{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nPole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi\npodstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla 𝑎∈(0, 8√3 ].\nWyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego\npole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz\nobliczenia.\n13.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3. Pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem P(a) = a²⋅√3/2 + 13824√3/a dla a∈(0,8√3>. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R4) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\ni obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nALBO\n- zapisanie, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą i obliczenie\n𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0: 𝑎= 24.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma\npostać 𝐴𝑎+ 𝐵\n𝑎2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka,\nw którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2,\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\nJeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej oraz za uzasadnienie\nistnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-” znak pochodnej.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to\nmoże otrzymać co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej).\n4. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nmożna uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub\ngraficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0), gdzie 𝑎0 jest miejscem\nzerowym pochodnej funkcji 𝑓, będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞).\n5. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość\nnajmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑃 określonej wzorem 𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla\n𝑎∈(0, 8√3 ].\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\ndla 𝑎∈(0, 8√3 ].\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0\n𝑎3√3 -13824√3 = 0\n𝑎3 = 13824 = 243\n𝑎= 24 ∉(0, 8√3 ]\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n< 0\n𝑎3√3 -13824√3 < 0\n𝑎3 < 13824\n𝑎< 24\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 8√3 ].\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 8√3 ].\nStąd dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą równą\n𝑃(8√3) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\n(8√3)\n2⋅ √3\n2\n+ 13824√3\n8√3\n= 96√3 + 1728.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)\n\n## Sposób 1 - Pochodna i analiza monotoniczności\n\n**Wyznaczamy pochodną** funkcji \\(P(a) = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) na dziedzinie \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\,]\\):\n\n\\[P'(a) = \\frac{2a\\sqrt{3}}{2} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\sqrt{3}\\left(a - \\frac{13824}{a^2}\\right)\\]\n\n**Szukamy punktów krytycznych** - przyrównujemy pochodną do zera:\n\n\\[P'(a) = 0 \\iff a - \\frac{13824}{a^2} = 0 \\iff a^3 = 13824\\]\n\n\\[a = \\sqrt[3]{13824} = 24\\]\n\n(sprawdzenie: \\(24^3 = 576 \\cdot 24 = 13824\\) ✓)\n\n**Kluczowa obserwacja:** jedyny punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży **poza dziedziną**, bo:\n\\[8\\sqrt{3} \\approx 8 \\cdot 1{,}732 = 13{,}856 \\ll 24\\]\n\n**Badamy znak \\(P'(a)\\) na dziedzinie.** Sprawdzamy na prawym krańcu:\n\\[P'(8\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}\\!\\left(8\\sqrt{3} - \\frac{13824}{(8\\sqrt{3})^2}\\right) = \\sqrt{3}\\!\\left(8\\sqrt{3} - \\frac{13824}{192}\\right) = \\sqrt{3}(8\\sqrt{3} - 72)\\]\n\n\\[= \\sqrt{3}\\,(13{,}856\\ldots - 72) < 0\\]\n\nPonieważ \\(P'(a)\\) jest ciągła i ma jedyne zero w \\(a = 24 > 8\\sqrt{3}\\), to:\n\n\\[\\forall\\, a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}]: \\quad P'(a) < 0\\]\n\n**Wniosek:** funkcja \\(P\\) jest **ściśle malejąca** na całej dziedzinie. Zatem minimum osiąga w prawym krańcu dziedziny, czyli dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\).\n\n**Obliczamy minimalne pole:**\n\n\\[(8\\sqrt{3})^2 = 64 \\cdot 3 = 192\\]\n\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{192 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = 96\\sqrt{3} + \\frac{13824}{8}\\]\n\n\\[\\boxed{P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówność AM-GM i ograniczenie dziedziny\n\n**Szukamy bezwzględnego minimum** funkcji \\(P(a)\\) bez ograniczenia dziedziny. Rozbijamy drugi składnik na dwie równe części i stosujemy **nierówność AM-GM dla trzech liczb** (\\(\\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\geq \\sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}\\)):\n\n\\[P(a) = \\underbrace{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}}_{x_1} + \\underbrace{\\frac{6912\\sqrt{3}}{a}}_{x_2} + \\underbrace{\\frac{6912\\sqrt{3}}{a}}_{x_3}\\]\n\n\\[P(a) \\geq 3\\sqrt[3]{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{6912\\sqrt{3}}{a} \\cdot \\frac{6912\\sqrt{3}}{a}} = 3\\sqrt[3]{\\frac{3\\sqrt{3} \\cdot 6912^2}{2}}\\]\n\nRówność w AM-GM zachodzi, gdy \\(x_1 = x_2 = x_3\\):\n\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} = \\frac{6912\\sqrt{3}}{a} \\implies a^3 = 13824 \\implies a = 24\\]\n\n**Jednak \\(a = 24 \\notin (0,\\, 8\\sqrt{3}\\,]\\).** Bezwzględne minimum funkcji leży poza dozwoloną dziedziną.