{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐-(𝟑𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙+ 𝟐𝒎𝟐+ 𝒎+ 𝟏= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek\n𝒙𝟏\n𝟑+ 𝒙𝟐\n𝟑+ 𝟑⋅𝒙𝟏⋅𝒙𝟐⋅(𝒙𝟏+ 𝒙𝟐-𝟑) ≤𝟑𝒎-𝟕\nZapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (3m+1)⋅x + 2m²+m+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1³ + x_2³ + 3⋅x_1⋅x_2⋅(x_1+x_2-3) ≤ 3m-7.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n4 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7: 𝑚∈(-∞, 1\n3].\n3 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤0, gdzie 𝑊(𝑚)\njest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np.\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0, (9𝑚2 -1)(3𝑚+ 1) ≤0, 27 (𝑚-1\n3) (𝑚+ 1\n3)\n2\n≤0\nALBO\n- zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1.\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, np.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do\npostaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III\netap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za\nIII etap może otrzymać 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚+ 1) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±(3𝑚+ 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za\nII etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:\npominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2],\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)3,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do\nkońca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie\nwzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca),\na za III etap otrzymuje 0 punktów.\n5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to\nza podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉\njest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 -(3𝑚+ 1)𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 ma dwa różne pierwiastki\nrzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy\nwarunek ∆> 0:\n[-(3𝑚+ 1)]2 -4 ∙1 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) > 0\n𝑚2 + 2𝑚-3 > 0\n(𝑚-1) ⋅(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0\n(3𝑚)3 -13 + 9𝑚2 -3𝑚≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 3𝑚+ 1) + 3𝑚(3𝑚-1) ≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 1) ≤0\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0\n𝑚∈(-∞, 1\n3]\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-∞, 1\n3]: 𝑚∈(-∞, -3).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: $m \\in (-\\infty, -3)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — zadanie ma TRZY etapy\n\nCKE oczywiście wymaga rozdzielenia rozumowania na trzy fazy:\n\n1. Etap I (1 pkt) — warunek „dwa różne rozwiązania rzeczywiste\": $\\Delta > 0$.\n2. Etap II (4 pkt) — przekształcenie warunku $x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) \\leq 3m - 7$ do nierówności z jedną niewiadomą $m$, korzystając ze wzorów Viète'a.\n3. Etap III (1 pkt) — część wspólna wyników z etapów I i II.\n\nZacznij od I — to wyznacza dziedzinę dopuszczalnych $m$.\n\nEtap I — warunek $\\Delta > 0$\n\nWyróżnik trójmianu $x^2 - (3m+1)x + (2m^2 + m + 1)$:\n\n$$\\Delta = \\left[-(3m+1)\\right]^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (2m^2 + m + 1)$$\n\n$$\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1)$$\n\n$$\\Delta = 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 = m^2 + 2m - 3$$\n\nRozwiąż nierówność $m^2 + 2m - 3 > 0$. Rozkład: $m^2 + 2m - 3 = (m - 1)(m + 3)$.\n\nIloczyn $(m-1)(m+3) > 0$ gdy oba czynniki są tego samego znaku:\n\n$$m \\in (-\\infty,\\ -3) \\cup (1,\\ +\\infty)$$\n\nTo pierwszy warunek, jaki $m$ musi spełniać.\n\nEtap II — przekształcenie nierówności\n\nTo najtrudniejsza część. Kluczowa tożsamość, którą trzeba zauważyć:\n\n$$x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2$$\n\nDlaczego? Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy:\n\n$$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3 x_1^2 x_2 + 3 x_1 x_2^2 + x_2^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$$\n\nStąd $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$. Podstaw do lewej strony:\n\n$$\\underbrace{(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)}_{x_1^3 + x_2^3} + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 9 x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2$$\n\nTrzeci wyraz $-3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ i czwarty $+3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ znoszą się.