{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Środek \\(S\\) okręgu o promieniu \\(\\sqrt{5}\\) leży na prostej o równaniu \\(y = x + 1\\). Przez punkt \\(A = (1, 2)\\), którego odległość od punktu \\(S\\) jest większa od \\(\\sqrt{5}\\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \\(B\\) i \\(C\\). Pole czworokąta \\(ABSC\\) jest równe \\(15\\).\n\nOblicz współrzędne punktu \\(S\\). Rozważ wszystkie przypadki.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S = (6,\\, 7)\\) lub \\(S = (-4,\\, -3)\\)\n\n## Sposób 1 - Podział czworokąta na dwa trójkąty prostokątne\n\n**Krok 1: Parametryzacja środka okręgu.**\n\nPonieważ \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), przyjmijmy \\(S = (a,\\, a+1)\\) dla pewnego \\(a \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Krok 2: Kąty przy punktach stycznych są proste.**\n\nProsta styczna do okręgu w punkcie \\(B\\) jest prostopadła do promienia \\(SB\\), więc \\(\\angle ABS = 90°\\). Analogicznie \\(\\angle ACS = 90°\\).\n\n**Krok 3: Pole czworokąta \\(ABSC\\).**\n\nDzielimy przekątną \\(AS\\) czworokąt na dwa trójkąty prostokątne:\n\\[\\text{Pole}(ABSC) = \\text{Pole}(\\triangle ABS) + \\text{Pole}(\\triangle ACS) = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |SB|\\]\n\nOdcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe: \\(|AB| = |AC|\\). Zatem:\n\\[\\text{Pole}(ABSC) = |AB| \\cdot \\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 4: Wyrazić \\(|AB|\\) przez \\(|AS|\\).**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w \\(\\triangle ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\), przeciwprostokątna \\(AS\\)):\n\\[|AB|^2 = |AS|^2 - |SB|^2 = |AS|^2 - 5\\]\n\n**Krok 5: Równanie z warunku na pole.**\n\n\\[\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{|AS|^2 - 5} = 15\\]\n\\[\\sqrt{|AS|^2 - 5} = \\frac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]\n\\[|AS|^2 - 5 = 45 \\implies \\mathbf{|AS|^2 = 50}\\]\n\n**Krok 6: Obliczenie \\(|AS|^2\\) ze współrzędnych.**\n\n\\[|AS|^2 = (a - 1)^2 + (a+1-2)^2 = (a-1)^2 + (a-1)^2 = 2(a-1)^2\\]\n\nRównanie:\n\\[2(a-1)^2 = 50 \\implies (a-1)^2 = 25 \\implies a - 1 = \\pm 5\\]\n\n- \\(a = 6 \\implies S = (6,\\; 7)\\)\n- \\(a = -4 \\implies S = (-4,\\; -3)\\)\n\n**Sprawdzenie warunku \\(|AS| > \\sqrt{5}\\):** \\(\\;|AS| = \\sqrt{50} \\gg \\sqrt{5}\\) ✓ - oba rozwiązania spełniają warunek.\n\n**Odpowiedź: \\(\\boldsymbol{S = (6,\\, 7)}\\) lub \\(\\boldsymbol{S = (-4,\\, -3)}\\)**\n\n## Sposób 2 - ABSC jako deltoid; wzór na pole przez przekątne\n\n**Krok 1: ABSC jest deltoildem (latawcem).**\n\nPonieważ:\n- \\(|AB| = |AC|\\) - odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe,\n- \\(|SB| = |SC| = \\sqrt{5}\\) - oba są promieniami okręgu,\n\nczworokąt \\(ABSC\\) ma **dwie pary sąsiednich równych boków** (przy wierzchołku \\(A\\) mamy \\(|AB|=|AC|\\), przy wierzchołku \\(S\\) mamy \\(|SB|=|SC|\\)), czyli jest **deltoildem**.\n\n**Krok 2: Przekątne deltoidu są prostopadłe.**\n\nPrzekątne \\(ABSC\\) to \\(AS\\) i \\(BC\\). Własnością deltoidu jest \\(AS \\perp BC\\). Niech \\(M\\) = punkt przecięcia przekątnych.\n\n\\[\\text{Pole}(ABSC) = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BC|\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczyć \\(|BC|\\) przez \\(|AS|\\).