{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) -𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙-𝟑\nw zbiorze [𝟎, 𝟐𝝅]. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(4x) - sin(2x) = 4cos²x - 3 w zbiorze <0,2π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 , 11𝜋\n6 .\n4 pkt - zapisanie alternatywy równań sin(2𝑥) -1 = 0 lub 2 cos(2𝑥) -1 = 0 oraz\nrozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub obydwu\nw zbiorze ℝ), np.\n𝜋\n4 , 5𝜋\n4 (rozwiązania równania sin(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze [0, 2𝜋]),\n𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n6 , 11𝜋\n6 (rozwiązania równania 2cos(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze [0, 2𝜋]),\n𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ (rozwiązania równania sin(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze ℝ) oraz\n𝜋\n6 + 𝑘𝜋 lub -𝜋\n6 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ (rozwiązania równania 2cos(2𝑥) -1 = 0\nw zbiorze ℝ)\nALBO\n- zapisanie alternatywy trzech równań\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub sin 𝑥= 1\n2 lub sin 𝑥= -1\n2\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub co\nnajmniej dwóch z tych równań w zbiorze ℝ),\nALBO\n- zapisanie alternatywy trzech równań\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub cos 𝑥=\n√3\n2 lub cos 𝑥= -\n√3\n2\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub co\nnajmniej dwóch z tych równań w zbiorze ℝ).\n3 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 do postaci\nalternatywy dwóch równań trygonometrycznych, np.:\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub 2 cos(2𝑥) -1 = 0,\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub 1 -4 sin2 𝑥= 0,\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub 4 cos2 𝑥-3 = 0\nALBO\n- przekształcenie równoważne równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 do postaci\n[sin(2𝑥) -1] ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 0 lub\n[sin(2𝑥) -1] ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 0, lub\n(4 cos2 𝑥-3) ⋅[sin(2𝑥) -1] = 0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci\nsin (2𝑥) ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2cos(2𝑥) -1 lub\nsin(2𝑥) ⋅(4 cos2 𝑥-3) = 4 cos2 𝑥-3, lub\nsin(2𝑥) ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥, lub\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2cos(2𝑥) -1, lub\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(4 cos2 𝑥-3) = 4 cos2 𝑥-3, lub\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥, lub\n2 ⋅(4 cos3 𝑥-3 cos 𝑥) ⋅sin 𝑥= 4 cos2 𝑥-3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta lub cosinus podwojonego kąta, lub\nróżnicę sinusów i zapisanie równania w postaci\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 lub\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 2 cos(2𝑥) -1, lub\n2 cos(3𝑥) ⋅sin 𝑥= 4 cos2 𝑥-3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni\njedynie błędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno\nma dwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to może otrzymać co najwyżej\n4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełnia błędy inne niż rachunkowe i uzyska błędną alternatywę (albo\nbłędną postać iloczynową), ale jednym z równań tej alternatywy jest: sin(2𝑥) -1 = 0,\n2 cos(2𝑥) -1 = 0, 4 cos2 𝑥-3 = 0, 1 -4 sin2 𝑥= 0, i to równanie rozwiąże\nw przedziale [0, 2𝜋], to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥), zawierające\nniewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże\notrzymane równanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu\nwzorów trygonometrycznych i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 równoważnie, otrzymując:\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3\nsin(2 ⋅2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 ⋅(2cos2𝑥-1) -1\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 ⋅(2cos2𝑥-1) -1\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 cos(2𝑥) -1\nsin(2𝑥) ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2 cos(2𝑥) -1\n[sin(2𝑥) -1] ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 0\nsin(2𝑥) -1 = 0 ∨ 2 cos(2𝑥) -1 = 0\nsin(2𝑥) = 1 ∨ cos(2𝑥) = 1\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin(2𝑥) = 1\n2𝑥= 𝜋\n2 + 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n4 , 5𝜋\n4 .