-t} + 20$$

\n

Z warunku $T(10) = 65$:

\n

$$65 = 60 \\cdot k^{-10} + 20 \\quad\\Rightarrow\\quad k^{-10} = \\frac{45}{60} = \\frac{3}{4}$$

\n

To jedyna informacja, jakiej potrzebujemy o $k$. Nie obliczamy samego $k$ — pracujemy bezpośrednio z $k^{-10}$.

\n

Zapisz $T(15)$ używając wykładnika $-15$.

\n

$$T(15) = 60 \\cdot k^{-15} + 20$$

\n

Zauważ, że $k^{-15} = k^{-10} \\cdot k^{-5}$, oraz $k^{-5} = \\sqrt{k^{-10}}$ (bo $(k^{-5})^2 = k^{-10}$, a $k^{-5} > 0$).

\n

$$k^{-15} = k^{-10} \\cdot \\sqrt{k^{-10}} = (k^{-10})^{1{,}5}$$

\n

Podstaw $k^{-10} = \\tfrac{3}{4}$:

\n

$$T(15) = 60 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{1{,}5} + 20$$

\n

Rozłóż $\\left(\\tfrac{3}{4}\\right)^{1{,}5} = \\tfrac{3}{4} \\cdot \\sqrt{\\tfrac{3}{4}} = \\tfrac{3}{4} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$:

\n

$$T(15) = 60 \\cdot \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 20 = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20$$

\n

Oblicz przybliżenie. $\\sqrt{3} \\approx 1{,}732$:

\n

$$\\frac{45 \\cdot 1{,}732}{2} + 20 \\approx \\frac{77{,}94}{2} + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97$$

\n

Po zaokrągleniu do jedności: $T(15) \\approx 59$ °C.

\n

Sposób alternatywny — start z $t = 10$

\n

Można potraktować chwilę $t = 10$ jako „nowy start" z $T_p' = 65$ i policzyć $T(5)$ od tego momentu:

\n

$$T(10 + 5) = (65 - 20) \\cdot k^{-5} + 20 = 45 \\cdot \\sqrt{\\tfrac{3}{4}} + 20 = 45 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 20 \\approx 59 \\text{ °C}$$

\n

Ten sam wynik, mniej algebry.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Klucz — kiedy używać prawa Newtona

\n

Każde zadanie typu „stygnięcie / nagrzewanie / spadek aktywności radioaktywnej / zanikanie leku w krwi" sprowadza się do tego samego schematu wykładniczego $T(t) = A \\cdot k^{-t} + B$. Trik to wyciągnięcie $k^{-T}$ (gdzie $T$ to znany moment) i wyrażenie szukanej wartości jako jego potęgi. Nigdy nie musisz wyciągać samego $k$ — pracuj z $k^{-T}$ jako blokiem.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie T(5) zamiast T(15) — bo treść mówi "po kolejnych 5 minutach". To T(10 + 5) = T(15), nie T(5). Drugi błąd: zostawienie wyniku z √3 zamiast zaokrąglić do jedności.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 59 °C

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie stałej k, potem T(15)

\n

Krok 1: Podstaw znane wartości do wzoru.

\n

Dane: \\(T_p = 80\\), \\(T_z = 20\\), wzór:
\\[T(t) = (T_p - T_z) \\cdot k^{-t} + T_z = 60 \\cdot k^{-t} + 20\\]

\n

Krok 2: Użyj warunku T(10) = 65, żeby znaleźć k⁻¹⁰.

\n

\\[T(10) = 60 \\cdot k^{-10} + 20 = 65\\]
\\[60 \\cdot k^{-10} = 45\\]
\\[k^{-10} = \\frac{45}{60} = \\frac{3}{4}\\]

\n

Krok 3: Wyznacz k⁻¹⁵.

\n

Ponieważ \\(-15 = -10 + (-5)\\), a chcemy też \\(k^{-5}\\). Korzystamy z:
\\[(k^{-5})^2 = k^{-10} = \\frac{3}{4}\\]
\\[k^{-5} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[k^{-15} = k^{-10} \\cdot k^{-5} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{8}\\]

\n

Krok 4: Oblicz T(15).