**\n\nPonieważ \\(SM \\perp BC\\), odcinek \\(SM\\) jest prostopadły do cięciwy \\(BC\\). Z własności rzutu wysokości na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym \\(ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):\n\\[|SM| = \\frac{|SB|^2}{|AS|} = \\frac{5}{|AS|}\\]\n\nPołowa cięciwy:\n\\[|BM|^2 = |SB|^2 - |SM|^2 = 5 - \\frac{25}{|AS|^2}\\]\n\n\\[|BC| = 2|BM| = 2\\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}}\\]\n\n**Krok 4: Równanie z warunku na pole.**\n\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot 2\\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}} = 15\\]\n\\[|AS| \\cdot \\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}} = 15\\]\n\\[\\sqrt{5|AS|^2 - 25} = 15\\]\n\\[5|AS|^2 - 25 = 225 \\implies \\mathbf{|AS|^2 = 50}\\]\n\nDalej: \\(2(a-1)^2 = 50 \\implies a = 6\\) lub \\(a = -4\\), co daje:\n\n**\\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. **Długość odcinka:**\n\\[|AS| = \\sqrt{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|AS|^2 = 2(a-1)^2\\).\n\n2. **Równanie prostej kierunkowe:** \\(y = x + 1\\)\nPosłużyło do zapisania \\(S = (a, a+1)\\) i ograniczenia jednej niewiadomej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)**\n\nTwierdzenie Pitagorasa: \\(|AB|^2 + |SB|^2 = |AS|^2\\) - użyte w Sposobie 1 do wyrażenia \\(|AB|\\) przez \\(|AS|\\).\n\nWłasność wysokości w trójkącie prostokątnym (rzut na przeciwprostokątną): \\(|SM| = \\dfrac{|SB|^2}{|AS|}\\) - użyte w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czworokąt to \\(ABSC\\), nie \\(ABCS\\) - kolejność wierzchołków determinuje, które boki i przekątne wyznaczamy. Przekątne to \\(AS\\) i \\(BC\\), nie \\(AB\\) i \\(SC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z punktu zewnętrznego poprowadzono **dwie** styczne, więc \\(|AB| = |AC|\\) - to automatyczna własność stycznych, nie dodatkowe założenie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((a-1)^2 = 25\\) daje **dwa** rozwiązania: \\(a=6\\) i \\(a=-4\\). Zadanie explicite wymaga rozważenia wszystkich przypadków - żadnego nie wolno pominąć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź warunek \\(|AS| > r\\) (punkt \\(A\\) musi leżeć **poza** okręgiem, żeby styczne w ogóle istniały). Tu \\(|AS| = \\sqrt{50} > \\sqrt{5}\\), więc oba wyniki są poprawne.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)**\n\n### Sposób 1\n\nPromienie \\(BS\\) oraz \\(CS\\) okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych - odpowiednio - \\(AB\\) i \\(AC\\), więc trójkąty \\(ABS\\) oraz \\(ACS\\) są prostokątne (kąt prosty przy \\(B\\) i przy \\(C\\)). Ponadto odcinki \\(AB\\) oraz \\(AC\\) mają równe długości (odcinki stycznych z tego samego punktu zewnętrznego), więc trójkąty te są przystające (na podstawie cechy bok-bok-bok). Oznaczmy \\(m = |AB| = |AC|\\).\n\nPole czworokąta \\(ABSC\\) jest sumą pól trójkątów przystających \\(ABS\\) oraz \\(ACS\\):\n\\[P_{ABSC} = P_{ABS} + P_{ACS} = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5} = m \\cdot \\sqrt{5}\\]\n\nZ warunku \\(P_{ABSC} = 15\\):\n\\[15 = m \\cdot \\sqrt{5}\\]\n\\[m = \\dfrac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta \\(ABS\\):\n\\[|AS|^{2} = |AB|^{2} + |BS|^{2} = (3\\sqrt{5})^{2} + (\\sqrt{5})^{2} = 45 + 5 = 50\\]\n\nNiech \\(x_S\\) będzie pierwszą współrzędną punktu \\(S\\). Punkt \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), więc \\(S = (x_S, x_S + 1)\\). Wtedy:\n\\[(x_S - 1)^{2} + (x_S + 1 - 2)^{2} = 50\\]\n\\[(x_S - 1)^{2} + (x_S - 1)^{2} = 50\\]\n\\[2(x_S - 1)^{2} = 50\\]\n\\[(x_S - 1)^{2} = 25\\]\n\\[|x_S - 1| = 5\\]\n\\[x_S = 6 \\quad \\lor \\quad x_S = -4\\]\n\nZatem \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\).