\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = 1\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos(2𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -𝜋\n6 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(2𝑥) = 1\n2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n6 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 11𝜋\n6 .\nZatem rozwiązaniami równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 w zbiorze [0, 2𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 , 11𝜋\n6 .\nSposób II\nStosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 równoważnie, otrzymując:\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3\nsin(2 ⋅2𝑥) -sin(2𝑥) = 4 cos2 𝑥-3\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 4 ⋅(1 -sin2 𝑥) -3\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅(1 -2 sin2 𝑥) -sin(2𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥\nsin(2𝑥) ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥\n[sin(2𝑥) -1] ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 0\nsin(2𝑥) -1 = 0 ∨ 1 -4 sin2 𝑥= 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nsin(2𝑥) = 1 ∨ sin 𝑥= 1\n2 ∨ sin 𝑥= -1\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin(2𝑥) = 1\n2𝑥= 𝜋\n2 + 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n4 , 5𝜋\n4 .\nRozwiązujemy równanie sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin 𝑥= 1\n2\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n6 , 5𝜋\n6 .\nRozwiązujemy równanie sin 𝑥= -1\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin 𝑥= -1\n2\n𝑥= -𝜋\n6 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -5𝜋\n6 + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin 𝑥= -1\n2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 11𝜋\n6 , 7𝜋\n6 .\nZatem rozwiązaniami równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 w zbiorze [0, 2𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 , 11𝜋\n6 .","solution":"Odpowiedź: x ∈ {π/6, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 11π/6}\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nLewa strona zawiera $\\sin(4x)$ i $\\sin(2x)$ — wszystko z argumentem $2x$. Prawa strona ma $\\cos^2 x$ — trzeba sprowadzić do tego samego argumentu.\n\nCel: doprowadzić do iloczynu typu $A(x) \\cdot B(x) = 0$, gdzie każdy czynnik jest „prostym\" równaniem.\n\nPrzekształć lewą stronę. Zastosuj wzór $\\sin 2\\alpha = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha$ dla $\\alpha = 2x$:\n\n$$\\sin(4x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x)$$\n\nStąd:\n\n$$\\sin(4x) - \\sin(2x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x) - \\sin(2x) = \\sin(2x) \\cdot \\left[ 2 \\cos(2x) - 1 \\right]$$\n\nPrzekształć prawą stronę. Pamiętaj wzór $\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$, czyli $2 \\cos^2 \\alpha = 1 + \\cos 2\\alpha$. Stąd:\n\n$$4 \\cos^2 x = 2(2 \\cos^2 x) = 2(1 + \\cos 2x) = 2 + 2\\cos(2x)$$\n\n$$4 \\cos^2 x - 3 = 2 + 2\\cos(2x) - 3 = 2\\cos(2x) - 1$$\n\nZapisz całe równanie:\n\n$$\\sin(2x) \\cdot \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] = 2\\cos(2x) - 1$$\n\nPrzenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólny czynnik:\n\n$$\\sin(2x) \\cdot \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] - \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] = 0$$\n\n$$\\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] \\cdot \\left[ \\sin(2x) - 1 \\right] = 0$$\n\nIloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.