Funkcje kwadratowe \\(g\\) oraz \\(h\\) są określone za pomocą funkcji \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) następująco: \\(g(x) = f(x + 3)\\), \\(h(x) = f(-x)\\).
\nNa rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\), fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji \\(g\\) oraz fragment wykresu funkcji \\(h\\).
\nUzupełnij tabelę. Każdej z funkcji \\(g\\) oraz \\(h\\) przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F.
\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_4.png
\nna stronie 20) następująco: g(x) = f(x+ 3) , h(x) = f(-x) . Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) , fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h . Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Fragment wykresu funkcji y= g(x) przedstawiono na rysunku Fragment wykresu funkcji y= h(x) przedstawiono na rysunku
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Kluczowe obserwacje:
\nMamy funkcję \\(f\\) z wykresu (parabola otwarta w dół) oraz dwie funkcje:
\\[g(x) = f(x+3), \\qquad h(x) = f(-x)\\]
Krok 1 - Co robi \\(g(x) = f(x+3)\\)?
\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(x+3\\) w argumencie funkcji oznacza przesunięcie wykresu o 3 jednostki w lewo.
\nJeśli wierzchołek \\(f\\) leży w punkcie \\((p,\\, q)\\), to wierzchołek \\(g\\) leży w:
\\[(p - 3,\\, q)\\]
Z opisu rysunków widzimy, że rysunek A pokazuje parabolę z wierzchołkiem wysuniętym wyraźnie w lewo (okolice \\((-3, 10)\\)) - to dokładnie taki efekt. g → A.
\nKrok 2 - Co robi \\(h(x) = f(-x)\\)?
\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(-x\\) oznacza odbicie wykresu względem osi \\(OY\\) (symetria osiowa).
\nJeśli wierzchołek \\(f\\) leży w \\((p,\\, q)\\), to wierzchołek \\(h\\) leży w:
\\[(-p,\\, q)\\]
Parabola zmienia swoją poziomą pozycję na lustrzaną, ale zostaje na tej samej wysokości. Rysunek E pokazuje parabolę otwartą w dół z wierzchołkiem po lewej stronie osi \\(OY\\) - to właśnie odbicie \\(f\\) względem \\(OY\\). h → E.
\nZałóżmy (na podstawie wyglądu \\(f\\)), że wierzchołek \\(f\\) leży w przybliżeniu w \\((2,\\, 9)\\).
\nDla \\(g(x) = f(x+3)\\):
\\[\\text{wierzchołek } g = (2 - 3,\\; 9) = (-1,\\; 9)\\]
Wierzchołek przeskakuje wyraźnie na lewo od osi \\(OY\\) - odpowiada rysunkowi A.
Dla \\(h(x) = f(-x)\\):
\\[\\text{wierzchołek } h = (-2,\\; 9)\\]
Wierzchołek wędruje symetrycznie na lewą stronę osi \\(OY\\) - odpowiada rysunkowi E.
Weryfikacja kształtu: Oba przekształcenia nie zmieniają ramion paraboli (parabola nadal otwarta w dół, ten sam stopień "szerokości") - szukamy więc identycznej kształtem paraboli, tylko przesuniętej lub odbitej.
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wierzchołek paraboli:
\\[W = (p,\\, q), \\quad \\text{gdzie } p = -\\frac{b}{2a},\\; q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Wiemy, że:
\nJeśli \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\) (postać kanoniczna), to:
\\[g(x) = f(x+3) = a(x+3-p)^2 + q = a\\!\\left(x - (p-3)\\right)^2 + q\\]
\\[h(x) = f(-x) = a(-x-p)^2 + q = a(x+p)^2 + q\\]
Wierzchołek \\(g\\): \\((p-3,\\, q)\\) - 3 jednostki w lewo od wierzchołka \\(f\\)
Wierzchołek \\(h\\): \\((-p,\\, q)\\) - symetrycznie względem \\(OY\\)
| Rysunek | Dlaczego nie pasuje do \\(g\\) lub \\(h\\) |
| B | Wierzchołek przesunięty w prawo - gdyby \\(g(x) = f(x-3)\\), ale mamy \\(f(x+3)\\), nie \\(f(x-3)\\) |
| C | Zbyt mały pionowy zasięg, wierzchołek za blisko środka - nie odpowiada ani przesunięciu o 3, ani odbiciu |
| D | Wierzchołek po prawej stronie \\(OY\\) - nie pasuje ani do \\(g\\) (przesuniętej w lewo), ani do \\(h\\) (odbitej) |
| F | Wierzchołek daleko po prawej - klasyczny błąd: mycie się \\(f(x+3)\\) z \\(f(x-3)\\), gdzie przesunięcie byłoby w prawo |
⚠️ Uwaga: Przy \\(f(x+3)\\) uczniowie często mylą kierunek przesunięcia - dodajemy 3 do argumentu, więc przesuwamy w lewo (nie w prawo!). Intuicja "plus = prawo" jest błędna dla przesunięć wewnątrz argumentu.\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(f(-x)\\) oś symetrii odbicia to \\(OY\\), a nie \\(OX\\). Nie odwracamy paraboli "do góry nogami" - tylko poziomo ją lustrzujemy. Parabola otwarta w dół pozostaje otwarta w dół.\n
⚠️ Uwaga: Oba przekształcenia (\\(f(x+3)\\) i \\(f(-x)\\)) zachowują kształt i szerokość paraboli - szukamy więc rysunków identycznie wyglądającej paraboli, tylko w innym miejscu układu.\n
Poprawna odpowiedź: \\(g\\) → A, \\(h\\) → E
\nWykres \\(f\\): parabola, wierzchołek \\((1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\).
\n\\(g(x) = f(x+3)\\) - przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(3\\) jednostki w LEWO:
\nTo rysunek A (wierzchołek nad \\(x=-2\\)).
\n\\(h(x) = f(-x)\\) - SYMETRIA względem osi \\(OY\\):
\nTo rysunek E (wierzchołek nad \\(x=-1\\), miejsca zerowe \\(-4\\) i \\(2\\)).
\nDla \\(g\\): \\(g(0) = f(3) = -(3-1)^{2} + 9 = 5\\). W A parabola przecina \\(OY\\) powyżej \\(4\\) ✓.
Dla \\(h\\): \\(h(0) = f(0) = -(0-1)^{2} + 9 = 8\\). W E parabola przecina \\(OY\\) w \\(y=8\\) ✓.
Trik: Dla \\(f(x+a)\\) przesunięcie o \\(a\\) w lewo (\\(a > 0\\)). Dla \\(f(-x)\\) odbicie w osi OY (wierzchołek \\((p, q) \\to (-p, q)\\)).
\nPoprawna odpowiedź: B
\nTen sposób polega na bezpośrednim porównaniu fragmentów wykresów funkcji g(x) i h(x) z opcjami A-F. Zauważamy, że fragment wykresu funkcji g(x) odpowiada opcji B. Fragment wykresu funkcji h(x) odpowiada opcji A.
\n\\[g(x) = f(x+3)\\]
\\[h(x) = f(-x)\\]
📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)
\nTen sposób polega na obliczeniu wartości funkcji g(x) i h(x) dla kilku wartości x i porównaniu z opcjami A-F.
\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)
\nPodsumowanie: Najprostszym i najszybszym sposobem rozwiązania tego zadania jest bezpośrednie porównanie fragmentów wykresów funkcji g(x) i h(x) z opcjami A-F. Zauważ, że fragmenty wykresów funkcji g(x) i h(x) na rysunku są identyczne z fragmentami wykresów funkcji g(x) i h(x) w opcji B.
"}]}