\n\nSprawdzamy warunek \\(|AS| > \\sqrt{5}\\): dla obu rozwiązań \\(|AS| = \\sqrt{50} > \\sqrt{5}\\) ✓.\n\n### Sposób 2\n\nPowtarzamy kroki obliczenia \\(m = 3\\sqrt{5}\\). Każda prosta przechodząca przez punkt \\(A = (1, 2)\\), poza prostą równoległą do osi \\(Oy\\), ma równanie postaci \\(y = a(x - 1) + 2\\).\n\nTangens kąta \\(\\alpha\\), jaki tworzy każda ze stycznych \\(AB\\) oraz \\(AC\\) z prostą \\(y = x + 1\\), jest równy:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{m} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{1}{3}\\]\n\nZe wzoru na tangens kąta między prostymi \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\left|\\dfrac{a - 1}{1 + a \\cdot 1}\\right| = \\left|\\dfrac{a - 1}{a + 1}\\right|\\):\n\\[\\dfrac{1}{3} = \\left|\\dfrac{a - 1}{a + 1}\\right|\\]\n\\[a + 1 = 3(a - 1) \\quad \\lor \\quad a + 1 = -3(a - 1)\\]\n\\[a = 2 \\quad \\lor \\quad a = \\dfrac{1}{2}\\]\n\nZatem styczne \\(AB\\) oraz \\(AC\\) mają równania \\(y = 2(x - 1) + 2\\) oraz \\(y = \\dfrac{1}{2}(x - 1) + 2\\), czyli \\(2x - y = 0\\) oraz \\(x - 2y + 3 = 0\\).\n\nOdległość punktu \\(S = (x_S, x_S + 1)\\) od każdej ze stycznych \\(AB\\) i \\(AC\\) jest równa \\(\\sqrt{5}\\). Dla stycznej \\(2x - y = 0\\):\n\\[\\dfrac{|2x_S - (x_S + 1)|}{\\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \\sqrt{5}\\]\n\\[\\dfrac{|x_S - 1|}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]\n\\[|x_S - 1| = 5\\]\n\\[x_S = 6 \\quad \\lor \\quad x_S = -4\\]\n\nIstnieją dwa punkty spełniające warunki zadania: \\(S = (6, 7)\\) oraz \\(S = (-4, -3)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \\(S = (6, 7)\\) oraz \\(S = (-4, -3)\\).\n4 pkt - obliczenie obydwu wartości \\(x_S\\): \\(6\\) oraz \\((-4)\\) ALBO obliczenie obydwu współrzędnych punktu \\(S\\) tylko dla jednego przypadku.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \\(S\\)), np. \\((x_S - 1)^{2} + (x_S + 1 - 2)^{2} = 50\\).\n2 pkt - obliczenie długości \\(m\\) odcinka \\(AB\\) (lub \\(AC\\) stycznej): \\(3\\sqrt{5}\\) ALBO obliczenie długości odcinka \\(AS\\): \\(|AS| = 5\\sqrt{2}\\).\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu \\(S\\) w zależności od jednej zmiennej, np. \\(S = (x, x + 1)\\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \\(m\\) odcinka \\(AB\\) stycznej), np. \\(15 = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5}\\).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**Uwagi:**\n1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \\(\\dfrac{1}{2}\\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \\(S\\), to może otrzymać co najwyżej **4 punkty** za całe rozwiązanie.\n\n**Trik:** W zadaniach o dwóch stycznych z punktu zewnętrznego używaj symetrii (odcinki styczne są równe). Czworokąt \\(ABSC\\) jest deltoidem, pole: \\(P = m \\cdot r\\) gdzie \\(m\\) to długość stycznej, \\(r\\) promień okręgu.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Środek \\(S\\) okręgu o promieniu \\(\\sqrt{5}\\) leży na prostej o równaniu \\(y = x + 1\\). Przez punkt \\(A = (1, 2)\\), którego odległość od punktu \\(S\\) jest większa od \\(\\sqrt{5}\\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \\(B\\) i \\(C\\). Pole czworokąta \\(ABSC\\) jest równe \\(15\\).