\n\n- Albo $2\\cos(2x) - 1 = 0 \\;\\Leftrightarrow\\; \\cos(2x) = \\dfrac{1}{2}$\n- Albo $\\sin(2x) - 1 = 0 \\;\\Leftrightarrow\\; \\sin(2x) = 1$\n\nRozwiązanie pierwszego równania: $\\cos(2x) = \\tfrac{1}{2}$\n\n$\\cos \\theta = \\tfrac{1}{2}$ ma rozwiązania $\\theta = \\pm \\tfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$. Stąd $2x = \\pm \\tfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$, czyli:\n\n$$x = \\pm \\frac{\\pi}{6} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$\n\nW przedziale $[0, 2\\pi]$ wpisz kolejne $k$:\n\n- $k = 0$, $+$: $x = \\tfrac{\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 1$, $-$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{5\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 1$, $+$: $x = \\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{7\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 2$, $-$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + 2\\pi = \\tfrac{11\\pi}{6}$ ✓\n\nŁącznie z tego równania: $\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{5\\pi}{6},\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{11\\pi}{6}$.\n\nRozwiązanie drugiego równania: $\\sin(2x) = 1$\n\n$\\sin \\theta = 1$ ma rozwiązania $\\theta = \\tfrac{\\pi}{2} + 2k\\pi$. Stąd $2x = \\tfrac{\\pi}{2} + 2k\\pi$, czyli:\n\n$$x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$\n\nW przedziale $[0, 2\\pi]$:\n\n- $k = 0$: $x = \\tfrac{\\pi}{4}$ ✓\n- $k = 1$: $x = \\tfrac{5\\pi}{4}$ ✓\n\nŁącznie z tego równania: $\\dfrac{\\pi}{4},\\ \\dfrac{5\\pi}{4}$.\n\nWszystkie rozwiązania razem\n\nSześć rozwiązań — uporządkowane rosnąco.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zastosowanie wzoru $\\sin(4x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x)$ ALBO wzoru $\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$ (czyli redukcja jednej ze stron równania).\n- 2 pkt — sprowadzenie obu stron do tego samego argumentu $2x$ i przekształcenie do postaci równoważnej z czynnikiem $2\\cos(2x) - 1$.\n- 3 pkt — przekształcenie do iloczynu $[\\sin(2x) - 1][2\\cos(2x) - 1] = 0$.\n- 4 pkt — rozwiązanie jednego z dwóch równań w $[0, 2\\pi]$ (4 rozwiązania z $\\cos$, lub 2 z $\\sin$).\n- 5 pkt — pełne rozwiązanie + wszystkie 6 punktów.\n\nKlucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Zidentyfikuj argumenty ($x$, $2x$, $4x$, ...).\n2. Sprowadź wszystkie do jednego argumentu używając wzorów na sin/cos podwojonego/potrojonego/itd.\n3. Rozłóż na iloczyn zerujący się jako alternatywa prostszych równań.\n4. Rozwiąż każdy czynnik osobno i połącz wyniki w zbiorze.\n\nNigdy nie dziel przez wyrażenie z niewiadomą — zawsze przenoś na jedną stronę i wyłączaj wspólny czynnik.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to próba rozwijania sin(4x) wzorem podwojonym dwa razy zamiast zauważenia, że sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) (czyli sin podwojonego dla argumentu 2x). Drugi błąd: niezauważenie, że 4cos²x − 3 = 2cos(2x) − 1 (mocna redukcja).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"trygonometria, równania trygonometryczne, wzory","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-5)<br>Rozwiąż równanie<br>𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) -𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙-𝟑<br>w zbiorze [𝟎, 𝟐𝝅]. Zapisz obliczenia.<br>10.<br>0-1-<br>2-3-<br>4-5</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Rozwiąż równanie sin(4x) - sin(2x) = 4cos²x - 3 w zbiorze &lt;0,2π&gt;.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-5)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.R6) rozwiązuje równania<br>trygonometryczne o stopniu trudności nie<br>większym niż w przykładzie<br>4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋<br>6 , 𝜋<br>4 , 5𝜋<br>6 , 7𝜋<br>6 , 5𝜋<br>4 , 11𝜋<br>6 .<br>4 pkt - zapisanie alternatywy równań sin(2𝑥) -1 = 0 lub 2 cos(2𝑥) -1 = 0 oraz<br>rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub obydwu<br>w zbiorze ℝ), np.