{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nFunkcja kwadratowa \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) jest określona wzorem\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_2.png\n\nna stronie 20) jest określona wzorem\n\nA. \\(f(x) = -(x+1)^{2} - 9\\)\nB. \\(f(x) = -(x-1)^{2} + 9\\)\nC. \\(f(x) = -(x-1)^{2} - 9\\)\nD. \\(f(x) = -(x+1)^{2} + 9\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nNa podstawie rysunku odczytujemy: parabola skierowana ramionami w dół, wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), przekrój z osią \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 8)\\).\n\nOdpowiedź B: \\(f(x) = -x^2 + 2x + 8\\)\n\n## Sposób 1 - postać iloczynowa (z miejsc zerowych)\n\nSkoro parabola przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\), zapisujemy wzór w **postaci iloczynowej**:\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\nParabola jest skierowana **ramionami w dół**, więc wiemy, że \\(a < 0\\) - ale wyznaczymy dokładną wartość ze znanych punktów.\n\n**Wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\)** (parabola przechodzi przez \\((0, 8)\\)):\n\n\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]\n\n\\[a = -1\\]\n\n**Rozwijamy do postaci ogólnej:**\n\n\\[f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -(x^2 - 4x + 2x - 8) = -(x^2 - 2x - 8)\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 2x + 8}\\]\n\n**Sprawdzenie wierzchołka:**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-1)} = 1 \\checkmark\\]\n\\[f(1) = -1 + 2 + 8 = 9 \\checkmark\\]\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna (z wierzchołka)\n\nZ rysunku odczytujemy wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), więc zapisujemy **postać kanoniczną**:\n\n\\[f(x) = a(x - 1)^2 + 9\\]\n\nWyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\n\\[f(0) = a(0 - 1)^2 + 9 = a \\cdot 1 + 9 = a + 9 = 8\\]\n\n\\[a = -1\\]\n\nRozwijamy:\n\n\\[f(x) = -(x - 1)^2 + 9 = -(x^2 - 2x + 1) + 9 = -x^2 + 2x - 1 + 9\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 2x + 8}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź B potwierdzona dwiema metodami**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać iloczynowa (Sposób 1):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta do zapisania wzoru z miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).\n\nPostać kanoniczna (Sposób 2):\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\nUżyta do zapisania wzoru z wierzchołka \\(W = (1, 9)\\).\n\nWzór na współrzędną \\(x\\) wierzchołka (weryfikacja):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Wzięto \\(a = +1\\) zamiast \\(a = -1\\) - uczeń nie zauważył, że parabola jest skierowana ramionami **w dół**, lub pomylił znak przy wyznaczaniu \\(a\\) |\n| C | Wpisano postać kanoniczną \\(f(x) = -(x-1)^2 + 9\\) jako odpowiedź - to poprawny wzór pośredni, ale **nie jest rozwinięty** do postaci ogólnej; zadanie pyta o konkretną postać wzoru |\n| D | Błędnie odczytano miejsca zerowe z wykresu (np. przyjęto \\(x_1 = 2\\) zamiast \\(x_1 = -2\\)) albo pomylono wierzchołek z przecięciem osi \\(Oy\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana **w dół** → \\(a < 0\\). Jeśli w postaci iloczynowej po podstawieniu wychodzi \\(a > 0\\) - to sygnał błędu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\) uważaj na kolejność: \\((0+2)(0-4) = 2 \\cdot (-4) = -8\\), a nie \\(+8\\). Tutaj łatwo o błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać kanoniczna \\(-(x-1)^2 + 9\\) i postać ogólna \\(-x^2 + 2x + 8\\) to **ten sam wzór** - zapisany inaczej. Na egzaminie sprawdź, jakiej formy wymaga zadanie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (postać kanoniczna)\nZ rysunku wierzchołek paraboli: \\(W = (1, 9)\\). Parabola skierowana ramionami w dół: \\(a < 0\\).