Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \\(f(x) \\geq 0\\) jest przedział
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Z rysunku bezpośrednio odczytujemy:
\nNierówność \\(f(x) \\geq 0\\) oznacza: dla których \\(x\\) wykres leży powyżej lub na osi \\(Ox\\)?
\nParabola otwarta w dół jest:
\nZatem \\(f(x) \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 4 \\rangle\\).
\nOdpowiedź: \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\)
\nKrok 1: Wyznaczamy wzór funkcji.
\nZnamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), więc stosujemy postać iloczynową:
\\[f(x) = a(x - (-2))(x - 4) = a(x + 2)(x - 4)\\]
Krok 2: Wyznaczamy współczynnik \\(a\\).
\nZ rysunku wiemy, że parabola przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 8)\\), czyli \\(f(0) = 8\\):
\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]
\\[a = -1\\]
Zatem:
\\[f(x) = -(x + 2)(x - 4)\\]
Weryfikacja wierzchołka: \\(p = \\frac{-2 + 4}{2} = 1\\), \\(f(1) = -(3)(-3) = 9\\) ✓ - zgadza się z opisem rysunku.
\nKrok 3: Rozwiązujemy nierówność \\(f(x) \\geq 0\\).
\n\\[-(x + 2)(x - 4) \\geq 0\\]
\nMnożymy obie strony przez \\((-1)\\) i odwracamy znak:
\\[(x + 2)(x - 4) \\leq 0\\]
Iloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\), gdy mają różne znaki (lub jeden jest zerem). Analizujemy znaki:
\n| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(x - 4\\) | Iloczyn |
| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-2 \\leq x \\leq 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |
| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
Iloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 4 \\rangle\\).
\nOdpowiedź: \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\)
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do zapisania wzoru funkcji przez jej miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).
Wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Skorzystaliśmy przy weryfikacji - środek odcinka między zerami: \\(p = \\frac{-2+4}{2} = 1\\).
⚠️ Uwaga: Parabola otwarta w dół - nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) daje przedział między zerami, nie na zewnątrz. Przy paraboli otwartej w górę byłoby odwrotnie!\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziału \\(-2\\) i \\(4\\) należą do zbioru rozwiązań (bo \\(f(-2) = 0\\) i \\(f(4) = 0\\), a warunek to \\(\\geq 0\\)). Przedział jest domknięty: \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\), nie otwarty \\((-2, 4)\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną (jak \\(-1\\) w Sposobie 2) zawsze odwracamy znak nierówności. Pominięcie tego kroku to jeden z najczęstszych błędów!\n
Poprawna odpowiedź: \\([-2, 4]\\)
\n\\(f(x) \\geq 0\\) oznacza, że wykres znajduje się NA lub POWYŻEJ osi \\(OX\\). Z rysunku parabola przecina oś \\(OX\\) w punktach \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\). Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc między tymi punktami \\(f(x) \\geq 0\\).
Zbiór rozwiązań: \\([-2, 4]\\) (końce domknięte bo \\(f(-2) = f(4) = 0\\) spełnia \\(\\geq 0\\)).
Z wykresu: wierzchołek \\((1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x_{1} = -2\\), \\(x_{2} = 4\\). Wzór: \\(f(x) = -(x+2)(x-4)\\). Rozwiązujemy \\(-(x+2)(x-4) \\geq 0\\), czyli \\((x+2)(x-4) \\leq 0\\). Stąd \\(x \\in [-2, 4]\\).
\nTrik: Dla paraboli otwartej do dołu z miejscami zerowymi \\(x_{1}, x_{2}\\) (z \\(x_{1} < x_{2}\\)): \\(f \\geq 0\\) na \\([x_{1}, x_{2}]\\); \\(f \\leq 0\\) na zewnątrz.
\nPoprawna odpowiedź: B
\nW zadaniu mamy nierówność \\(f(x) \\geq 0\\). To oznacza, że \\(f(x)\\) musi być większa lub równa zero. Wartość bezwzględna jest zbiorem wszystkich liczb, które są równe jej wartości bezwzględnej lub większe od niej. Zatem, jeśli \\(f(x) \\geq 0\\), to \\(x\\) musi należeć do przedziału, w którym \\(f(x)\\) jest nieujemne lub równe zero. Ponieważ nie znamy definicji funkcji \\(f(x)\\), nie możemy określić konkretnego przedziału. Jednakże, w kontekście nierówności z wartością bezwzględną, przedział ten musi obejmować wszystkie wartości, dla których \\(f(x) \\geq 0\\). Zatem, odpowiedź to przedział, który zawiera wszystkie takie wartości. W tym przypadku, odpowiedź B jest najbardziej ogólną i poprawną odpowiedzią.
\n\\[f(x) \\geq 0\\] oznacza, że \\(x\\) należy do przedziału, w którym \\(f(x)\\) jest nieujemne lub równe zero.
\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 20 (Wartość bezwzględna)
\nNierówność \\(|x-a| \\leq b\\) oznacza, że \\(x\\) należy do przedziału \\[a-b, a+b]. W naszym przypadku mamy \\(f(x) \\geq 0\\), co oznacza, że \\(f(x)\\) może być równe zero lub dodatnie. Zatem, przedział, w którym \\(f(x)\\) jest nieujemny lub równy zero, powinien być jak najszerszy, aby uwzględnić wszystkie możliwe wartości \\(x\\). Ponieważ nie mamy więcej informacji o funkcji \\(f(x)\\), najbardziej odpowiednią odpowiedzią jest przedział, który zawiera wszystkie takie wartości.
\n\\[|x-a| \\leq b\\] oznacza, że \\(x\\) należy do przedziału \\[a-b, a+b].
\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 20 (Wartość bezwzględna)
\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględniają, że nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) oznacza, że \\(f(x)\\) może być równa zero lub dodatnia. Odpowiedź B jest poprawna, ponieważ jest to najbardziej ogólny i prawidłowy sposób interpretacji nierówności z wartością bezwzględną.
"}]}