<br>𝜋<br>4 , 5𝜋<br>4 (rozwiązania równania sin(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze [0, 2𝜋]),<br>𝜋<br>6 , 7𝜋<br>6 , 5𝜋<br>6 , 11𝜋<br>6 (rozwiązania równania 2cos(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze [0, 2𝜋]),<br>𝜋<br>4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ (rozwiązania równania sin(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze ℝ) oraz<br>𝜋<br>6 + 𝑘𝜋 lub -𝜋<br>6 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ (rozwiązania równania 2cos(2𝑥) -1 = 0<br>w zbiorze ℝ)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie alternatywy trzech równań</li></ul>\n<p>sin(2𝑥) -1 = 0 lub sin 𝑥= 1<br>2 lub sin 𝑥= -1<br>2<br>oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub co<br>najmniej dwóch z tych równań w zbiorze ℝ),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie alternatywy trzech równań</li></ul>\n<p>sin(2𝑥) -1 = 0 lub cos 𝑥=<br>√3<br>2 lub cos 𝑥= -<br>√3<br>2<br>oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub co<br>najmniej dwóch z tych równań w zbiorze ℝ).<br>3 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 do postaci<br>alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, np.:<br>sin(2𝑥) -1 = 0 lub 2 cos(2𝑥) -1 = 0,<br>sin(2𝑥) -1 = 0 lub 1 -4 sin2 𝑥= 0,<br>sin(2𝑥) -1 = 0 lub 4 cos2 𝑥-3 = 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równoważne równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 do postaci</li></ul>\n<p>[sin(2𝑥) -1] ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 0 lub<br>[sin(2𝑥) -1] ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 0, lub<br>(4 cos2 𝑥-3) ⋅[sin(2𝑥) -1] = 0.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>2 pkt - przekształcenie równania do postaci<br>sin (2𝑥) ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2cos(2𝑥) -1 lub<br>sin(2𝑥) ⋅(4 cos2 𝑥-3) = 4 cos2 𝑥-3, lub<br>sin(2𝑥) ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥, lub<br>2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2cos(2𝑥) -1, lub<br>2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(4 cos2 𝑥-3) = 4 cos2 𝑥-3, lub<br>2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥, lub<br>2 ⋅(4 cos3 𝑥-3 cos 𝑥) ⋅sin 𝑥= 4 cos2 𝑥-3.<br>1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta lub cosinus podwojonego kąta, lub<br>różnicę sinusów i zapisanie równania w postaci<br>2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 lub<br>sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 2 cos(2𝑥) -1, lub<br>2 cos(3𝑥) ⋅sin 𝑥= 4 cos2 𝑥-3.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni</li></ol>\n<p>jedynie błędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno<br>ma dwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to może otrzymać co najwyżej<br>4 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełnia błędy inne niż rachunkowe i uzyska błędną alternatywę (albo</li></ol>\n<p>błędną postać iloczynową), ale jednym z równań tej alternatywy jest: sin(2𝑥) -1 = 0,<br>2 cos(2𝑥) -1 = 0, 4 cos2 𝑥-3 = 0, 1 -4 sin2 𝑥= 0, i to równanie rozwiąże<br>w przedziale [0, 2𝜋], to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥), zawierające</li></ol>\n<p>niewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże<br>otrzymane równanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu</li></ol>\n<p>wzorów trygonometrycznych i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Stosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie<br>sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 równoważnie, otrzymując:<br>sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3<br>sin(2 ⋅2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 ⋅(2cos2𝑥-1) -1<br>2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 ⋅(2cos2𝑥-1) -1<br>2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 cos(2𝑥) -1<br>sin(2𝑥) ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2 cos(2𝑥) -1<br>[sin(2𝑥) -1] ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 0<br>sin(2𝑥) -1 = 0 ∨ 2 cos(2𝑥) -1 = 0<br>sin(2𝑥) = 1 ∨ cos(2𝑥) = 1<br>2<br>Rozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>sin(2𝑥) = 1<br>2𝑥= 𝜋<br>2 + 2𝑘𝜋<br>𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd otrzymujemy rozwiązania równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋<br>4 , 5𝜋<br>4 .