\n

Oblicz współrzędne punktu \\(S\\). Rozważ wszystkie przypadki.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(S = (6,\\, 7)\\) lub \\(S = (-4,\\, -3)\\)

\n

Sposób 1 - Podział czworokąta na dwa trójkąty prostokątne

\n

Krok 1: Parametryzacja środka okręgu.

\n

Ponieważ \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), przyjmijmy \\(S = (a,\\, a+1)\\) dla pewnego \\(a \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Krok 2: Kąty przy punktach stycznych są proste.

\n

Prosta styczna do okręgu w punkcie \\(B\\) jest prostopadła do promienia \\(SB\\), więc \\(\\angle ABS = 90°\\). Analogicznie \\(\\angle ACS = 90°\\).

\n

Krok 3: Pole czworokąta \\(ABSC\\).

\n

Dzielimy przekątną \\(AS\\) czworokąt na dwa trójkąty prostokątne:
\\[\\text{Pole}(ABSC) = \\text{Pole}(\\triangle ABS) + \\text{Pole}(\\triangle ACS) = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |SB|\\]

\n

Odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe: \\(|AB| = |AC|\\). Zatem:
\\[\\text{Pole}(ABSC) = |AB| \\cdot \\sqrt{5}\\]

\n

Krok 4: Wyrazić \\(|AB|\\) przez \\(|AS|\\).

\n

Z twierdzenia Pitagorasa w \\(\\triangle ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\), przeciwprostokątna \\(AS\\)):
\\[|AB|^2 = |AS|^2 - |SB|^2 = |AS|^2 - 5\\]

\n

Krok 5: Równanie z warunku na pole.

\n

\\[\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{|AS|^2 - 5} = 15\\]
\\[\\sqrt{|AS|^2 - 5} = \\frac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]
\\[|AS|^2 - 5 = 45 \\implies \\mathbf{|AS|^2 = 50}\\]

\n

Krok 6: Obliczenie \\(|AS|^2\\) ze współrzędnych.

\n

\\[|AS|^2 = (a - 1)^2 + (a+1-2)^2 = (a-1)^2 + (a-1)^2 = 2(a-1)^2\\]

\n

Równanie:
\\[2(a-1)^2 = 50 \\implies (a-1)^2 = 25 \\implies a - 1 = \\pm 5\\]

\n\n

Sprawdzenie warunku \\(|AS| > \\sqrt{5}\\): \\(\\;|AS| = \\sqrt{50} \\gg \\sqrt{5}\\) ✓ - oba rozwiązania spełniają warunek.

\n

Odpowiedź: \\(\\boldsymbol{S = (6,\\, 7)}\\) lub \\(\\boldsymbol{S = (-4,\\, -3)}\\)

\n

Sposób 2 - ABSC jako deltoid; wzór na pole przez przekątne

\n

Krok 1: ABSC jest deltoildem (latawcem).

\n

Ponieważ:

\n\n

czworokąt \\(ABSC\\) ma dwie pary sąsiednich równych boków (przy wierzchołku \\(A\\) mamy \\(|AB|=|AC|\\), przy wierzchołku \\(S\\) mamy \\(|SB|=|SC|\\)), czyli jest deltoildem.

\n

Krok 2: Przekątne deltoidu są prostopadłe.

\n

Przekątne \\(ABSC\\) to \\(AS\\) i \\(BC\\). Własnością deltoidu jest \\(AS \\perp BC\\). Niech \\(M\\) = punkt przecięcia przekątnych.

\n

\\[\\text{Pole}(ABSC) = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BC|\\]

\n

Krok 3: Wyznaczyć \\(|BC|\\) przez \\(|AS|\\).

