{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że pole 𝑷 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝒂\nkrawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑷(𝒂) = 𝒂𝟐⋅√𝟑\n𝟐\n+ 𝟏𝟑𝟖𝟐𝟒√𝟑\n𝒂\n13.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi\npodstawy, np. 𝐻= 13824\n𝑎2√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎= 8√3, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy jego wysokość przez 𝐻.\nKorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz wzoru na pole trójkąta\nrównobocznego i otrzymujemy:\n3456 = 𝑎2√3\n4\n⋅𝐻\n𝐻= 4608√3\n𝑎2\nStąd oraz ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa dostajemy\n𝑃= 2 ⋅𝑎2√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\n𝑃= 𝑎2√3\n2\n+ 3𝑎⋅4608√3\n𝑎2\n𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z objętości i podstawienie\n\n**Dane graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:**\n- krawędź podstawy: \\(a\\), gdzie \\(0 < a \\leq 8\\sqrt{3}\\)\n- wysokość: \\(h > 0\\)\n- objętość: \\(V = 3456\\)\n\n**Krok 1 - Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)):**\n\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Krok 2 - Wyznaczenie wysokości \\(h\\) z warunku objętości:**\n\nObjętość graniastosłupa to:\n\\[V = P_p \\cdot h = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot h = 3456\\]\n\nStąd wyznaczamy \\(h\\):\n\\[h = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\]\n\nRacjonalizujemy mianownik (mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)):\n\\[h = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\n**Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:**\n\nGraniastosłup ma dwie podstawy i trzy prostokątne ściany boczne (każda o wymiarach \\(a \\times h\\)):\n\\[P = \\underbrace{2 P_p}_{\\text{dwie podstawy}} + \\underbrace{3 \\cdot a \\cdot h}_{\\text{trzy ściany boczne}}\\]\n\n\\[P = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\n\n**To jest dokładnie wzór, który należało wykazać.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnego przypadku\n\nSprawdźmy wzór dla \\(a = 12\\) (spełnia \\(12 \\leq 8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\)).\n\n**Wyznaczamy \\(h\\) z objętości:**\n\\[P_p = \\frac{144\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\]\n\\[h = \\frac{3456}{36\\sqrt{3}} = \\frac{96}{\\sqrt{3}} = \\frac{96\\sqrt{3}}{3} = 32\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole powierzchni całkowitej wprost:**\n\\[P = 2 \\cdot 36\\sqrt{3} + 3 \\cdot 12 \\cdot 32\\sqrt{3} = 72\\sqrt{3} + 1152\\sqrt{3} = 1224\\sqrt{3}\\]\n\n**Wartość ze wzoru:**\n\\[P(12) = \\frac{144\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{12} = 72\\sqrt{3} + 1152\\sqrt{3} = 1224\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWyniki są zgodne, co potwierdza poprawność wyprowadzonego wzoru.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nGraniastosłup prosty:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = Ob \\cdot h\\]\n\nUżyte w Kroku 2 (wyznaczenie \\(h\\)) i Kroku 3 (pole boczne = obwód podstawy \\(\\times\\) wysokość).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 20-21):**\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nPole podstawy graniastosłupa to pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) - kluczowy wzór dla całego wyprowadzenia.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę będącą **trójkątem równobocznym** - nie mylić z \"dowolnym\" trójkątem prostokątnym. Wzór \\(P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) pochodzi właśnie z trójkąta równobocznego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole **powierzchni bocznej** graniastosłupa to \\(3 \\cdot a \\cdot h\\) (trzy prostokąty), a nie \\(a \\cdot h\\). Zapomnienie o mnożniku \\(3\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizacji \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\) trzeba pomnożyć przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\), co daje mianownik \\(3a^2\\), nie \\(a^2\\). Stąd \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\). Błąd tutaj przesuwa się na wynik końcowy.\n\n### Analiza zadania\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), wysokość \\(H\\). Objętość \\(V=3456\\). Należy wyrazić \\(P_{calk}\\) w zależności od \\(a\\).