<br>Rozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = 1<br>2 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>cos(2𝑥) = 1<br>2<br>2𝑥= 𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥= -𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋<br>𝑥= 𝜋<br>6 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -𝜋<br>6 + 𝑘𝜋<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(2𝑥) = 1<br>2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋<br>6 , 5𝜋<br>6 , 7𝜋<br>6 , 11𝜋<br>6 .<br>Zatem rozwiązaniami równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 w zbiorze [0, 2𝜋] są<br>liczby: 𝜋<br>6 , 𝜋<br>4 , 5𝜋<br>6 , 7𝜋<br>6 , 5𝜋<br>4 , 11𝜋<br>6 .<br>Sposób II<br>Stosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie<br>sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 równoważnie, otrzymując:<br>sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3<br>sin(2 ⋅2𝑥) -sin(2𝑥) = 4 cos2 𝑥-3<br>2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 4 ⋅(1 -sin2 𝑥) -3<br>2 ⋅sin(2𝑥) ⋅(1 -2 sin2 𝑥) -sin(2𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥<br>sin(2𝑥) ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥<br>[sin(2𝑥) -1] ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 0<br>sin(2𝑥) -1 = 0 ∨ 1 -4 sin2 𝑥= 0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>sin(2𝑥) = 1 ∨ sin 𝑥= 1<br>2 ∨ sin 𝑥= -1<br>2<br>Rozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>sin(2𝑥) = 1<br>2𝑥= 𝜋<br>2 + 2𝑘𝜋<br>𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd otrzymujemy rozwiązania równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋<br>4 , 5𝜋<br>4 .<br>Rozwiązujemy równanie sin 𝑥= 1<br>2 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>sin 𝑥= 1<br>2<br>𝑥= 𝜋<br>6 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥= 5𝜋<br>6 + 2𝑘𝜋<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd otrzymujemy rozwiązania równania sin 𝑥= 1<br>2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋<br>6 , 5𝜋<br>6 .<br>Rozwiązujemy równanie sin 𝑥= -1<br>2 w zbiorze liczb rzeczywistych:<br>sin 𝑥= -1<br>2<br>𝑥= -𝜋<br>6 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -5𝜋<br>6 + 2𝑘𝜋<br>gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Stąd otrzymujemy rozwiązania równania sin 𝑥= -1<br>2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 11𝜋<br>6 , 7𝜋<br>6 .<br>Zatem rozwiązaniami równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 w zbiorze [0, 2𝜋] są<br>liczby: 𝜋<br>6 , 𝜋<br>4 , 5𝜋<br>6 , 7𝜋<br>6 , 5𝜋<br>4 , 11𝜋<br>6 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: x ∈ {π/6, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 11π/6}</p>\n<p>Strona arkusza CKE z tym zadaniem</p>\n<p>Strategia</p>\n<p>Lewa strona zawiera $\\sin(4x)$ i $\\sin(2x)$ — wszystko z argumentem $2x$. Prawa strona ma $\\cos^2 x$ — trzeba sprowadzić do tego samego argumentu.</p>\n<p>Cel: doprowadzić do iloczynu typu $A(x) \\cdot B(x) = 0$, gdzie każdy czynnik jest „prostym&quot; równaniem.</p>\n<p>Przekształć lewą stronę. Zastosuj wzór $\\sin 2\\alpha = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha$ dla $\\alpha = 2x$:</p>\n<p>$$\\sin(4x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x)$$</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>$$\\sin(4x) - \\sin(2x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x) - \\sin(2x) = \\sin(2x) \\cdot \\left[ 2 \\cos(2x) - 1 \\right]$$</p>\n<p>Przekształć prawą stronę. Pamiętaj wzór $\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$, czyli $2 \\cos^2 \\alpha = 1 + \\cos 2\\alpha$. Stąd:</p>\n<p>$$4 \\cos^2 x = 2(2 \\cos^2 x) = 2(1 + \\cos 2x) = 2 + 2\\cos(2x)$$</p>\n<p>$$4 \\cos^2 x - 3 = 2 + 2\\cos(2x) - 3 = 2\\cos(2x) - 1$$</p>\n<p>Zapisz całe równanie:</p>\n<p>$$\\sin(2x) \\cdot \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] = 2\\cos(2x) - 1$$</p>\n<p>Przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólny czynnik:</p>\n<p>$$\\sin(2x) \\cdot \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] - \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] = 0$$</p>\n<p>$$\\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] \\cdot \\left[ \\sin(2x) - 1 \\right] = 0$$</p>\n<p>Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.