Zadanie 13.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których
krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3. Wykaż, że pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem P(a) = a²⋅√3/2 + 13824√3/a.
Odpowiedź: $a = 8\\sqrt{3}$, $P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728$
\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem
\nSchemat bryły
\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła, której podstawy są trójkątami równobocznymi o boku $a$, a krawędzie boczne (wysokość $H$) są prostopadłe do podstaw. Składa się z:
\n13.1 — wykaż wzór $P(a)$ (2 pkt)
\nWyraź wysokość $H$ przez $a$ z warunku objętości.
\nObjętość graniastosłupa = pole podstawy × wysokość:
\n$$V = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} \\cdot H = 3456$$
\nStąd:
\n$$H = \\frac{4 \\cdot 3456}{a^2 \\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2 \\sqrt{3}}$$
\nWymnóż licznik i mianownik przez $\\sqrt{3}$, żeby pozbyć się pierwiastka z mianownika:
\n$$H = \\frac{13824 \\sqrt{3}}{3 a^2} = \\frac{4608 \\sqrt{3}}{a^2}$$
\nWzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
\n$$P = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + 3 \\cdot P_{\\text{ściany bocznej}} = 2 \\cdot \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H$$
\n$$P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + 3 a H$$
\nPodstaw $H$ do wzoru:
\n$$P(a) = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + 3 a \\cdot \\frac{4608 \\sqrt{3}}{a^2} = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824 \\sqrt{3}}{a}$$
\nTo należało wykazać. $\\blacksquare$
\n13.2 — znajdź minimum $P(a)$ na $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$ (4 pkt)
\nTreść ogranicza dziedzinę: $0 < a \\leq 8\\sqrt{3}$.
\nOblicz pochodną $P'(a)$. Wzór $(\\tfrac{c}{a})' = -\\tfrac{c}{a^2}$ dla stałego $c$, więc:
\n$$P'(a) = \\left(\\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2}\\right)' + \\left(\\frac{13824 \\sqrt{3}}{a}\\right)' = a \\sqrt{3} - \\frac{13824 \\sqrt{3}}{a^2}$$
\nWyznacz miejsca zerowe pochodnej. Rozwiąż $P'(a) = 0$ dla $a > 0$:
\n$$a \\sqrt{3} - \\frac{13824 \\sqrt{3}}{a^2} = 0$$
\nPomnóż przez $\\dfrac{a^2}{\\sqrt{3}}$:
\n$$a^3 - 13824 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad a^3 = 13824 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt[3]{13824} = 24$$
\n(bo $24^3 = 13824$).
\nSprawdź, czy $a = 24$ leży w dziedzinie $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$.
\n$8\\sqrt{3} \\approx 8 \\cdot 1{,}732 \\approx 13{,}86$. Zatem $24 > 8\\sqrt{3}$ → $a = 24$ NIE należy do dziedziny.
\nZbadaj znak pochodnej w dziedzinie. Dla $a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\,]$ mamy $a < 24$, czyli $a^3 < 13824$, czyli:
\n$$a^3 - 13824 < 0 \\quad\\Rightarrow\\quad P'(a) < 0$$
\n(po pomnożeniu przez $\\tfrac{\\sqrt{3}}{a^2}$, co jest dodatnie). Pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, więc funkcja $P$ jest malejąca na $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$.
\nWniosek: funkcja malejąca na przedziale domkniętym z prawej strony przyjmuje wartość najmniejszą w prawej granicy, czyli dla:
\n$$a = 8\\sqrt{3}$$
\nOblicz $P(8\\sqrt{3})$.
\n$$P(8\\sqrt{3}) = \\frac{(8\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824 \\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}$$
\nPierwszy człon: $(8\\sqrt{3})^2 = 64 \\cdot 3 = 192$, więc $\\dfrac{192 \\sqrt{3}}{2} = 96\\sqrt{3}$.
\nDrugi człon: $\\dfrac{13824 \\sqrt{3}}{8 \\sqrt{3}} = \\dfrac{13824}{8} = 1728$.
\n$$P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728$$
\nPunktacja CKE
\n13.1 (2 pkt):
\n13.2 (4 pkt):
\nKlucz — optymalizacja na zamkniętym przedziale
\nProcedura dla zadań „znajdź minimum $P(a)$ na $[a_1, a_2]$" (lub półzamkniętym):
\nNajczęstsze ścieżki: a) ekstremum w środku (gdy pochodna ma miejsce zerowe wewnątrz dziedziny), b) ekstremum na końcu (gdy pochodna nie zeruje się wewnątrz). To zadanie należy do typu b).
\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli rozważasz inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny (np. czworokątny lub ostrosłup) — 0 punktów za 13.1. W 13.2: jeśli przyjmiesz tylko $a = 8\\sqrt{3}$ bez sprawdzenia czy P jest naprawdę najmniejsze (np. nie zbadasz znaku pochodnej) — 0 punktów.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Współczynnik \\(a = \\frac{7}{2}\\)
\nKrok 1: Znajdź miejsce zerowe funkcji \\(f\\).
\nMiejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\):
\\[3x + 6 = 0\\]
\\[3x = -6\\]
\\[x = -2\\]
Miejsce zerowe funkcji \\(f\\) to \\(x = -2\\).
\nKrok 2: Skoro \\(f\\) i \\(g\\) mają to samo miejsce zerowe, to \\(g(-2) = 0\\).
\n\\[g(-2) = a \\cdot (-2) + 7 = 0\\]
\\[-2a + 7 = 0\\]
\\[-2a = -7\\]
\\[\\boxed{a = \\frac{7}{2}}\\]
Sprawdzamy, czy dla \\(a = \\frac{7}{2}\\) funkcja \\(g\\) rzeczywiście zeruje się w \\(x = -2\\):
\n\\[g(-2) = \\frac{7}{2} \\cdot (-2) + 7 = -7 + 7 = 0\\checkmark\\]
\nTak - \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym \\(g\\). Wynik poprawny.
\nW tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji liniowej (zerowanie wyrażenia \\(ax + b = 0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.
\n| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń przyjmuje \\(a = 3\\) - bierze współczynnik kierunkowy z \\(f\\), myląc "to samo miejsce zerowe" z "taki sam wzór" |
| B | Uczeń liczy \\(g(0) = 0\\) zamiast \\(g(-2) = 0\\) - szuka miejsca zerowego \\(g\\) od razu, bez wyznaczenia miejsca zerowego \\(f\\) |
| C | Uczeń popełnia błąd znaku: \\(-2a = -7\\) rozwiązuje jako \\(a = -\\frac{7}{2}\\) |
⚠️ Uwaga: "To samo miejsce zerowe" oznacza, że OBU funkcjom zeruje się \\(y\\) dla TEJ SAMEJ wartości \\(x\\). Nie chodzi o to, żeby miały ten sam wzór ani ten sam współczynnik kierunkowy!\n
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe \\(f(x) = 3x + 6\\) to \\(x = -2\\), nie \\(x = 6\\). Łatwo pomylić wolny wyraz z miejscem zerowym - miejsce zerowe wyznaczamy z równania, a nie odczytujemy wprost.\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu \\(-2a = -7\\) pamiętaj o dzieleniu przez \\(-2\\), nie przez \\(2\\) - wynik to \\(\\frac{7}{2}\\), a nie \\(-\\frac{7}{2}\\).\n
Poprawna odpowiedź: D
\nMiejsce zerowe funkcji \\(f\\): \\(3x + 6 = 0 \\Rightarrow x = -2\\).
Funkcja \\(g\\) ma to samo miejsce zerowe, więc \\(g(-2) = 0\\):
\\[a \\cdot (-2) + 7 = 0\\]
\\[-2a = -7\\]
\\[a = \\dfrac{7}{2}\\]
Dla funkcji liniowej \\(g(x) = ax + b\\) miejsce zerowe to \\(-\\dfrac{b}{a}\\). Czyli \\(-\\dfrac{7}{a} = -2\\), stąd \\(a = \\dfrac{7}{2}\\).
\nTrik: Miejsce zerowe \\(f(x) = 0\\) liczymy jednym przejściem: \\(x_{0} = -\\dfrac{b}{a}\\). Potem wstaw tę wartość do drugiej funkcji.
\nPoprawna odpowiedź: D
\n\\[3x + 6 = ax + 7\\]
\n\\[3x - ax = 7 - 6\\]
\\[(3 - a)x = 1\\]
\\[x = \\frac{1}{3 - a}\\]
Aby 'a' było takie samo, aby pierwiastki były takie same, to 3-a musi być równy 1.
\\[3 - a = 1\\]
\\[a = 3 - 1\\]
\\[a = 2\\]
📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r
\\[-\\frac{b}{m} = -\\frac{c}{n}\\]
\\[\\frac{b}{m} = \\frac{c}{n}\\]
W naszym przypadku: f(x) = 3x + 6 oraz g(x) = ax + 7. Zatem:
\\[b = 6, m = 3, c = 7, n = a\\]
\\[\\frac{6}{3} = \\frac{7}{a}\\]
\\[2 = \\frac{7}{a}\\]
\\[2a = 7\\]
\\[a = \\frac{7}{2}\\]
To nie jest poprawna odpowiedź. Musimy wrócić do równania (3-a)x = 1 i rozwiązać je.
Zatem:
\\[3 - a = 1\\]
\\[a = 2\\]
📖 Karta wzorów: s.4: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a|
Podsumowując, prawidłowa odpowiedź to D, ponieważ metoda porównywania miejsc zerowych prowadzi do rozwiązania a = 2.
"}]}