{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14.3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nDla funkcji \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) prawdziwa jest równość\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_3.png\n\nna stronie 20) prawdziwa jest równość\n\nA. \\(f(-4) = f(6)\\)\nB. \\(f(-4) = f(5)\\)\nC. \\(f(-4) = f(4)\\)\nD. \\(f(-4) = f(7)\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nNa podstawie opisu rysunku: parabola otwarta w dół, wierzchołek \\(W=(1,9)\\), miejsca zerowe \\(x_1=-2\\) i \\(x_2=4\\), wartość \\(f(0)=8\\).\n\nOdpowiedź A jest prawdziwa - wynika bezpośrednio z osi symetrii paraboli.\n\n## Sposób 1 - Odczyt osi symetrii z wykresu\n\n**Krok 1: Ustalamy oś symetrii paraboli.**\n\nParabola ma miejsca zerowe w \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\). Oś symetrii przebiega dokładnie w połowie między nimi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 4}{2} = 1\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z symetrii.**\n\nJeśli oś symetrii to \\(x = 1\\), to dla każdego punktu \\(x\\) jego odbicie symetryczne to \\(2 - x\\), i zawsze:\n\\[f(x) = f(2 - x)\\]\n\nSprawdzamy kilka par (każda para jest równoodległa od \\(x=1\\)):\n\n| \\(x\\) | odległość od \\(x=1\\) | symetryczny | f(x) |\n| \\(0\\) | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(f(0) = f(2)\\) |\n| \\(-1\\) | \\(2\\) | \\(3\\) | \\(f(-1) = f(3)\\) |\n| \\(-2\\) | \\(3\\) | \\(4\\) | \\(f(-2) = f(4) = 0\\) |\n\n**Odpowiedź A korzysta właśnie z tej własności - jest prawdziwa.**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i sprawdzenie algebraiczne\n\n**Krok 1: Postać iloczynowa** (znamy miejsca zerowe \\(x_1=-2\\), \\(x_2=4\\) i parabolę skierowaną w dół, \\(a < 0\\)):\n\\[f(x) = a(x+2)(x-4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(a\\)** z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8 \\implies a = -1\\]\n\n**Krok 3: Wzór funkcji:**\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]\n\n**Krok 4: Sprawdzamy równość A** (np. \\(f(0) = f(2)\\)):\n\\[f(0) = -(0)^2 + 2 \\cdot 0 + 8 = 8\\]\n\\[f(2) = -(2)^2 + 2 \\cdot 2 + 8 = -4 + 4 + 8 = 8\\]\n\\[\\boxed{f(0) = f(2) = 8} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nMiejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nOś symetrii (współrzędna wierzchołka):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]\n\nUżyliśmy wzoru na oś symetrii w Sposobie 1, a postaci iloczynowej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Co naprawdę wychodzi |\n| B | Pomylono oś symetrii - uznano, że \\(f(-2) = f(2)\\) (jakby oś była w \\(x=0\\)) | \\(f(-2) = 0 \\neq f(2) = 8\\) |\n| C | Wzięto punkt niesymetryczny względem osi | np. \\(f(0) = 8 \\neq f(3) = 5\\) |\n| D | Mylnie przyjęto, że środek odcinka między \\(-2\\) a \\(0\\) to punkt symetrii | wynik niezgodny z obliczeniami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to \\(x = 1\\), **nie** \\(x = 0\\)! Łatwo o błąd, jeśli patrząc na wykres skupimy się na osi \\(Oy\\) zamiast policzyć środek między zerami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parę symetryczną do \\(x_0\\) względem osi \\(x = p\\) wyliczamy jako \\(2p - x_0\\), nie jako \\(-x_0\\). Tu: para do \\(0\\) to \\(2\\cdot1 - 0 = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(a\\) z postaci iloczynowej podstaw konkretny znany punkt (np. \\(f(0) = 8\\) z wykresu) - to pewniejsze niż próba odczytu \\(a\\) \"na oko\" z kształtu paraboli.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (symetria paraboli)\nParabola jest symetryczna względem osi przechodzącej przez wierzchołek. Oś symetrii: \\(x = 1\\).\nDwa punkty mają tę samą wartość \\(f\\), jeśli są symetryczne względem \\(x = 1\\).\nDla \\(x_{1} = -4\\): odległość od osi to \\(|{-4} - 1| = 5\\). Punkt symetryczny: \\(1 + 5 = 6\\).\nZatem \\(f(-4) = f(6)\\).\n\n### Sposób 2 (obliczenie ze wzoru)\n\\(f(x) = -(x-1)^{2} + 9\\).\n\\(f(-4) = -(-5)^{2} + 9 = -25 + 9 = -16\\).\n\\(f(6) = -(5)^{2} + 9 = -25 + 9 = -16\\). ✓\n\n### Dlaczego inne błędne\n- B \\(f(5)\\): \\(f(5) = -(4)^{2} + 9 = -7 \\neq -16\\).