</p>\n<ul><li>Albo $2\\cos(2x) - 1 = 0 \\;\\Leftrightarrow\\; \\cos(2x) = \\dfrac{1}{2}$</li><li>Albo $\\sin(2x) - 1 = 0 \\;\\Leftrightarrow\\; \\sin(2x) = 1$</li></ul>\n<p>Rozwiązanie pierwszego równania: $\\cos(2x) = \\tfrac{1}{2}$</p>\n<p>$\\cos \\theta = \\tfrac{1}{2}$ ma rozwiązania $\\theta = \\pm \\tfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$. Stąd $2x = \\pm \\tfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$, czyli:</p>\n<p>$$x = \\pm \\frac{\\pi}{6} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$</p>\n<p>W przedziale $[0, 2\\pi]$ wpisz kolejne $k$:</p>\n<ul><li>$k = 0$, $+$: $x = \\tfrac{\\pi}{6}$ ✓</li><li>$k = 1$, $-$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{5\\pi}{6}$ ✓</li><li>$k = 1$, $+$: $x = \\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{7\\pi}{6}$ ✓</li><li>$k = 2$, $-$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + 2\\pi = \\tfrac{11\\pi}{6}$ ✓</li></ul>\n<p>Łącznie z tego równania: $\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{5\\pi}{6},\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{11\\pi}{6}$.</p>\n<p>Rozwiązanie drugiego równania: $\\sin(2x) = 1$</p>\n<p>$\\sin \\theta = 1$ ma rozwiązania $\\theta = \\tfrac{\\pi}{2} + 2k\\pi$. Stąd $2x = \\tfrac{\\pi}{2} + 2k\\pi$, czyli:</p>\n<p>$$x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$</p>\n<p>W przedziale $[0, 2\\pi]$:</p>\n<ul><li>$k = 0$: $x = \\tfrac{\\pi}{4}$ ✓</li><li>$k = 1$: $x = \\tfrac{5\\pi}{4}$ ✓</li></ul>\n<p>Łącznie z tego równania: $\\dfrac{\\pi}{4},\\ \\dfrac{5\\pi}{4}$.</p>\n<p>Wszystkie rozwiązania razem</p>\n<p>Sześć rozwiązań — uporządkowane rosnąco.</p>\n<p>Punktacja CKE</p>\n<ul><li>1 pkt — zastosowanie wzoru $\\sin(4x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x)$ ALBO wzoru $\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$ (czyli redukcja jednej ze stron równania).</li><li>2 pkt — sprowadzenie obu stron do tego samego argumentu $2x$ i przekształcenie do postaci równoważnej z czynnikiem $2\\cos(2x) - 1$.</li><li>3 pkt — przekształcenie do iloczynu $[\\sin(2x) - 1][2\\cos(2x) - 1] = 0$.</li><li>4 pkt — rozwiązanie jednego z dwóch równań w $[0, 2\\pi]$ (4 rozwiązania z $\\cos$, lub 2 z $\\sin$).</li><li>5 pkt — pełne rozwiązanie + wszystkie 6 punktów.</li></ul>\n<p>Klucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami</p>\n<p>Procedura uniwersalna:</p>\n<ol><li>Zidentyfikuj argumenty ($x$, $2x$, $4x$, ...).</li><li>Sprowadź wszystkie do jednego argumentu używając wzorów na sin/cos podwojonego/potrojonego/itd.</li><li>Rozłóż na iloczyn zerujący się jako alternatywa prostszych równań.</li><li>Rozwiąż każdy czynnik osobno i połącz wyniki w zbiorze.</li></ol>\n<p>Nigdy nie dziel przez wyrażenie z niewiadomą — zawsze przenoś na jedną stronę i wyłączaj wspólny czynnik.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd to próba rozwijania sin(4x) wzorem podwojonym dwa razy zamiast zauważenia, że sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) (czyli sin podwojonego dla argumentu 2x). Drugi błąd: niezauważenie, że 4cos²x − 3 = 2cos(2x) − 1 (mocna redukcja).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p>\\[x \\in \\left\\{\\frac{\\pi}{6},\\ \\frac{\\pi}{4},\\ \\frac{5\\pi}{6},\\ \\frac{7\\pi}{6},\\ \\frac{5\\pi}{4},\\ \\frac{11\\pi}{6}\\right\\}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - sprowadzenie do jednej zmiennej przez wzory na kąt podwójny</h4>\n<p><strong>Krok 1: Uprość lewą stronę.</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru \\(\\sin(4x) = 2\\sin(2x)\\cos(2x)\\):</p>\n<p>\\[\\sin(4x) - \\sin(2x) = 2\\sin(2x)\\cos(2x) - \\sin(2x) = \\sin(2x)\\bigl(2\\cos(2x) - 1\\bigr)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Uprość prawą stronę.