\n

Ponieważ \\(SM \\perp BC\\), odcinek \\(SM\\) jest prostopadły do cięciwy \\(BC\\). Z własności rzutu wysokości na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym \\(ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):
\\[|SM| = \\frac{|SB|^2}{|AS|} = \\frac{5}{|AS|}\\]

\n

Połowa cięciwy:
\\[|BM|^2 = |SB|^2 - |SM|^2 = 5 - \\frac{25}{|AS|^2}\\]

\n

\\[|BC| = 2|BM| = 2\\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}}\\]

\n

Krok 4: Równanie z warunku na pole.

\n

\\[\\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot 2\\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}} = 15\\]
\\[|AS| \\cdot \\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}} = 15\\]
\\[\\sqrt{5|AS|^2 - 25} = 15\\]
\\[5|AS|^2 - 25 = 225 \\implies \\mathbf{|AS|^2 = 50}\\]

\n

Dalej: \\(2(a-1)^2 = 50 \\implies a = 6\\) lub \\(a = -4\\), co daje:

\n

\\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n
  1. Długość odcinka:
\n

\\[|AS| = \\sqrt{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2}\\]
Użyliśmy do obliczenia \\(|AS|^2 = 2(a-1)^2\\).

\n
  1. Równanie prostej kierunkowe: \\(y = x + 1\\)
\n

Posłużyło do zapisania \\(S = (a, a+1)\\) i ograniczenia jednej niewiadomej.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)

\n

Twierdzenie Pitagorasa: \\(|AB|^2 + |SB|^2 = |AS|^2\\) - użyte w Sposobie 1 do wyrażenia \\(|AB|\\) przez \\(|AS|\\).

\n

Własność wysokości w trójkącie prostokątnym (rzut na przeciwprostokątną): \\(|SM| = \\dfrac{|SB|^2}{|AS|}\\) - użyte w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Czworokąt to \\(ABSC\\), nie \\(ABCS\\) - kolejność wierzchołków determinuje, które boki i przekątne wyznaczamy. Przekątne to \\(AS\\) i \\(BC\\), nie \\(AB\\) i \\(SC\\).
\n
⚠️ Uwaga: Z punktu zewnętrznego poprowadzono dwie styczne, więc \\(|AB| = |AC|\\) - to automatyczna własność stycznych, nie dodatkowe założenie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\((a-1)^2 = 25\\) daje dwa rozwiązania: \\(a=6\\) i \\(a=-4\\). Zadanie explicite wymaga rozważenia wszystkich przypadków - żadnego nie wolno pominąć!
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź warunek \\(|AS| > r\\) (punkt \\(A\\) musi leżeć poza okręgiem, żeby styczne w ogóle istniały). Tu \\(|AS| = \\sqrt{50} > \\sqrt{5}\\), więc oba wyniki są poprawne.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)

\n
Sposób 1
\n

Promienie \\(BS\\) oraz \\(CS\\) okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych - odpowiednio - \\(AB\\) i \\(AC\\), więc trójkąty \\(ABS\\) oraz \\(ACS\\) są prostokątne (kąt prosty przy \\(B\\) i przy \\(C\\)). Ponadto odcinki \\(AB\\) oraz \\(AC\\) mają równe długości (odcinki stycznych z tego samego punktu zewnętrznego), więc trójkąty te są przystające (na podstawie cechy bok-bok-bok). Oznaczmy \\(m = |AB| = |AC|\\).

\n

Pole czworokąta \\(ABSC\\) jest sumą pól trójkątów przystających \\(ABS\\) oraz \\(ACS\\):
\\[P_{ABSC} = P_{ABS} + P_{ACS} = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5} = m \\cdot \\sqrt{5}\\]

\n

Z warunku \\(P_{ABSC} = 15\\):
\\[15 = m \\cdot \\sqrt{5}\\]
\\[m = \\dfrac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]

\n

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta \\(ABS\\):
\\[|AS|^{2} = |AB|^{2} + |BS|^{2} = (3\\sqrt{5})^{2} + (\\sqrt{5})^{2} = 45 + 5 = 50\\]

\n

Niech \\(x_S\\) będzie pierwszą współrzędną punktu \\(S\\). Punkt \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), więc \\(S = (x_S, x_S + 1)\\). Wtedy:
\\[(x_S - 1)^{2} + (x_S + 1 - 2)^{2} = 50\\]
\\[(x_S - 1)^{2} + (x_S - 1)^{2} = 50\\]
\\[2(x_S - 1)^{2} = 50\\]
\\[(x_S - 1)^{2} = 25\\]
\\[|x_S - 1| = 5\\]
\\[x_S = 6 \\quad \\lor \\quad x_S = -4\\]

\n

Zatem \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\).