\n\nZastosuj wzory Viète'a dla równania $x^2 - (3m+1)x + (2m^2 + m + 1) = 0$:\n\n$$x_1 + x_2 = 3m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1$$\n\nPodstaw do nierówności:\n\n$$(3m + 1)^3 - 9 (2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7$$\n\nRozwiń $(3m+1)^3$. Skorzystaj z $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$:\n\n$$(3m+1)^3 = 27 m^3 + 27 m^2 + 9m + 1$$\n\nStąd:\n\n$$27 m^3 + 27 m^2 + 9m + 1 - 18 m^2 - 9 m - 9 \\leq 3m - 7$$\n\n$$27 m^3 + 9 m^2 - 8 \\leq 3m - 7$$\n\n$$27 m^3 + 9 m^2 - 3m - 1 \\leq 0$$\n\nRozłóż lewą stronę na czynniki. Sprawdź, że $(3m + 1)^2$ jest dzielnikiem:\n\n$$27 m^3 + 9 m^2 - 3m - 1 = (3m - 1)(3m + 1)^2$$\n\nWeryfikacja: $(3m - 1)(9m^2 + 6m + 1) = 27m^3 + 18m^2 + 3m - 9m^2 - 6m - 1 = 27m^3 + 9m^2 - 3m - 1$ ✓\n\nRozwiąż nierówność $(3m - 1)(3m + 1)^2 \\leq 0$.\n\nCzynnik $(3m + 1)^2 \\geq 0$ zawsze — równość gdy $m = -\\tfrac{1}{3}$.\n\n- Gdy $m = -\\tfrac{1}{3}$: lewa strona = $0 \\leq 0$ ✓\n- Gdy $m \\neq -\\tfrac{1}{3}$: $(3m + 1)^2 > 0$, więc znak iloczynu = znak $(3m - 1)$. Nierówność $\\leq 0$ daje $3m - 1 \\leq 0$, czyli $m \\leq \\tfrac{1}{3}$.\n\nŁącząc: $m \\leq \\tfrac{1}{3}$, czyli:\n\n$$m \\in \\left(-\\infty,\\ \\frac{1}{3}\\right]$$\n\nEtap III — część wspólna z etapem I\n\nMamy dwa warunki:\n\n- Z etapu I: $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$\n- Z etapu II: $m \\in (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$\n\nCzęść wspólna:\n\n$$\\left[ (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\right] \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$$\n\nRozbij na dwie części:\n\n- $(-\\infty, -3) \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}] = (-\\infty, -3)$ (cały lewy fragment mieści się)\n- $(1, +\\infty) \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}] = \\emptyset$ (bo $1 > \\tfrac{1}{3}$)\n\nSuma:\n\n$$m \\in (-\\infty, -3)$$\n\nPunktacja CKE — pełny rozkład\n\nEtap I (1 pkt): poprawne rozwiązanie $\\Delta > 0$ → $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$.\n\nEtap II (4 pkt):\n\n- 1 pkt — przekształcenie nierówności do postaci $(x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7$ (pozwalające na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a).\n- 2 pkt — zapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$: $(3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7$.\n- 3 pkt — sprowadzenie do postaci iloczynowej $W(m) \\leq 0$, np. $(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0$.\n- 4 pkt — rozwiązanie nierówności: $m \\in (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$.\n\nEtap III (1 pkt): część wspólna → $m \\in (-\\infty, -3)$.\n\nKlucz — zadania z parametrem na rozszerzonej\n\nTypowy schemat:\n\n1. Wyróżnik ($\\Delta > 0$ lub $\\geq 0$, w zależności od „różne\") → pierwszy zakres $m$.\n2. Symetryczne wyrażenia z $x_1, x_2$ sprowadź do $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$ używając tożsamości:\n- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$\n- $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$\n- $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$\n3. Zastosuj Viète'a ($x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \\tfrac{c}{a}$) → drugi zakres.\n4. Część wspólna dwóch zakresów.\n\nTo scenariusz 80% zadań „z parametrem\" w PR.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd: $\\Delta \\geq 0$ zamiast $\\Delta > 0$. Treść mówi „dwa **różne** rozwiązania\" → ostry znak. CKE wprost: $\\Delta \\geq 0$ daje 0 punktów za etap I. Drugi błąd: tożsamość $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3$ (brak członu $-3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viète'a, parametr","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie
𝒙𝟐-(𝟑𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙+ 𝟐𝒎𝟐+ 𝒎+ 𝟏= 𝟎
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek
𝒙𝟏
𝟑+ 𝒙𝟐
𝟑+ 𝟑⋅𝒙𝟏⋅𝒙𝟐⋅(𝒙𝟏+ 𝒙𝟐-𝟑) ≤𝟑𝒎-𝟕
Zapisz obliczenia.
12.
0-1-
2-3-
4-5-6