</strong></p>\n<p>Korzystamy z \\(\\cos(2x) = 2\\cos^2 x - 1\\), czyli \\(2\\cos^2 x = 1 + \\cos(2x)\\):</p>\n<p>\\[4\\cos^2 x - 3 = 2\\cdot(2\\cos^2 x) - 3 = 2\\bigl(1 + \\cos(2x)\\bigr) - 3 = 2\\cos(2x) - 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Przyrównaj i sfaktoryzuj.</strong></p>\n<p>Równanie przyjmuje postać:<br>\\[\\sin(2x)\\bigl(2\\cos(2x) - 1\\bigr) = 2\\cos(2x) - 1\\]<br>\\[\\sin(2x)\\bigl(2\\cos(2x) - 1\\bigr) - \\bigl(2\\cos(2x) - 1\\bigr) = 0\\]<br>\\[\\boxed{\\bigl(2\\cos(2x) - 1\\bigr)\\bigl(\\sin(2x) - 1\\bigr) = 0}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Rozwiąż każdy czynnik osobno.</strong></p>\n<p><strong>Przypadek A:</strong> \\(2\\cos(2x) - 1 = 0\\), czyli \\(\\cos(2x) = \\dfrac{1}{2}\\)</p>\n<p>\\[2x = \\pm\\frac{\\pi}{3} + 2k\\pi \\implies x = \\pm\\frac{\\pi}{6} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]</p>\n<p>Dla \\(x \\in [0, 2\\pi]\\):</p>\n<p>| \\(k\\) | \\(x = +\\frac{\\pi}{6} + k\\pi\\) | \\(x = -\\frac{\\pi}{6} + k\\pi\\) |<br>| 0 | \\(\\dfrac{\\pi}{6}\\) | (ujemne, odrzucamy) |<br>| 1 | \\(\\dfrac{7\\pi}{6}\\) | \\(\\dfrac{5\\pi}{6}\\) |<br>| 2 | (za duże) | \\(\\dfrac{11\\pi}{6}\\) |</p>\n<p>Z przypadku A: \\(x = \\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{5\\pi}{6},\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{11\\pi}{6}\\)</p>\n<p><strong>Przypadek B:</strong> \\(\\sin(2x) - 1 = 0\\), czyli \\(\\sin(2x) = 1\\)</p>\n<p>\\[2x = \\frac{\\pi}{2} + 2k\\pi \\implies x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]</p>\n<p>Dla \\(x \\in [0, 2\\pi]\\): \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\ (k=0)\\) oraz \\(x = \\dfrac{5\\pi}{4}\\ (k=1)\\).</p>\n<p><strong>Wynik końcowy:</strong><br>\\[x \\in \\left\\{\\frac{\\pi}{6},\\ \\frac{\\pi}{4},\\ \\frac{5\\pi}{6},\\ \\frac{7\\pi}{6},\\ \\frac{5\\pi}{4},\\ \\frac{11\\pi}{6}\\right\\}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wzory sum-to-product i wzór na \\(\\cos(3x)\\)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Lewa strona - wzór na różnicę sinusów.</strong></p>\n<p>\\[\\sin(4x) - \\sin(2x) = 2\\cos\\!\\left(\\frac{4x+2x}{2}\\right)\\sin\\!\\left(\\frac{4x-2x}{2}\\right) = 2\\cos(3x)\\sin(x)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Prawa strona - wzór na cosinus potrójnego kąta.</strong></p>\n<p>Wyprowadzamy korzystając ze wzorów na \\(\\cos(2x+x)\\):</p>\n<p>\\[\\cos(3x) = \\cos(2x)\\cos x - \\sin(2x)\\sin x = (2\\cos^2 x-1)\\cos x - 2\\sin^2 x\\cos x\\]<br>\\[= \\cos x\\bigl(2\\cos^2 x - 1 - 2(1-\\cos^2 x)\\bigr) = \\cos x\\bigl(4\\cos^2 x - 3\\bigr)\\]</p>\n<p>Zatem <strong>dla \\(\\cos x \\neq 0\\)</strong>:<br>\\[4\\cos^2 x - 3 = \\frac{\\cos(3x)}{\\cos x}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstaw i uprość.</strong></p>\n<p>\\[2\\cos(3x)\\sin(x) = \\frac{\\cos(3x)}{\\cos x}\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(\\cos x\\):<br>\\[2\\cos(3x)\\sin(x)\\cos(x) = \\cos(3x)\\]<br>\\[\\cos(3x)\\cdot\\sin(2x) = \\cos(3x)\\]<br>\\[\\cos(3x)\\bigl(\\sin(2x) - 1\\bigr) = 0\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie \\(\\cos x = 0\\):</strong> Dla \\(x = \\tfrac{\\pi}{2}\\): LHS \\(= 0\\), RHS \\(= -3\\). Brak rozwiązania.</p>\n<p><strong>Przypadek A:</strong> \\(\\cos(3x) = 0\\)</p>\n<p>\\[3x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi \\implies x = \\frac{\\pi}{6} + \\frac{k\\pi}{3}\\]</p>\n<p>Dla \\(x \\in [0, 2\\pi]\\) otrzymujemy 6 wartości, ale eliminujemy \\(x = \\tfrac{\\pi}{2}\\) i \\(x = \\tfrac{3\\pi}{2}\\) (tam \\(\\cos x = 0\\)):</p>\n<p>\\[x = \\frac{\\pi}{6},\\ \\frac{5\\pi}{6},\\ \\frac{7\\pi}{6},\\ \\frac{11\\pi}{6}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek B:</strong> \\(\\sin(2x) = 1 \\implies x = \\dfrac{\\pi}{4},\\ \\dfrac{5\\pi}{4}\\) (jak w Sposobie 1).</p>\n<p>Wynik ten sam - 6 rozwiązań. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):</strong></p>\n<p>Wzory na funkcje podwojonego kąta użyte w <strong>Sposobie 1</strong>:<br>\\[\\sin(2\\alpha) = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha, \\qquad \\cos(2\\alpha) = 2\\cos^2\\alpha - 1\\]<br>Kluczowe przekształcenie: \\(\\sin(4x) = 2\\sin(2x)\\cos(2x)\\) oraz zamiana \\(4\\cos^2 x - 3\\) na \\(2\\cos(2x)-1\\).</p>\n<p>Wzór na różnicę sinusów użyty w <strong>Sposobie 2</strong> (wynikający z wzorów na sumę/różnicę kątów):<br>\\[\\sin\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\!\\frac{\\alpha+\\beta}{2}\\sin\\!\\frac{\\alpha-\\beta}{2}\\]</p>\n<p>Wzory redukcyjne i periodyczność (s. 14) - do wypisania wszystkich rozwiązań w \\([0, 2\\pi]\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to <strong>dzielenie obu stron przez \\((2\\cos(2x) - 1)\\)</strong> - tracimy wtedy cały przypadek A i połowę rozwiązań!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy \\(\\cos(2x) = \\frac{1}{2}\\) pamiętaj, że \\(2x \\in [0, 4\\pi]\\), więc mamy <strong>cztery</strong> wartości \\(2x\\), czyli cztery rozwiązania \\(x\\) - łatwo pominąć jedno z nich.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 mnożenie obu stron przez \\(\\cos x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(\\cos x \\neq 0\\) - zawsze sprawdzaj ten przypadek osobno!</blockquote>\n<h5>Analiza zadania</h5>\n<p>Stosujemy wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego: \\(\\sin 4x=2\\sin 2x\\cos 2x\\); \\(4\\cos^{2}x-2=2\\cos 2x\\), więc \\(4\\cos^2 x-3=2\\cos 2x-1\\).</p>\n<h5>Sposób 1 (przez \\(\\sin 2x\\), \\(\\cos 2x\\))</h5>\n<p>\\[\\sin 4x-\\sin 2x=4\\cos^{2}x-3\\]<br>\\[2\\sin 2x\\cos 2x-\\sin 2x=2\\cos 2x-1\\]<br>\\[\\sin 2x(2\\cos 2x-1)=(2\\cos 2x-1)\\]<br>\\[(2\\cos 2x-1)(\\sin 2x-1)=0\\]</p>\n<p>Zatem \\(\\sin 2x=1\\) lub \\(\\cos 2x=\\tfrac{1}{2}\\).</p>\n<p><strong>\\(\\sin 2x=1\\):</strong> \\(2x=\\tfrac{\\pi}{2}+2k\\pi\\Rightarrow x=\\tfrac{\\pi}{4}+k\\pi\\). W \\([0,2\\pi]\\): \\(\\tfrac{\\pi}{4}, \\tfrac{5\\pi}{4}\\).</p>\n<p><strong>\\(\\cos 2x=\\tfrac{1}{2}\\):</strong> \\(2x=\\pm\\tfrac{\\pi}{3}+2k\\pi\\Rightarrow x=\\pm\\tfrac{\\pi}{6}+k\\pi\\). W \\([0,2\\pi]\\): \\(\\tfrac{\\pi}{6}, \\tfrac{5\\pi}{6}, \\tfrac{7\\pi}{6}, \\tfrac{11\\pi}{6}\\).</p>\n<p>Razem: \\(x\\in\\left\\{\\tfrac{\\pi}{6},\\tfrac{\\pi}{4},\\tfrac{5\\pi}{6},\\tfrac{7\\pi}{6},\\tfrac{5\\pi}{4},\\tfrac{11\\pi}{6}\\right\\}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 (przez \\(\\sin x\\))</h5>\n<p>Zapisujemy \\(4\\cos^{2}x-3=1-4\\sin^{2}x\\) oraz \\(\\sin 4x-\\sin 2x=2\\sin 2x\\cos 2x-\\sin 2x=\\sin 2x(2\\cos 2x-1)\\). Z \\(\\cos 2x=1-2\\sin^2 x\\): \\(2\\cos 2x-1=1-4\\sin^2 x\\). Zatem \\((1-4\\sin^2 x)\\sin 2x=(1-4\\sin^2 x)\\), stąd \\((1-4\\sin^2 x)(\\sin 2x-1)=0\\), czyli \\(\\sin 2x=1\\) lub \\(\\sin x=\\pm\\tfrac{1}{2}\\). Rozwiązania identyczne.</p>\n<h5>Odniesienie do karty wzorów CKE</h5>\n<p>Dział VII (R): \\(\\sin 2x=2\\sin x\\cos x\\); \\(\\cos 2x=2\\cos^{2}x-1=1-2\\sin^{2}x\\); wartości \\(\\sin, \\cos\\) dla \\(\\tfrac{\\pi}{6},\\tfrac{\\pi}{4},\\tfrac{\\pi}{3}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>5 pkt: poprawna metoda i wynik (6 rozwiązań)</li><li>4 pkt: zapisanie alternatywy \\(\\sin 2x-1=0\\) lub \\(2\\cos 2x-1=0\\) oraz rozwiązanie jednego z nich</li><li>3 pkt: przekształcenie do postaci iloczynowej</li><li>2 pkt: przekształcenie do postaci \\(\\sin 2x\\cdot(2\\cos 2x-1)=2\\cos 2x-1\\)</li><li>1 pkt: zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta</li><li>0 pkt: niepoprawna metoda</li><li>UWAGA: dzielenie przez wyrażenie zawierające \\(x\\) bez rozpatrzenia przypadku \\(=0\\) - max 3 pkt!</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Rozpoznanie wspólnego czynnika \\((2\\cos 2x-1)\\) po obu stronach jest kluczowe - nie wolno dzielić przez nie, trzeba rozdzielić i wyłączyć!</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x \\in \\left\\{\\dfrac{\\pi}{6}, \\dfrac{\\pi}{4}, \\dfrac{5\\pi}{6}, \\dfrac{7\\pi}{6}, \\dfrac{5\\pi}{4}, \\dfrac{11\\pi}{6}\\right\\}$</p>"}]}