\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^{2} + q = a(x - 1)^{2} + 9\\).\nPunkt \\((4, 0)\\) (miejsce zerowe) - podstawiamy: \\(0 = a(4-1)^{2} + 9 = 9a + 9\\), stąd \\(a = -1\\).\nZatem \\(f(x) = -(x - 1)^{2} + 9\\).\n\n### Sposób 2 (odczyt z rysunku - postać iloczynowa → kanoniczna)\nMiejsca zerowe \\(x_{1} = -2\\), \\(x_{2} = 4\\). Wzór iloczynowy: \\(f(x) = a(x+2)(x-4)\\). Wierzchołek ma \\(x_{W} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1\\), \\(y_{W} = 9\\) daje \\(a = -1\\). Potem przekształcenie daje postać B.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A: znak \"\\(+1\\)\" przy \\(x\\) (wierzchołek błędny \\(x = -1\\)) i \\(-9\\) (wierzchołek \\(y = -9\\)).\n- C: \\(x - 1\\) poprawne, ale \\(-9\\) zamiast \\(+9\\).\n- D: \"\\(+1\\)\" błędne (wierzchołek \\(x = -1\\)).\n\n**Trik:** Postać kanoniczna: \\(a(x - p)^{2} + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\). Zwróć uwagę na znaki: wierzchołek \\((1, 9)\\) daje \\((x-1)^{2}+9\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\n1. **Zrozumienie wzoru:** Wzór funkcji kwadratowej to \\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\), gdzie \\(x_1\\) i \\(x_2\\) to pierwiastki równania \\(f(x) = 0\\). W zadaniu mamy \\(f(x) = -(x+1)^2\\).\n2. **Przekształcenie:** Możemy zapisać \\(f(x) = -(x+1)(x+1)\\). Zauważ, że \\(x+1\\) jest w kwadracie, więc możemy to zapisać jako \\(f(x) = -(x - (-1))^2\\).\n3. **Porównanie:** Spójrzmy na podane odpowiedzi. Odpowiedź B \\(f(x) = -(x-1)^2\\) jest najbliższa, ponieważ \\(x-1 = -(x+1)\\). Zatem \\(f(x) = -((x-1))^2 = -(x-1)^2\\)\n\n📖 Karta wzorów: **Silnia n!=1·2 n, (a^r)^s=a^(rs)** strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na kwadrat różnicy\n1. **Wzór na kwadrat różnicy:** \\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\)\n2. **Zastosowanie wzoru:** W naszym przypadku \\(f(x) = -(x+1)^2\\). Możemy to zapisać jako \\(f(x) = - (x+1)^2\\).\n3. **Przekształcenie:** Aby uzyskać formę \\(f(x) = -(x-x_2)^2\\), musimy \\(x_2 = -1\\). Zatem \\(f(x) = -(x - (-1))^2 = -(x+1)^2\\). Porównując z podanymi odpowiedziami, widzimy, że odpowiedź B jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²** strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(f(x) = -(x+ 1)^{2} -9\\):** Ta odpowiedź zawiera dodatkowy składnik \\(-9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Funkcja kwadratowa nie ma wyrazu wolnego.\n* **C. \\(f(x) = -(x-1)^{2} -9\\):** Ta odpowiedź również zawiera dodatkowy składnik \\(-9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Ponadto, pierwiastek kwadratowy jest niepotrzebny.\n* **D. \\(f(x) = -(x+ 1)^{2} + 9\\):** Ta odpowiedź również zawiera dodatkowy składnik \\(+9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Ponadto, pierwiastek kwadratowy jest niepotrzebny. Ponadto, funkcja kwadratowa nie ma wyrazu wolnego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.</p>\n<p>Funkcja kwadratowa \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) jest określona wzorem</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_2.png</p>\n<p>na stronie 20) jest określona wzorem</p>\n<p>A. \\(f(x) = -(x+1)^{2} - 9\\)<br>B. \\(f(x) = -(x-1)^{2} + 9\\)<br>C. \\(f(x) = -(x-1)^{2} - 9\\)<br>D. \\(f(x) = -(x+1)^{2} + 9\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Na podstawie rysunku odczytujemy: parabola skierowana ramionami w dół, wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), przekrój z osią \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 8)\\).