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (3m+1)⋅x + 2m²+m+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1³ + x_2³ + 3⋅x_1⋅x_2⋅(x_1+x_2-3) ≤ 3m-7.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

\n
  1. Tworzenie pomocniczych obiektów
\n

matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania i nierówności
liniowe z parametrami oraz równania
i nierówności kwadratowe z parametrami,
w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań
w zależności od parametrów, podaje
warunki, przy których rozwiązania mają
żądaną własność, i wyznacza rozwiązania
w zależności od parametrów.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
4 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7: 𝑚∈(-∞, 1
3].
3 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤0, gdzie 𝑊(𝑚)
jest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np.
(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0, (9𝑚2 -1)(3𝑚+ 1) ≤0, 27 (𝑚-1

\n
  1. (𝑚+ 1
\n

3)
2
≤0
ALBO

\n\n

𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci
27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu
27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1.
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, np.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7.
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do
postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:
𝑚∈(-∞, -3).
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:
𝑚∈(-∞, -3).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III
\n

etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,
a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za
III etap może otrzymać 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że
\n

𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚+ 1) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±(3𝑚+ 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏
2𝑎 , to za
II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie
zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do
końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:
\n

pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,
przyjmie, że
𝑥1
3 + 𝑥2
3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2],
przyjmie, że
𝑥1
3 + 𝑥2
3 = (𝑥1 + 𝑥2)3,
i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do
końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie
wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca),
a za III etap otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to
\n

za podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉
jest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\n
  1. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania
\n

(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej
5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).
Przykładowe pełne rozwiązanie
I etap
Trójmian kwadratowy 𝑥2 -(3𝑚+ 1)𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy
warunek ∆> 0:
[-(3𝑚+ 1)]2 -4 ∙1 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) > 0
𝑚2 + 2𝑚-3 > 0
(𝑚-1) ⋅(𝑚+ 3) > 0
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)
II etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, korzystając ze wzorów Viète’a:
𝑥1
3 + 𝑥2
3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7
(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7
(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7
27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0
(3𝑚)3 -13 + 9𝑚2 -3𝑚≤0
(3𝑚-1)(9𝑚2 + 3𝑚+ 1) + 3𝑚(3𝑚-1) ≤0
(3𝑚-1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 1) ≤0
(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0
𝑚∈(-∞, 1
3]
III etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki
𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-∞, 1
3]: 𝑚∈(-∞, -3).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $m \\in (-\\infty, -3)$

\n

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

\n

Strategia — zadanie ma TRZY etapy

\n

CKE oczywiście wymaga rozdzielenia rozumowania na trzy fazy:

\n
  1. Etap I (1 pkt) — warunek „dwa różne rozwiązania rzeczywiste": $\\Delta > 0$.
  2. Etap II (4 pkt) — przekształcenie warunku $x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) \\leq 3m - 7$ do nierówności z jedną niewiadomą $m$, korzystając ze wzorów Viète'a.
  3. Etap III (1 pkt) — część wspólna wyników z etapów I i II.
\n

Zacznij od I — to wyznacza dziedzinę dopuszczalnych $m$.

\n

Etap I — warunek $\\Delta > 0$

\n

Wyróżnik trójmianu $x^2 - (3m+1)x + (2m^2 + m + 1)$:

\n

$$\\Delta = \\left[-(3m+1)\\right]^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (2m^2 + m + 1)$$

\n

$$\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1)$$

\n

$$\\Delta = 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 = m^2 + 2m - 3$$

\n

Rozwiąż nierówność $m^2 + 2m - 3 > 0$. Rozkład: $m^2 + 2m - 3 = (m - 1)(m + 3)$.

\n

Iloczyn $(m-1)(m+3) > 0$ gdy oba czynniki są tego samego znaku:

\n

$$m \\in (-\\infty,\\ -3) \\cup (1,\\ +\\infty)$$

\n

To pierwszy warunek, jaki $m$ musi spełniać.

\n

Etap II — przekształcenie nierówności

\n

To najtrudniejsza część. Kluczowa tożsamość, którą trzeba zauważyć:

\n

$$x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2$$

\n

Dlaczego? Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy:

\n

$$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3 x_1^2 x_2 + 3 x_1 x_2^2 + x_2^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$$

\n

Stąd $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$. Podstaw do lewej strony:

\n

$$\\underbrace{(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)}_{x_1^3 + x_2^3} + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 9 x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2$$

\n

Trzeci wyraz $-3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ i czwarty $+3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ znoszą się.