\n\nPonieważ minimum globalne jest w \\(a = 24\\), a \\(24 > 8\\sqrt{3}\\), funkcja na przedziale \\((0, 24)\\) jest **malejąca** (zbliżamy się do minimum, ale go nie osiągamy). W szczególności jest malejąca na całym \\((0, 8\\sqrt{3}]\\).\n\nZatem minimum na dozwolonej dziedzinie osiągane jest w **jedynym możliwym miejscu** - prawym krańcu \\(a = 8\\sqrt{3}\\):\n\n\\[P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi \\([x^r]' = r \\cdot x^{r-1}\\) oraz reguła różniczkowania sumy i stałej:\n\n\\[\\left[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\right]' = a\\sqrt{3}, \\qquad \\left[\\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\right]' = \\left[13824\\sqrt{3} \\cdot a^{-1}\\right]' = -\\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(P'(a)\\) i szukania punktów krytycznych.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = P_b + 2P_p = O_b \\cdot h + 2P_p\\]\n\nDla graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n- pole podstawy: \\(P_p = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) (z Działu 10, s. 15-16)\n- dwa razy pole podstawy daje \\(\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\) - to pierwszy składnik wzoru zadania\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpowszechniejszy błąd to znalezienie \\(a = 24\\) jako \"minimum\" i podanie go jako odpowiedź - bez sprawdzenia, czy punkt krytyczny należy do dziedziny. **Zawsze sprawdzaj, czy \\(P'(a_0) = 0\\) i \\(a_0 \\in\\) dziedzina!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy punkt krytyczny wypada poza dziedziną, minimum szukamy na **krańcach** (oraz sprawdzamy, czy dziedzina jest przedziałem domkniętym czy otwartym). Tu dziedzina jest domknięta z prawej strony, więc \\(a = 8\\sqrt{3}\\) jest osiągalne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(P(8\\sqrt{3})\\) łatwo pomylić \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) - \\(\\sqrt{3}\\) w liczniku i mianowniku skracają się, dając \\(\\dfrac{13824}{8} = 1728\\), a nie \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8}\\).\n\n### Analiza zadania\n\nZadanie optymalizacyjne z pochodną na przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\). Ważne: zwykle minimum przyjmowane w miejscu zerowym pochodnej, ale tutaj trzeba sprawdzić, czy miejsce zerowe należy do przedziału.\n\n### Sposób 1 (z pochodną)\n\nLiczymy \\(P'(a)\\): \\[P'(a)=a\\sqrt{3}-\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(P'(a)=0\\Rightarrow a\\sqrt{3}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\Rightarrow a^{3}=13824=24^{3}\\Rightarrow a=24\\).\n\nAle \\(24\\notin(0,8\\sqrt{3}\\,]\\), bo \\(8\\sqrt{3}\\approx 13{,}86<24\\). Badamy znak \\(P'\\) na \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\): dla \\(a<24\\) mamy \\(a\\sqrt{3}<\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\) (bo \\(a^3<13824\\)), więc \\(P'(a)<0\\). Funkcja \\(P\\) jest malejąca na całym przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\)!\n\nZatem minimum dla \\(a=8\\sqrt{3}\\) (prawy koniec przedziału). Obliczamy: \\[P(8\\sqrt{3})=\\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}=\\dfrac{192\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824}{8}=96\\sqrt{3}+1728\\]\n\n### Sposób 2 (weryfikacja AM-GM - niestandardowy)\n\nZ nierówności \\(x+y\\geq 2\\sqrt{xy}\\). Jednak tu mamy 3 składniki. Z AM-GM (trzy równe części \\(\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a}=\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}+\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\)):\n\n\\[P(a)\\geq 3\\sqrt[3]{\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\cdot\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}}=3\\sqrt[3]{\\dfrac{3\\sqrt{3}\\cdot 6912^{2}}{2}}\\]\n\nRówność dla \\(\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}=\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\Rightarrow a^3=13824\\Rightarrow a=24\\notin(0,8\\sqrt{3}\\,]\\). Metoda 1 dokładniejsza.\n\n### Odniesienie do karty wzorów CKE\n\nDział XIII (R): Pochodna \\((a^n)'=na^{n-1}\\); zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności; zadania optymalizacyjne; \\((a^{-1})'=-\\tfrac{1}{a^2}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- 4 pkt: uzasadnienie, że \\(P\\) osiąga minimum dla \\(a=8\\sqrt{3}\\) ORAZ wynik \\(96\\sqrt{3}+1728\\)\n- 3 pkt: uzasadnienie monotoniczności lub obliczenie \\(P(8\\sqrt{3})\\)\n- 2 pkt: poprawne rozwiązanie \\(a\\sqrt{3}-\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}=0\\Rightarrow a=24\\)\n- 1 pkt: wyznaczenie pochodnej \\(P'(a)=a\\sqrt{3}-\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\)\n- 0 pkt: niepoprawna metoda\n- UWAGA 3: jeśli miejsce zerowe pochodnej jest w \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\) (błąd rachunkowy), max 1 pkt!\n\n**Trik:** Krytyczne zauważenie: \\(a=24\\) nie leży w przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\), więc minimum w prawym końcu \\(a=8\\sqrt{3}\\)! To nietypowe zadanie - zwykle minimum jest w miejscu zerowym pochodnej. Trzeba ZBADAĆ MONOTONICZNOŚĆ!","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg","topics":"optymalizacja","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13.2. (0-4)
Pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi
podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3
2