</p>\n<p>Odpowiedź B: \\(f(x) = -x^2 + 2x + 8\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - postać iloczynowa (z miejsc zerowych)</h4>\n<p>Skoro parabola przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\), zapisujemy wzór w <strong>postaci iloczynowej</strong>:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 4)\\]</p>\n<p>Parabola jest skierowana <strong>ramionami w dół</strong>, więc wiemy, że \\(a &lt; 0\\) - ale wyznaczymy dokładną wartość ze znanych punktów.</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\)</strong> (parabola przechodzi przez \\((0, 8)\\)):</p>\n<p>\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]</p>\n<p>\\[a = -1\\]</p>\n<p><strong>Rozwijamy do postaci ogólnej:</strong></p>\n<p>\\[f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -(x^2 - 4x + 2x - 8) = -(x^2 - 2x - 8)\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 2x + 8}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie wierzchołka:</strong><br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-1)} = 1 \\checkmark\\]<br>\\[f(1) = -1 + 2 + 8 = 9 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - postać kanoniczna (z wierzchołka)</h4>\n<p>Z rysunku odczytujemy wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), więc zapisujemy <strong>postać kanoniczną</strong>:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - 1)^2 + 9\\]</p>\n<p>Wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):</p>\n<p>\\[f(0) = a(0 - 1)^2 + 9 = a \\cdot 1 + 9 = a + 9 = 8\\]</p>\n<p>\\[a = -1\\]</p>\n<p>Rozwijamy:</p>\n<p>\\[f(x) = -(x - 1)^2 + 9 = -(x^2 - 2x + 1) + 9 = -x^2 + 2x - 1 + 9\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 2x + 8}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>odpowiedź B potwierdzona dwiema metodami</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong></p>\n<p>Postać iloczynowa (Sposób 1):<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Użyta do zapisania wzoru z miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).</p>\n<p>Postać kanoniczna (Sposób 2):<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]<br>Użyta do zapisania wzoru z wierzchołka \\(W = (1, 9)\\).</p>\n<p>Wzór na współrzędną \\(x\\) wierzchołka (weryfikacja):<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odpowiedź | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Wzięto \\(a = +1\\) zamiast \\(a = -1\\) - uczeń nie zauważył, że parabola jest skierowana ramionami <strong>w dół</strong>, lub pomylił znak przy wyznaczaniu \\(a\\) |<br>| C | Wpisano postać kanoniczną \\(f(x) = -(x-1)^2 + 9\\) jako odpowiedź - to poprawny wzór pośredni, ale <strong>nie jest rozwinięty</strong> do postaci ogólnej; zadanie pyta o konkretną postać wzoru |<br>| D | Błędnie odczytano miejsca zerowe z wykresu (np. przyjęto \\(x_1 = 2\\) zamiast \\(x_1 = -2\\)) albo pomylono wierzchołek z przecięciem osi \\(Oy\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parabola skierowana <strong>w dół</strong> → \\(a &lt; 0\\). Jeśli w postaci iloczynowej po podstawieniu wychodzi \\(a &gt; 0\\) - to sygnał błędu!