\n

\\[T(15) = 60 \\cdot k^{-15} + 20 = 60 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{8} + 20 = \\frac{180\\sqrt{3}}{8} + 20 = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20\\]

\n

\\[T(15) = 22{,}5\\sqrt{3} + 20 \\approx 22{,}5 \\cdot 1{,}7321 + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97\\]

\n

\\[\\boxed{T(15) \\approx 59\\,°\\text{C}}\\]

\n

Sposób 2 - Nadwyżka temperaturowa i proporcje (elegancka metoda)

\n

Zdefiniujmy nadwyżkę temperatury ponad temperaturę otoczenia:
\\[\\theta(t) = T(t) - T_z = (T_p - T_z) \\cdot k^{-t} = 60 \\cdot k^{-t}\\]

\n

Wypisujemy znane wartości:
\\[\\theta(0) = 60, \\quad \\theta(10) = T(10) - 20 = 65 - 20 = 45\\]

\n

Kluczowa obserwacja: w modelu wykładniczym, iloraz nadwyżek w równych odstępach czasu jest stały. Każde 10 minut temperatura „nadwyżkowa" maleje o czynnik \\(\\frac{3}{4}\\), bo:
\\[\\frac{\\theta(10)}{\\theta(0)} = \\frac{45}{60} = \\frac{3}{4} = k^{-10}\\]

\n

Szukamy \\(\\theta(15)\\). Od \\(t=10\\) do \\(t=15\\) mija 5 minut, czyli połowa okresu 10-minutowego. Czynnik za 5 minut to:
\\[\\frac{\\theta(15)}{\\theta(10)} = k^{-5} = \\sqrt{k^{-10}} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[\\theta(15) = \\theta(10) \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 45 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

\\[T(15) = \\theta(15) + T_z = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97 \\approx \\boxed{59\\,°\\text{C}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własności potęg:
\\[a^{r+s} = a^r \\cdot a^s, \\qquad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy ich w obydwu sposobach: \\(k^{-15} = k^{-10} \\cdot k^{-5}\\) oraz \\((k^{-5})^2 = k^{-10}\\).

\n

Dział 2 (s. 5) - pierwiastek jako potęga ułamkowa:
\\[a^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{a}\\]
Użyliśmy przy wyznaczaniu \\(k^{-5} = (k^{-10})^{1/2} = \\sqrt{\\frac{3}{4}}\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Pytanie mówi „po następnych pięciu minutach" - czyli liczymy \\(t = 10 + 5 = 15\\), nie \\(t = 5\\)! To częsty błąd - podstawienie \\(t = 5\\) zamiast \\(t = 15\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wyznaczaj wprost wartości \\(k\\) (jako liczby dziesiętnej). Rachunek na \\(\\frac{3}{4}\\) i \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) jest dokładny i prostszy - unikniesz błędów zaokrąglenia przy potęgowaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że szukasz \\(k^{-15}\\), a nie \\(k^{15}\\) - funkcja maleje (kawa stygnie), więc wykładnik jest ujemny. Mylenie znaku prowadzi do temperatury \\(\\approx 81\\,°\\text{C}\\), co nie ma fizycznego sensu.
\n
Analiza zadania
\n

Mamy model chłodzenia Newtona: \\(T(t)=(T_{p}-T_{z})\\cdot k^{-t}+T_{z}\\). Z warunków: \\(T_p=80\\), \\(T_z=20\\), \\(T(10)=65\\). Szukamy \\(T(15)\\).

\n
Sposób 1 (bezpośredni)
\n

Z warunku \\(T(10)=65\\): \\[65=(80-20)\\cdot k^{-10}+20\\Rightarrow k^{-10}=\\dfrac{45}{60}=\\dfrac{3}{4}\\]

\n

Obliczamy \\(T(15)\\): \\[T(15)=60\\cdot k^{-15}+20=60\\cdot(k^{-10})^{1{,}5}+20=60\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{1{,}5}+20\\]

\n

\\[=60\\cdot\\dfrac{3}{4}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}+20=\\dfrac{45\\sqrt{3}}{2}+20\\approx 38{,}97+20\\approx 59\\]

\n
Sposób 2 (z nową temperaturą początkową)
\n

Traktujemy \\(T(10)=65\\) jako nowy punkt początkowy. Po 5 minutach: \\[T(5)=(65-20)\\cdot k^{-5}+20=45\\cdot(k^{-10})^{0{,}5}+20=45\\cdot\\sqrt{\\dfrac{3}{4}}+20=\\dfrac{45\\sqrt{3}}{2}+20\\approx 59\\]

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział I.3: Potęga o wykładniku wymiernym - \\(a^{m/n}=\\sqrt[n]{a^m}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Nie trzeba wyznaczać \\(k\\)! Wystarczy obliczyć \\(k^{-10}=\\tfrac{3}{4}\\) i użyć własności potęg: \\(k^{-15}=(k^{-10})^{1{,}5}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$59^\\circ\\text{C}$

"}]}