\n\n

𝑎
dla 𝑎∈(0, 8√3 ].
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego
pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz
obliczenia.
13.2.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-R0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3. Pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem P(a) = a²⋅√3/2 + 13824√3/a dla a∈(0,8√3>. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

","answer_text_html":"

Zadanie 13.2. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
XIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej
o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza
pochodną, korzystając z twierdzeń
o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu;
XIII.R4) stosuje pochodną do badania
monotoniczności funkcji;
XIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
z zastosowaniem pochodnej.
Zasady oceniania
4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3
i obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728.
3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje
wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3
ALBO

\n\n

𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728.
2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 -13824√3
𝑎2
= 0: 𝑎= 24.
1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3
𝑎2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma
\n

postać 𝐴𝑎+ 𝐵
𝑎2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka,
w którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2,
i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej
wartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).
Jeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej oraz za uzasadnienie
istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃).

\n
  1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres
\n

funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.
znakami „+” i „-” znak pochodnej.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to
\n

może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za obliczenie
miejsca zerowego pochodnej).

\n
  1. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3
\n

można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub
graficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0), gdzie 𝑎0 jest miejscem
zerowym pochodnej funkcji 𝑓, będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞).

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość
\n

najmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).
Przykładowe pełne rozwiązanie
Obliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑃 określonej wzorem 𝑃(𝑎) = 𝑎2√3
2

\n\n

𝑎
dla
𝑎∈(0, 8√3 ].
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3
𝑎2
dla 𝑎∈(0, 8√3 ].
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:
𝑃′(𝑎) = 0
𝑎√3 -13824√3
𝑎2
= 0
𝑎3√3 -13824√3 = 0
𝑎3 = 13824 = 243
𝑎= 24 ∉(0, 8√3 ]
Badamy znak pochodnej:
𝑃′(𝑎) < 0
𝑎√3 -13824√3
𝑎2
< 0
𝑎3√3 -13824√3 < 0
𝑎3 < 13824
𝑎< 24
więc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 8√3 ].
Zatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 8√3 ].
Stąd dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą równą
𝑃(8√3) = 𝑎2√3
2