\n

Sprawdzamy warunek \\(|AS| > \\sqrt{5}\\): dla obu rozwiązań \\(|AS| = \\sqrt{50} > \\sqrt{5}\\) ✓.

\n
Sposób 2
\n

Powtarzamy kroki obliczenia \\(m = 3\\sqrt{5}\\). Każda prosta przechodząca przez punkt \\(A = (1, 2)\\), poza prostą równoległą do osi \\(Oy\\), ma równanie postaci \\(y = a(x - 1) + 2\\).

\n

Tangens kąta \\(\\alpha\\), jaki tworzy każda ze stycznych \\(AB\\) oraz \\(AC\\) z prostą \\(y = x + 1\\), jest równy:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{m} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{1}{3}\\]

\n

Ze wzoru na tangens kąta między prostymi \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\left|\\dfrac{a - 1}{1 + a \\cdot 1}\\right| = \\left|\\dfrac{a - 1}{a + 1}\\right|\\):
\\[\\dfrac{1}{3} = \\left|\\dfrac{a - 1}{a + 1}\\right|\\]
\\[a + 1 = 3(a - 1) \\quad \\lor \\quad a + 1 = -3(a - 1)\\]
\\[a = 2 \\quad \\lor \\quad a = \\dfrac{1}{2}\\]

\n

Zatem styczne \\(AB\\) oraz \\(AC\\) mają równania \\(y = 2(x - 1) + 2\\) oraz \\(y = \\dfrac{1}{2}(x - 1) + 2\\), czyli \\(2x - y = 0\\) oraz \\(x - 2y + 3 = 0\\).

\n

Odległość punktu \\(S = (x_S, x_S + 1)\\) od każdej ze stycznych \\(AB\\) i \\(AC\\) jest równa \\(\\sqrt{5}\\). Dla stycznej \\(2x - y = 0\\):
\\[\\dfrac{|2x_S - (x_S + 1)|}{\\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \\sqrt{5}\\]
\\[\\dfrac{|x_S - 1|}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]
\\[|x_S - 1| = 5\\]
\\[x_S = 6 \\quad \\lor \\quad x_S = -4\\]

\n

Istnieją dwa punkty spełniające warunki zadania: \\(S = (6, 7)\\) oraz \\(S = (-4, -3)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n

5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \\(S = (6, 7)\\) oraz \\(S = (-4, -3)\\).
4 pkt - obliczenie obydwu wartości \\(x_S\\): \\(6\\) oraz \\((-4)\\) ALBO obliczenie obydwu współrzędnych punktu \\(S\\) tylko dla jednego przypadku.
3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \\(S\\)), np. \\((x_S - 1)^{2} + (x_S + 1 - 2)^{2} = 50\\).
2 pkt - obliczenie długości \\(m\\) odcinka \\(AB\\) (lub \\(AC\\) stycznej): \\(3\\sqrt{5}\\) ALBO obliczenie długości odcinka \\(AS\\): \\(|AS| = 5\\sqrt{2}\\).
1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu \\(S\\) w zależności od jednej zmiennej, np. \\(S = (x, x + 1)\\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \\(m\\) odcinka \\(AB\\) stycznej), np. \\(15 = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5}\\).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

\n

Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \\(\\dfrac{1}{2}\\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.
  2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \\(S\\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
\n

Trik: W zadaniach o dwóch stycznych z punktu zewnętrznego używaj symetrii (odcinki styczne są równe). Czworokąt \\(ABSC\\) jest deltoidem, pole: \\(P = m \\cdot r\\) gdzie \\(m\\) to długość stycznej, \\(r\\) promień okręgu.

"}]}