\n\n### Sposób 1 (bezpośredni)\n\nPole podstawy: \\(P_{\\triangle}=\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Z \\(V=P_\\triangle\\cdot H\\): \\[3456=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot H\\Rightarrow H=\\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}}=\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\nPole powierzchni całkowitej: \\(P=2P_\\triangle+3\\cdot a\\cdot H\\) (2 podstawy + 3 ściany boczne prostokątne). \\[P=2\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}+3a\\cdot\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\n\nc.n.d.\n\n### Odniesienie do karty wzorów CKE\n\nDział X: Pole trójkąta równobocznego \\(P=\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\); objętość graniastosłupa \\(V=P_p\\cdot H\\); pole powierzchni graniastosłupa prostego \\(P=2P_p+P_b\\), gdzie \\(P_b\\) to suma pól ścian bocznych.\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- 2 pkt: przeprowadzenie pełnego rozumowania\n- 1 pkt: wyznaczenie \\(H=\\tfrac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\)\n- 0 pkt: niepoprawna metoda; rozpatrywanie innej bryły - 0 pkt!\n- UWAGA: rozpatrywanie tylko \\(a=8\\sqrt{3}\\) - 0 pkt za całość!\n\n**Trik:** Po wyznaczeniu \\(H\\) warto od razu racjonalizować: \\(\\tfrac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}=\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^2}=\\tfrac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\). Wtedy \\(3a\\cdot H=\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) - człon zgadza się z tezą.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.1. (0-2)<br>Wykaż, że pole 𝑷 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝒂<br>krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem<br>𝑷(𝒂) = 𝒂𝟐⋅√𝟑<br>𝟐</p>\n<ul><li>𝟏𝟑𝟖𝟐𝟒√𝟑</li></ul>\n<p>𝒂<br>13.1.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13.1. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>X.4) oblicza objętości i pola powierzchni<br>graniastosłupów […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi<br>podstawy, np. 𝐻= 13824<br>𝑎2√3 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎= 8√3, to otrzymuje 0 punktów za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Rozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy jego wysokość przez 𝐻.<br>Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz wzoru na pole trójkąta<br>równobocznego i otrzymujemy:<br>3456 = 𝑎2√3<br>4<br>⋅𝐻<br>𝐻= 4608√3<br>𝑎2<br>Stąd oraz ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa dostajemy<br>𝑃= 2 ⋅𝑎2√3<br>4</p>\n<ul><li>3𝑎𝐻</li></ul>\n<p>𝑃= 𝑎2√3<br>2</p>\n<ul><li>3𝑎⋅4608√3</li></ul>\n<p>𝑎2<br>𝑃(𝑎) = 𝑎2√3<br>2</p>\n<ul><li>13824√3</li></ul>\n<p>𝑎</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: Dowód</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z objętości i podstawienie</h4>\n<p><strong>Dane graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:</strong></p>\n<ul><li>krawędź podstawy: \\(a\\), gdzie \\(0 &lt; a \\leq 8\\sqrt{3}\\)</li><li>wysokość: \\(h &gt; 0\\)</li><li>objętość: \\(V = 3456\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1 - Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)):</strong></p>\n<p>\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Wyznaczenie wysokości \\(h\\) z warunku objętości:</strong></p>\n<p>Objętość graniastosłupa to:<br>\\[V = P_p \\cdot h = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot h = 3456\\]</p>\n<p>Stąd wyznaczamy \\(h\\):<br>\\[h = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Racjonalizujemy mianownik (mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)):<br>\\[h = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:</strong></p>\n<p>Graniastosłup ma dwie podstawy i trzy prostokątne ściany boczne (każda o wymiarach \\(a \\times h\\)):<br>\\[P = \\underbrace{2 P_p}<em>{\\text{dwie podstawy}} + \\underbrace{3 \\cdot a \\cdot h}</em>{\\text{trzy ściany boczne}}\\]</p>\n<p>\\[P = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]</p>\n<p>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]</p>\n<p><strong>To jest dokładnie wzór, który należało wykazać.