\n\n

𝑎
(8√3)
2⋅ √3
2

\n\n

8√3
= 96√3 + 1728.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)

\n

Sposób 1 - Pochodna i analiza monotoniczności

\n

Wyznaczamy pochodną funkcji \\(P(a) = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) na dziedzinie \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\,]\\):

\n

\\[P'(a) = \\frac{2a\\sqrt{3}}{2} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\sqrt{3}\\left(a - \\frac{13824}{a^2}\\right)\\]

\n

Szukamy punktów krytycznych - przyrównujemy pochodną do zera:

\n

\\[P'(a) = 0 \\iff a - \\frac{13824}{a^2} = 0 \\iff a^3 = 13824\\]

\n

\\[a = \\sqrt[3]{13824} = 24\\]

\n

(sprawdzenie: \\(24^3 = 576 \\cdot 24 = 13824\\) ✓)

\n

Kluczowa obserwacja: jedyny punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży poza dziedziną, bo:
\\[8\\sqrt{3} \\approx 8 \\cdot 1{,}732 = 13{,}856 \\ll 24\\]

\n

Badamy znak \\(P'(a)\\) na dziedzinie. Sprawdzamy na prawym krańcu:
\\[P'(8\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}\\!\\left(8\\sqrt{3} - \\frac{13824}{(8\\sqrt{3})^2}\\right) = \\sqrt{3}\\!\\left(8\\sqrt{3} - \\frac{13824}{192}\\right) = \\sqrt{3}(8\\sqrt{3} - 72)\\]

\n

\\[= \\sqrt{3}\\,(13{,}856\\ldots - 72) < 0\\]

\n

Ponieważ \\(P'(a)\\) jest ciągła i ma jedyne zero w \\(a = 24 > 8\\sqrt{3}\\), to:

\n

\\[\\forall\\, a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}]: \\quad P'(a) < 0\\]

\n

Wniosek: funkcja \\(P\\) jest ściśle malejąca na całej dziedzinie. Zatem minimum osiąga w prawym krańcu dziedziny, czyli dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\).

\n

Obliczamy minimalne pole:

\n

\\[(8\\sqrt{3})^2 = 64 \\cdot 3 = 192\\]

\n

\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{192 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = 96\\sqrt{3} + \\frac{13824}{8}\\]

\n

\\[\\boxed{P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]

\n

Sposób 2 - Nierówność AM-GM i ograniczenie dziedziny

\n

Szukamy bezwzględnego minimum funkcji \\(P(a)\\) bez ograniczenia dziedziny. Rozbijamy drugi składnik na dwie równe części i stosujemy nierówność AM-GM dla trzech liczb (\\(\\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\geq \\sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}\\)):

\n

\\[P(a) = \\underbrace{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}}{x_1} + \\underbrace{\\frac{6912\\sqrt{3}}{a}}{x_2} + \\underbrace{\\frac{6912\\sqrt{3}}{a}}_{x_3}\\]

\n

\\[P(a) \\geq 3\\sqrt[3]{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{6912\\sqrt{3}}{a} \\cdot \\frac{6912\\sqrt{3}}{a}} = 3\\sqrt[3]{\\frac{3\\sqrt{3} \\cdot 6912^2}{2}}\\]

\n

Równość w AM-GM zachodzi, gdy \\(x_1 = x_2 = x_3\\):

\n

\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} = \\frac{6912\\sqrt{3}}{a} \\implies a^3 = 13824 \\implies a = 24\\]

\n

Jednak \\(a = 24 \\notin (0,\\, 8\\sqrt{3}\\,]\\). Bezwzględne minimum funkcji leży poza dozwoloną dziedziną.

\n

Ponieważ minimum globalne jest w \\(a = 24\\), a \\(24 > 8\\sqrt{3}\\), funkcja na przedziale \\((0, 24)\\) jest malejąca (zbliżamy się do minimum, ale go nie osiągamy). W szczególności jest malejąca na całym \\((0, 8\\sqrt{3}]\\).