\n

Zastosuj wzory Viète'a dla równania $x^2 - (3m+1)x + (2m^2 + m + 1) = 0$:

\n

$$x_1 + x_2 = 3m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1$$

\n

Podstaw do nierówności:

\n

$$(3m + 1)^3 - 9 (2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7$$

\n

Rozwiń $(3m+1)^3$. Skorzystaj z $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$:

\n

$$(3m+1)^3 = 27 m^3 + 27 m^2 + 9m + 1$$

\n

Stąd:

\n

$$27 m^3 + 27 m^2 + 9m + 1 - 18 m^2 - 9 m - 9 \\leq 3m - 7$$

\n

$$27 m^3 + 9 m^2 - 8 \\leq 3m - 7$$

\n

$$27 m^3 + 9 m^2 - 3m - 1 \\leq 0$$

\n

Rozłóż lewą stronę na czynniki. Sprawdź, że $(3m + 1)^2$ jest dzielnikiem:

\n

$$27 m^3 + 9 m^2 - 3m - 1 = (3m - 1)(3m + 1)^2$$

\n

Weryfikacja: $(3m - 1)(9m^2 + 6m + 1) = 27m^3 + 18m^2 + 3m - 9m^2 - 6m - 1 = 27m^3 + 9m^2 - 3m - 1$ ✓

\n

Rozwiąż nierówność $(3m - 1)(3m + 1)^2 \\leq 0$.

\n

Czynnik $(3m + 1)^2 \\geq 0$ zawsze — równość gdy $m = -\\tfrac{1}{3}$.

\n\n

Łącząc: $m \\leq \\tfrac{1}{3}$, czyli:

\n

$$m \\in \\left(-\\infty,\\ \\frac{1}{3}\\right]$$

\n

Etap III — część wspólna z etapem I

\n

Mamy dwa warunki:

\n\n

Część wspólna:

\n

$$\\left[ (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\right] \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$$

\n

Rozbij na dwie części:

\n\n

Suma:

\n

$$m \\in (-\\infty, -3)$$

\n

Punktacja CKE — pełny rozkład

\n

Etap I (1 pkt): poprawne rozwiązanie $\\Delta > 0$ → $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$.

\n

Etap II (4 pkt):

\n\n

Etap III (1 pkt): część wspólna → $m \\in (-\\infty, -3)$.

\n

Klucz — zadania z parametrem na rozszerzonej

\n

Typowy schemat:

\n
  1. Wyróżnik ($\\Delta > 0$ lub $\\geq 0$, w zależności od „różne") → pierwszy zakres $m$.
  2. Symetryczne wyrażenia z $x_1, x_2$ sprowadź do $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$ używając tożsamości:
\n\n
  1. Zastosuj Viète'a ($x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \\tfrac{c}{a}$) → drugi zakres.
  2. Część wspólna dwóch zakresów.
\n

To scenariusz 80% zadań „z parametrem" w PR.

\n

Typowy błąd: Najgorszy błąd: $\\Delta \\geq 0$ zamiast $\\Delta > 0$. Treść mówi „dwa różne rozwiązania" → ostry znak. CKE wprost: $\\Delta \\geq 0$ daje 0 punktów za etap I. Drugi błąd: tożsamość $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3$ (brak członu $-3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a + uproszczenie wyrażenia

\n
Krok 1: Warunek istnienia dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych
\n

Równanie kwadratowe \\(x^2 - (3m+1)x + 2m^2 + m + 1 = 0\\) ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik \\(\\Delta > 0\\).