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\) uważaj na kolejność: \\((0+2)(0-4) = 2 \\cdot (-4) = -8\\), a nie \\(+8\\). Tutaj łatwo o błąd znaku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Postać kanoniczna \\(-(x-1)^2 + 9\\) i postać ogólna \\(-x^2 + 2x + 8\\) to <strong>ten sam wzór</strong> - zapisany inaczej. Na egzaminie sprawdź, jakiej formy wymaga zadanie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (postać kanoniczna)</h5>\n<p>Z rysunku wierzchołek paraboli: \\(W = (1, 9)\\). Parabola skierowana ramionami w dół: \\(a &lt; 0\\).<br>Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^{2} + q = a(x - 1)^{2} + 9\\).<br>Punkt \\((4, 0)\\) (miejsce zerowe) - podstawiamy: \\(0 = a(4-1)^{2} + 9 = 9a + 9\\), stąd \\(a = -1\\).<br>Zatem \\(f(x) = -(x - 1)^{2} + 9\\).</p>\n<h5>Sposób 2 (odczyt z rysunku - postać iloczynowa → kanoniczna)</h5>\n<p>Miejsca zerowe \\(x_{1} = -2\\), \\(x_{2} = 4\\). Wzór iloczynowy: \\(f(x) = a(x+2)(x-4)\\). Wierzchołek ma \\(x_{W} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1\\), \\(y_{W} = 9\\) daje \\(a = -1\\). Potem przekształcenie daje postać B.</p>\n<h5>Dlaczego inne błędne</h5>\n<ul><li>A: znak &quot;\\(+1\\)&quot; przy \\(x\\) (wierzchołek błędny \\(x = -1\\)) i \\(-9\\) (wierzchołek \\(y = -9\\)).</li><li>C: \\(x - 1\\) poprawne, ale \\(-9\\) zamiast \\(+9\\).</li><li>D: &quot;\\(+1\\)&quot; błędne (wierzchołek \\(x = -1\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Postać kanoniczna: \\(a(x - p)^{2} + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\). Zwróć uwagę na znaki: wierzchołek \\((1, 9)\\) daje \\((x-1)^{2}+9\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Rozkład na czynniki</h5>\n<ol><li><strong>Zrozumienie wzoru:</strong> Wzór funkcji kwadratowej to \\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\), gdzie \\(x_1\\) i \\(x_2\\) to pierwiastki równania \\(f(x) = 0\\). W zadaniu mamy \\(f(x) = -(x+1)^2\\).</li><li><strong>Przekształcenie:</strong> Możemy zapisać \\(f(x) = -(x+1)(x+1)\\). Zauważ, że \\(x+1\\) jest w kwadracie, więc możemy to zapisać jako \\(f(x) = -(x - (-1))^2\\).</li><li><strong>Porównanie:</strong> Spójrzmy na podane odpowiedzi. Odpowiedź B \\(f(x) = -(x-1)^2\\) jest najbliższa, ponieważ \\(x-1 = -(x+1)\\). Zatem \\(f(x) = -((x-1))^2 = -(x-1)^2\\)</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Silnia n!=1·2 n, (a^r)^s=a^(rs)</strong> strona 9</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie wzoru na kwadrat różnicy</h5>\n<ol><li><strong>Wzór na kwadrat różnicy:</strong> \\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\)</li><li><strong>Zastosowanie wzoru:</strong> W naszym przypadku \\(f(x) = -(x+1)^2\\). Możemy to zapisać jako \\(f(x) = - (x+1)^2\\).</li><li><strong>Przekształcenie:</strong> Aby uzyskać formę \\(f(x) = -(x-x_2)^2\\), musimy \\(x_2 = -1\\). Zatem \\(f(x) = -(x - (-1))^2 = -(x+1)^2\\). Porównując z podanymi odpowiedziami, widzimy, że odpowiedź B jest poprawna.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²</strong> strona 7</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(f(x) = -(x+ 1)^{2} -9\\):</strong> Ta odpowiedź zawiera dodatkowy składnik \\(-9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Funkcja kwadratowa nie ma wyrazu wolnego.</li><li><strong>C. \\(f(x) = -(x-1)^{2} -9\\):</strong> Ta odpowiedź również zawiera dodatkowy składnik \\(-9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Ponadto, pierwiastek kwadratowy jest niepotrzebny.</li><li><strong>D. \\(f(x) = -(x+ 1)^{2} + 9\\):</strong> Ta odpowiedź również zawiera dodatkowy składnik \\(+9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Ponadto, pierwiastek kwadratowy jest niepotrzebny. Ponadto, funkcja kwadratowa nie ma wyrazu wolnego.</li></ul>"}]}