\n

Zatem minimum na dozwolonej dziedzinie osiągane jest w jedynym możliwym miejscu - prawym krańcu \\(a = 8\\sqrt{3}\\):

\n

\\[P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - pochodna potęgi \\([x^r]' = r \\cdot x^{r-1}\\) oraz reguła różniczkowania sumy i stałej:

\n

\\[\\left[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\right]' = a\\sqrt{3}, \\qquad \\left[\\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\right]' = \\left[13824\\sqrt{3} \\cdot a^{-1}\\right]' = -\\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\]

\n

Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(P'(a)\\) i szukania punktów krytycznych.

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:
\\[P_c = P_b + 2P_p = O_b \\cdot h + 2P_p\\]

\n

Dla graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):

\n\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najpowszechniejszy błąd to znalezienie \\(a = 24\\) jako "minimum" i podanie go jako odpowiedź - bez sprawdzenia, czy punkt krytyczny należy do dziedziny. Zawsze sprawdzaj, czy \\(P'(a_0) = 0\\) i \\(a_0 \\in\\) dziedzina!
\n
⚠️ Uwaga: Gdy punkt krytyczny wypada poza dziedziną, minimum szukamy na krańcach (oraz sprawdzamy, czy dziedzina jest przedziałem domkniętym czy otwartym). Tu dziedzina jest domknięta z prawej strony, więc \\(a = 8\\sqrt{3}\\) jest osiągalne.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(P(8\\sqrt{3})\\) łatwo pomylić \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) - \\(\\sqrt{3}\\) w liczniku i mianowniku skracają się, dając \\(\\dfrac{13824}{8} = 1728\\), a nie \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8}\\).
\n
Analiza zadania
\n

Zadanie optymalizacyjne z pochodną na przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\). Ważne: zwykle minimum przyjmowane w miejscu zerowym pochodnej, ale tutaj trzeba sprawdzić, czy miejsce zerowe należy do przedziału.

\n
Sposób 1 (z pochodną)
\n

Liczymy \\(P'(a)\\): \\[P'(a)=a\\sqrt{3}-\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(P'(a)=0\\Rightarrow a\\sqrt{3}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\Rightarrow a^{3}=13824=24^{3}\\Rightarrow a=24\\).

\n

Ale \\(24\\notin(0,8\\sqrt{3}\\,]\\), bo \\(8\\sqrt{3}\\approx 13{,}86<24\\). Badamy znak \\(P'\\) na \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\): dla \\(a<24\\) mamy \\(a\\sqrt{3}<\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\) (bo \\(a^3<13824\\)), więc \\(P'(a)<0\\). Funkcja \\(P\\) jest malejąca na całym przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\)!

\n

Zatem minimum dla \\(a=8\\sqrt{3}\\) (prawy koniec przedziału). Obliczamy: \\[P(8\\sqrt{3})=\\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}=\\dfrac{192\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824}{8}=96\\sqrt{3}+1728\\]

\n
Sposób 2 (weryfikacja AM-GM - niestandardowy)
\n

Z nierówności \\(x+y\\geq 2\\sqrt{xy}\\). Jednak tu mamy 3 składniki. Z AM-GM (trzy równe części \\(\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a}=\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}+\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\)):

\n

\\[P(a)\\geq 3\\sqrt[3]{\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\cdot\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}}=3\\sqrt[3]{\\dfrac{3\\sqrt{3}\\cdot 6912^{2}}{2}}\\]

\n

Równość dla \\(\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}=\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\Rightarrow a^3=13824\\Rightarrow a=24\\notin(0,8\\sqrt{3}\\,]\\). Metoda 1 dokładniejsza.

\n
Odniesienie do karty wzorów CKE
\n

Dział XIII (R): Pochodna \\((a^n)'=na^{n-1}\\); zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności; zadania optymalizacyjne; \\((a^{-1})'=-\\tfrac{1}{a^2}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Krytyczne zauważenie: \\(a=24\\) nie leży w przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\), więc minimum w prawym końcu \\(a=8\\sqrt{3}\\)! To nietypowe zadanie - zwykle minimum jest w miejscu zerowym pochodnej. Trzeba ZBADAĆ MONOTONICZNOŚĆ!

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = 8\\sqrt{3}, P_{min} = 96\\sqrt{3} + 1728$

"}]}