\n

\\[\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1)\\]
\\[= 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4\\]
\\[= m^2 + 2m - 3\\]
\\[= (m+3)(m-1)\\]

\n

Warunek \\(\\Delta > 0\\):
\\[(m+3)(m-1) > 0 \\implies m < -3 \\quad \\text{lub} \\quad m > 1\\]

\n
Krok 2: Wzory Viète'a
\n

Dla pierwiastków \\(x_1, x_2\\) tego równania:
\\[x_1 + x_2 = 3m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1\\]

\n
Krok 3: Uproszczenie lewej strony nierówności
\n

Kluczowa obserwacja: korzystam ze wzoru na sześcian sumy \\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\), skąd:
\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)\\]

\n

Podstawiam do wyrażenia z nierówności:
\\[x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2 - 3)\\]
\\[= \\underbrace{(x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)}_{x_1^3+x_2^3} + 3x_1 x_2(x_1+x_2) - 9x_1 x_2\\]
\\[\\boxed{= (x_1+x_2)^3 - 9x_1 x_2}\\]

\n
Krok 4: Podstawienie wzorów Viète'a do nierówności
\n

Nierówność staje się:
\\[(3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7\\]

\n

Rozwijam \\((3m+1)^3 = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1\\):
\\[27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 18m^2 - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^3 + 9m^2 - 8 \\leq 3m - 7\\]
\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\]

\n
Krok 5: Rozkład na czynniki
\n

Szukam pierwiastka wymiernego wielomianu \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1\\). Sprawdzam \\(m = -\\frac{1}{3}\\):
\\[27 \\cdot \\left(-\\frac{1}{27}\\right) + 9 \\cdot \\frac{1}{9} - 3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0 \\checkmark\\]

\n

Dzielę wielomian przez \\((3m+1)\\):
\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = (3m+1)(9m^2 - 1) = (3m+1)(3m-1)(3m+1) = (3m+1)^2(3m-1)\\]

\n

Nierówność:
\\[(3m+1)^2(3m-1) \\leq 0\\]

\n

Ponieważ \\((3m+1)^2 \\geq 0\\) zawsze, iloczyn jest \\(\\leq 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\\[3m - 1 \\leq 0 \\implies m \\leq \\frac{1}{3}\\]

\n

(Gdy \\(m = -\\frac{1}{3}\\), cały iloczyn wynosi 0, co też spełnia nierówność - i \\(-\\frac{1}{3} \\leq \\frac{1}{3}\\) ✓)

\n
Krok 6: Część wspólna obu warunków
\n

| Warunek | Rozwiązanie |
| Dwa różne pierwiastki (\\(\\Delta > 0\\)) | \\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\) |
| Nierówność z \\(x_1, x_2\\) | \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) |

\n

Część wspólna (oba muszą być spełnione jednocześnie):

\n

\\[\\boxed{m \\in (-\\infty,\\, -3)}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez specyficzne wartości + analiza znaku

\n

Potraktuję ten sposób jako weryfikację i doprecyzowanie rozumowania z Kroku 5.

\n

Analiza znaku \\((3m+1)^2(3m-1) \\leq 0\\) na osiach:

\n

Punkty podziału: \\(m = -\\frac{1}{3}\\) oraz \\(m = \\frac{1}{3}\\).

\n

| Przedział | \\((3m+1)^2\\) | \\((3m-1)\\) | Iloczyn |
| \\(m < -\\frac{1}{3}\\) | \\(> 0\\) | \\(< 0\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |
| \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | \\(= 0\\) | \\(< 0\\) | \\(= 0\\) ✓ |
| \\(-\\frac{1}{3} < m < \\frac{1}{3}\\) | \\(> 0\\) | \\(< 0\\) | \\(< 0\\) ✓ |
| \\(m = \\frac{1}{3}\\) | \\(> 0\\) | \\(= 0\\) | \\(= 0\\) ✓ |
| \\(m > \\frac{1}{3}\\) | \\(> 0\\) | \\(> 0\\) | \\(> 0\\) ✗ |

\n

Nierówność zachodzi dla \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\). ✓

\n

Próba z \\(m = -4\\) (powinno działać, bo \\(-4 < -3\\)):

\n\n

Próba z \\(m = 2\\) (powinno nie działać, bo \\(2 > 1\\) ale \\(2 > \\frac{1}{3}\\)):