</strong> \\(\\square\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnego przypadku</h4>\n<p>Sprawdźmy wzór dla \\(a = 12\\) (spełnia \\(12 \\leq 8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\)).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(h\\) z objętości:</strong><br>\\[P_p = \\frac{144\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\]<br>\\[h = \\frac{3456}{36\\sqrt{3}} = \\frac{96}{\\sqrt{3}} = \\frac{96\\sqrt{3}}{3} = 32\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Pole powierzchni całkowitej wprost:</strong><br>\\[P = 2 \\cdot 36\\sqrt{3} + 3 \\cdot 12 \\cdot 32\\sqrt{3} = 72\\sqrt{3} + 1152\\sqrt{3} = 1224\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Wartość ze wzoru:</strong><br>\\[P(12) = \\frac{144\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{12} = 72\\sqrt{3} + 1152\\sqrt{3} = 1224\\sqrt{3} \\checkmark\\]</p>\n<p>Wyniki są zgodne, co potwierdza poprawność wyprowadzonego wzoru.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):</strong></p>\n<p>Graniastosłup prosty:<br>\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = Ob \\cdot h\\]</p>\n<p>Użyte w Kroku 2 (wyznaczenie \\(h\\)) i Kroku 3 (pole boczne = obwód podstawy \\(\\times\\) wysokość).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 20-21):</strong><br>\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]</p>\n<p>Pole podstawy graniastosłupa to pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) - kluczowy wzór dla całego wyprowadzenia.</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę będącą <strong>trójkątem równobocznym</strong> - nie mylić z &quot;dowolnym&quot; trójkątem prostokątnym. Wzór \\(P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) pochodzi właśnie z trójkąta równobocznego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pole <strong>powierzchni bocznej</strong> graniastosłupa to \\(3 \\cdot a \\cdot h\\) (trzy prostokąty), a nie \\(a \\cdot h\\). Zapomnienie o mnożniku \\(3\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy racjonalizacji \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\) trzeba pomnożyć przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\), co daje mianownik \\(3a^2\\), nie \\(a^2\\). Stąd \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\). Błąd tutaj przesuwa się na wynik końcowy.</blockquote>\n<h5>Analiza zadania</h5>\n<p>Graniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), wysokość \\(H\\). Objętość \\(V=3456\\). Należy wyrazić \\(P_{calk}\\) w zależności od \\(a\\).</p>\n<h5>Sposób 1 (bezpośredni)</h5>\n<p>Pole podstawy: \\(P_{\\triangle}=\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Z \\(V=P_\\triangle\\cdot H\\): \\[3456=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot H\\Rightarrow H=\\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}}=\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej: \\(P=2P_\\triangle+3\\cdot a\\cdot H\\) (2 podstawy + 3 ściany boczne prostokątne). \\[P=2\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}+3a\\cdot\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]</p>\n<p>c.n.d.</p>\n<h5>Odniesienie do karty wzorów CKE</h5>\n<p>Dział X: Pole trójkąta równobocznego \\(P=\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\); objętość graniastosłupa \\(V=P_p\\cdot H\\); pole powierzchni graniastosłupa prostego \\(P=2P_p+P_b\\), gdzie \\(P_b\\) to suma pól ścian bocznych.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>2 pkt: przeprowadzenie pełnego rozumowania</li><li>1 pkt: wyznaczenie \\(H=\\tfrac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\)</li><li>0 pkt: niepoprawna metoda; rozpatrywanie innej bryły - 0 pkt!</li><li>UWAGA: rozpatrywanie tylko \\(a=8\\sqrt{3}\\) - 0 pkt za całość!</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Po wyznaczeniu \\(H\\) warto od razu racjonalizować: \\(\\tfrac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}=\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^2}=\\tfrac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\). Wtedy \\(3a\\cdot H=\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) - człon zgadza się z tezą.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dowód.</p>"}]}