\n- C \\(f(4)\\): \\(f(4) = -(3)^{2} + 9 = 0 \\neq -16\\).\n- D \\(f(7)\\): \\(f(7) = -(6)^{2} + 9 = -27 \\neq -16\\).\n\n**Trik:** Dla paraboli \\(f(a) = f(b)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy średnia \\(\\dfrac{a+b}{2} = x_{W}\\). Tu \\(\\dfrac{-4+6}{2} = 1\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i własności funkcji\n\n1. **Zbadanie punktów:** Zauważmy, że funkcja f jest określona dla kilku punktów: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.\n2. **Sprawdzenie równości f(-4) = f(5):** Na wykresie (strona 20) widzimy, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest równa 0, a wartość funkcji f w punkcie x = 5 również jest równa 0.\n3. **Wniosek:** Zatem równość f(-4) = f(5) jest prawdziwa.\n\n📖 Karta wzorów: **Ciąg:** s.4, (wartość bezwzględna) strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności funkcji wartości bezwzględnych\n\n1. **Własność funkcji wartości bezwzględnych:** Funkcja wartości bezwzględnej ma własność, że wartości funkcji w punktach leżących po obu stronach zera są równe. Innymi słowy, |x| = |x| dla każdego x.\n2. **Zastosowanie do zadania:** W naszym przypadku, f(-4) to wartość funkcji w punkcie x = -4, a f(5) to wartość funkcji w punkcie x = 5. Ponieważ f jest funkcją wartości bezwzględnych, f(-4) = f(5).\n\n📖 Karta wzorów: **Potęgi:** s.4, (wartość bezwzględna) strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(f(-4) = f(6)\\):** Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 6.\n* **C. \\(f(-4) = f(4)\\):** Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 4.\n* **D. \\(f(-4) = f(7)\\):** Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 7.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.</p>\n<p>Dla funkcji \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) prawdziwa jest równość</p>\n<p>/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_3.png</p>\n<p>na stronie 20) prawdziwa jest równość</p>\n<p>A. \\(f(-4) = f(6)\\)<br>B. \\(f(-4) = f(5)\\)<br>C. \\(f(-4) = f(4)\\)<br>D. \\(f(-4) = f(7)\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Na podstawie opisu rysunku: parabola otwarta w dół, wierzchołek \\(W=(1,9)\\), miejsca zerowe \\(x_1=-2\\) i \\(x_2=4\\), wartość \\(f(0)=8\\).</p>\n<p>Odpowiedź A jest prawdziwa - wynika bezpośrednio z osi symetrii paraboli.</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt osi symetrii z wykresu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustalamy oś symetrii paraboli.</strong></p>\n<p>Parabola ma miejsca zerowe w \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\). Oś symetrii przebiega dokładnie w połowie między nimi:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 4}{2} = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Korzystamy z symetrii.</strong></p>\n<p>Jeśli oś symetrii to \\(x = 1\\), to dla każdego punktu \\(x\\) jego odbicie symetryczne to \\(2 - x\\), i zawsze:<br>\\[f(x) = f(2 - x)\\]</p>\n<p>Sprawdzamy kilka par (każda para jest równoodległa od \\(x=1\\)):</p>\n<p>| \\(x\\) | odległość od \\(x=1\\) | symetryczny | f(x) |<br>| \\(0\\) | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(f(0) = f(2)\\) |<br>| \\(-1\\) | \\(2\\) | \\(3\\) | \\(f(-1) = f(3)\\) |<br>| \\(-2\\) | \\(3\\) | \\(4\\) | \\(f(-2) = f(4) = 0\\) |</p>\n<p><strong>Odpowiedź A korzysta właśnie z tej własności - jest prawdziwa.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i sprawdzenie algebraiczne</h4>\n<p><strong>Krok 1: Postać iloczynowa</strong> (znamy miejsca zerowe \\(x_1=-2\\), \\(x_2=4\\) i parabolę skierowaną w dół, \\(a &lt; 0\\)):<br>\\[f(x) = a(x+2)(x-4)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy \\(a\\)</strong> z warunku \\(f(0) = 8\\):<br>\\[f(0) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8 \\implies a = -1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wzór funkcji:</strong><br>\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]</p>\n<p>Postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Sprawdzamy równość A</strong> (np. \\(f(0) = f(2)\\)):<br>\\[f(0) = -(0)^2 + 2 \\cdot 0 + 8 = 8\\]<br>\\[f(2) = -(2)^2 + 2 \\cdot 2 + 8 = -4 + 4 + 8 = 8\\]<br>\\[\\boxed{f(0) = f(2) = 8} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong></p>\n<p>Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:<br>\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]</p>\n<p>Oś symetrii (współrzędna wierzchołka):<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]</p>\n<p>Użyliśmy wzoru na oś symetrii w Sposobie 1, a postaci iloczynowej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd | Co naprawdę wychodzi |<br>| B | Pomylono oś symetrii - uznano, że \\(f(-2) = f(2)\\) (jakby oś była w \\(x=0\\)) | \\(f(-2) = 0 \\neq f(2) = 8\\) |<br>| C | Wzięto punkt niesymetryczny względem osi | np. \\(f(0) = 8 \\neq f(3) = 5\\) |<br>| D | Mylnie przyjęto, że środek odcinka między \\(-2\\) a \\(0\\) to punkt symetrii | wynik niezgodny z obliczeniami |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii to \\(x = 1\\), <strong>nie</strong> \\(x = 0\\)! Łatwo o błąd, jeśli patrząc na wykres skupimy się na osi \\(Oy\\) zamiast policzyć środek między zerami.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Parę symetryczną do \\(x_0\\) względem osi \\(x = p\\) wyliczamy jako \\(2p - x_0\\), nie jako \\(-x_0\\). Tu: para do \\(0\\) to \\(2\\cdot1 - 0 = 2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(a\\) z postaci iloczynowej podstaw konkretny znany punkt (np. \\(f(0) = 8\\) z wykresu) - to pewniejsze niż próba odczytu \\(a\\) &quot;na oko&quot; z kształtu paraboli.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (symetria paraboli)</h5>\n<p>Parabola jest symetryczna względem osi przechodzącej przez wierzchołek. Oś symetrii: \\(x = 1\\).<br>Dwa punkty mają tę samą wartość \\(f\\), jeśli są symetryczne względem \\(x = 1\\).<br>Dla \\(x_{1} = -4\\): odległość od osi to \\(|{-4} - 1| = 5\\). Punkt symetryczny: \\(1 + 5 = 6\\).<br>Zatem \\(f(-4) = f(6)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 (obliczenie ze wzoru)</h5>\n<p>\\(f(x) = -(x-1)^{2} + 9\\).<br>\\(f(-4) = -(-5)^{2} + 9 = -25 + 9 = -16\\).<br>\\(f(6) = -(5)^{2} + 9 = -25 + 9 = -16\\). ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne błędne</h5>\n<ul><li>B \\(f(5)\\): \\(f(5) = -(4)^{2} + 9 = -7 \\neq -16\\).</li><li>C \\(f(4)\\): \\(f(4) = -(3)^{2} + 9 = 0 \\neq -16\\).</li><li>D \\(f(7)\\): \\(f(7) = -(6)^{2} + 9 = -27 \\neq -16\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Dla paraboli \\(f(a) = f(b)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy średnia \\(\\dfrac{a+b}{2} = x_{W}\\). Tu \\(\\dfrac{-4+6}{2} = 1\\) ✓.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza wykresu i własności funkcji</h5>\n<ol><li><strong>Zbadanie punktów:</strong> Zauważmy, że funkcja f jest określona dla kilku punktów: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.</li><li><strong>Sprawdzenie równości f(-4) = f(5):</strong> Na wykresie (strona 20) widzimy, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest równa 0, a wartość funkcji f w punkcie x = 5 również jest równa 0.</li><li><strong>Wniosek:</strong> Zatem równość f(-4) = f(5) jest prawdziwa.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Ciąg:</strong> s.4, (wartość bezwzględna) strona 4</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie własności funkcji wartości bezwzględnych</h5>\n<ol><li><strong>Własność funkcji wartości bezwzględnych:</strong> Funkcja wartości bezwzględnej ma własność, że wartości funkcji w punktach leżących po obu stronach zera są równe. Innymi słowy, |x| = |x| dla każdego x.</li><li><strong>Zastosowanie do zadania:</strong> W naszym przypadku, f(-4) to wartość funkcji w punkcie x = -4, a f(5) to wartość funkcji w punkcie x = 5. Ponieważ f jest funkcją wartości bezwzględnych, f(-4) = f(5).</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: <strong>Potęgi:</strong> s.4, (wartość bezwzględna) strona 4</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(f(-4) = f(6)\\):</strong> Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 6.</li><li><strong>C. \\(f(-4) = f(4)\\):</strong> Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 4.</li><li><strong>D. \\(f(-4) = f(7)\\):</strong> Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 7.</li></ul>"}]}