\n\n

Wniosek: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i warunek dwóch różnych pierwiastków:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad \\Delta > 0 \\text{ - dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\\]
Użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia warunku na \\(m\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Kluczowe narzędzie - pozwoliły wyrazić \\(x_1 + x_2\\) i \\(x_1 x_2\\) przez \\(m\\) i wyeliminować \\(x_1, x_2\\) z nierówności.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - sześcian sumy:
\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]
Stąd \\(x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)\\) - użyte w uproszczeniu wyrażenia w Kroku 3.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o OBU warunkach - nierówność na \\(x_1, x_2\\) to tylko jeden z nich. Bez warunku \\(\\Delta > 0\\) odpowiedź byłaby \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\), co jest błędem. Zawsze sprawdzaj, czy pierwiastki w ogóle istnieją!
\n
⚠️ Uwaga: Rozkład \\((3m+1)^2(3m-1) \\leq 0\\) - nie wolno "skrócić" przez \\((3m+1)^2\\) bez sprawdzenia, czy jest zerem (a mogłoby być dla \\(m=-\\frac{1}{3}\\)). Tu szczęśliwie \\(m=-\\frac{1}{3}\\) i tak spełnia nierówność, ale zasada jest ważna.
\n
⚠️ Uwaga: W uproszczeniu wyrażenia \\(x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1 + x_2 - 3)\\) kluczowy trick to zauważenie, że \\(+3x_1 x_2(x_1+x_2)\\) skraca się z \\(-3x_1 x_2(x_1+x_2)\\) ze wzoru na \\(x_1^3+x_2^3\\), zostawiając tylko \\(-9x_1 x_2\\). Bez tego uproszczenia obliczenia byłyby znacznie trudniejsze.
\n
Analiza zadania
\n

Zadanie 3-etapowe: (I) \\(\\Delta>0\\), (II) warunek na \\(m\\), (III) część wspólna.

\n
Etap I - \\(\\Delta>0\\)
\n

\\[\\Delta=[-(3m+1)]^{2}-4(2m^{2}+m+1)=9m^{2}+6m+1-8m^{2}-4m-4=m^{2}+2m-3\\]

\n

\\(m^2+2m-3>0\\Leftrightarrow (m-1)(m+3)>0\\Leftrightarrow m\\in(-\\infty,-3)\\cup(1,+\\infty)\\).

\n
Etap II - wzory Viète'a
\n

Z Viète'a: \\(x_1+x_2=3m+1\\), \\(x_1x_2=2m^2+m+1\\). Kluczowa tożsamość: \\[x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2-3)=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)+3x_1x_2(x_1+x_2)-9x_1x_2\\]

\n

\\[=(x_1+x_2)^3-9x_1x_2\\]

\n

Zatem warunek: \\((3m+1)^{3}-9(2m^{2}+m+1)\\leq 3m-7\\).

\n

Rozwijamy: \\(27m^{3}+27m^{2}+9m+1-18m^{2}-9m-9\\leq 3m-7\\), czyli \\(27m^3+9m^2-3m-1\\leq 0\\).

\n

Zauważamy, że \\(m=\\tfrac{1}{3}\\) jest pierwiastkiem: \\(27\\cdot\\tfrac{1}{27}+9\\cdot\\tfrac{1}{9}-1-1=1+1-1-1=0\\). Dzielimy: \\[27m^3+9m^2-3m-1=(3m-1)(9m^2+6m+1)=(3m-1)(3m+1)^2\\]

\n

Nierówność \\((3m-1)(3m+1)^2\\leq 0\\). Ponieważ \\((3m+1)^2\\geq 0\\), to wystarczy \\(3m-1\\leq 0\\) (lub \\(m=-\\tfrac{1}{3}\\)), czyli \\(m\\leq\\tfrac{1}{3}\\). Zatem \\(m\\in(-\\infty,\\tfrac{1}{3}]\\).

\n
Etap III - część wspólna
\n

\\(m\\in\\left[(-\\infty,-3)\\cup(1,+\\infty)\\right]\\cap(-\\infty,\\tfrac{1}{3}]=(-\\infty,-3)\\).

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział III (R): Wzory Viète'a \\(x_1+x_2=-\\tfrac{b}{a}\\), \\(x_1x_2=\\tfrac{c}{a}\\); wyróżnik \\(\\Delta=b^2-4ac\\); wzór \\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Kluczowa tożsamość: \\(x_1^3+x_2^3+3x_1x_2(x_1+x_2)=(x_1+x_2)^3\\), więc warunek upraszcza się do \\((x_1+x_2)^3-9x_1x_2\\leq 3m-7\\). Rozkład \\(27m^3+9m^2-3m-1=(3m-1)(3m+1)^2\\) - podwójny pierwiastek \\((3m+1)^2\\) oznacza, że \\(m=-\\tfrac{1}{3}\\) nie zmienia znaku.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\in (-\\infty, -3)$

"}]}